ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
403
2181-
3187
BA'ZI TRIGONOMETRIK TENGLAMALARNI YECHISH USULLARI.
Xidirova Barchinoy Tolibovna
Izboskan tuman 2-son
politexnikumi matematika fani o'qituvchisi
Annotatsiya:
Mazkur maqolada trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy
usullari tahlil qilinadi. Trigonometrik funksiyalarning xossalari asosida yechimlarni
topish, tenglamalarni oddiylashtirish va umumlashgan shakllarda ifodalash texnikalari
yoritiladi. Maqola matematik analiz, differensial tenglamalar va boshqa amaliy
sohalarda trigonometrik tenglamalarni qo‘llash imkoniyatlarini kengaytirishga xizmat
qiladi.
Tadqiqot
natijalari
trigonometrik
tenglamalarni
samarali
yechish
strategiyalarini shakllantirishga yordam beradi.
Kalit so‘zlar:
Trigonometrik tenglama, tenglamani yechish usullari, bir xil
trigonometrik funksiyalar, identikliklar, umumlashgan yechim, periodiklik.
Trigonometrik tenglamalar matematikaning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lib,
geometrik, fizikaviy va muhandislik muammolarining yechimida keng qo‘llaniladi.
Ular sinus, kosinus, tangens va kotangens kabi funksiyalarni o‘z ichiga olgan
tenglamalardir. Trigonometrik tenglamalarni yechish, ya’ni noma’lum o‘zgaruvchini
topish uchun turli algebraik va analitik usullar mavjud. Mazkur maqolada ba’zi keng
tarqalgan trigonometrik tenglamalarni yechish usullari, ularning tahlili va amaliy
qo‘llanilishi ko‘rib chiqiladi.
Trigonometrik tenglamalarni yechish masalasi yuzasidan ko‘plab matematik
darsliklar va ilmiy ishlar mavjud. Jumladan, A.F. Bermantning "Trigonometriya"
nomli asari, G.M. Fikhtengoltsning "Matematika analizining asoslari" kitobida
tenglamalarni yechishning nazariy asoslari batafsil yoritilgan. Yevklid va Nyuton kabi
buyuk olimlar ham trigonometriyaga oid ko‘plab masalalarni hal qilishgan. Zamonaviy
matematikada esa bu tenglamalar kompyuter algoritmlarida va fizik modellashtirishda
ham o‘z o‘rnini topgan.
Trigonometrik tenglamalarni yechishda quyidagi usullardan foydalaniladi:
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
404
2181-
3187
Trigonometrik identikliklardan foydalanish:
Sin²x + Cos²x = 1 kabi asosiy identikliklar yordamida tenglamani soddalashtirish.
Almashtirish usuli:
Masalan, t = tan(x/2) kabi almashtirish orqali tenglamani algebraik ko‘rinishga
keltirish.
Grafik usul:
Funksiyalar grafigini chizish va kesish nuqtalari orqali yechimni topish.
Oraliq tahlil usuli:
Ehtimoliy intervalda funksiyaning qiymatini aniqlash va bu oraliqda yechim
mavjudligini ko‘rsatish.
Periodiklik xususiyatlaridan foydalanish:
Trigonometrik funksiyalarning davriyligini inobatga olgan holda umumiy yechim
ifodalari yoziladi:
sin x = a
⇒
x = arcsin(a) + 2πn yoki x = π - arcsin(a) + 2πn
cos x = a
⇒
x = ±arccos(a) + 2πn
Trigonometrik tenglamalarni yechishning bir nechta usullari mavjud bo‘lib, ular
tenglamaning shakli va murakkabligiga qarab qo‘llaniladi. Quyida eng keng tarqalgan
usullarni qisqacha ko‘rib chiqamiz:
Algebraik usul:
Agar tenglama oddiy shaklda bo‘lsa (masalan, sin x = a yoki cos x = b), u holda
teskari trigonometrik funksiyalardan foydalaniladi.
2. Faktorga ajratish:
Murakkab tenglamalarni soddalashtirish uchun faktorga ajratish usulidan
foydalaniladi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
405
2181-
3187
3. Trigonometrik o‘zgarishlar va identikliklar:
Trigonometrik identikliklardan (masalan, sin
2
x + cos
2
x = 1) yoki ikki burchak
formulalari) foydalanib, tenglamani soddalashtirish mumkin.
4. O‘zgartirish usuli (substitutsiya):
Tenglamada takrorlanadigan iboralar bo‘lsa, yangi o‘zgaruvchi kiritiladi.
5. Bir xil burchakli tenglamalar:
Agar tenglama sin nx = sin mx yoki cos nx = cos mx shaklida bo‘lsa, umumiy
formula qo‘llaniladi.
6. Grafik usul yoki taxminiy yechimlar:
Murakkab tenglamalar uchun grafik chizish yoki numerik usullar (masalan,
Nyuton usuli) yordamida taxminiy yechimlar topiladi.
7. Davriy xususiyatlardan foydalanish:
Trigonometrik funksiyalarning davriyligi (masalan, sin x va cos x uchun 2π
hisobga olinadi, shuning uchun yechimlar umumiy shaklda x + 2πn sifatida yoziladi.
Maslahatlar:
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
406
2181-
3187
- Tenglamani soddalashtirishdan oldin trigonometrik identikliklarni yodda
saqlang.
- Yechimlarni tekshirish uchun chegaralarni (masalan, [0, 2π] aniqlang.
- Agar tenglama murakkab bo‘lsa, grafik yoki kalkulyatorlardan foydalaning.
Trigonometrik tenglamalarni yechishning universal usuli yo‘q. Har bir tenglama
o‘ziga xos xususiyatlarga ega bo‘lib, ularga mos metod tanlanadi. Masalan, sin x + cos
x = 0 kabi tenglamalarni yechishda bir nechta usulni birlashtirish zarur bo‘ladi. Bundan
tashqari, texnika va fizika sohalarida yechimning faqatgina bitta davri ichida kerakli
bo‘lishi mumkin, bu holatda umumiy emas, aniq yechim topish muhim bo‘ladi.
O‘quvchilarning bu tenglamalarni o‘rganishi, ularda analitik fikrlash va formulalarni
moslashuvchan qo‘llash ko‘nikmalarini shakllantiradi.
Xulosa
Trigonometrik tenglamalarni yechish matematikani chuqur anglash va uning real
muammolardagi qo‘llanishini tushunish uchun muhimdir. Turli metodlarning
mavjudligi bu tenglamalarni yechishni turli yo‘llar bilan bajarishga imkon beradi. Har
bir usul o‘z afzalliklari va cheklovlariga ega.
Trigonometrik tenglamalarni o‘qitishda vizual grafik yondashuvga ko‘proq
e’tibor berish.
Har bir tenglama uchun optimal usul tanlash bo‘yicha algoritmik yondashuvni
o‘quvchilarga o‘rgatish.
Trigonometriya fanida real hayotiy misollar bilan bog‘langan topshiriqlarni
ko‘proq qo‘llash.
Raqamli dasturlar yordamida tenglamalarni yechishning interaktiv shakllarini
joriy etish.
Adabiyotlar.
1. Avezov A.X. Matematikani o’qitishda interfaol metodlar: «Keys-stadi» metodi //
Science and Education, scientific journal, 2:12 (2021), 462-470 b.
2. Avezov A.X. Funksiyaning to’la o’zgarishini hisoblashga doir misollar yechish
yo’llari haqida // Science and Education, scientific journal, 2:12 (2021), 50-61 b.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–4_ Мая –2025
407
2181-
3187
3. Avezov A.X. «Kompleks sonlar» mavzusini o’qitishda «Bumerang» texnologiyasi
// Science and Education, scientific journal, 2:12 (2021), 430-440 b.
4. Avezov A.X. Funksiya hosilasi mavzusini o’qitishda «Kichik guruhlarda ishlash»
metodi // Science and Education, scientific journal, 2:12 (2021), 441-450 b.
5. Avezov A.X. Ta’limning turli bosqichlarida innovatsion texnologiyalardan
foydalanish samaradorligini oshirish // Science and Education, scientific journal, 2:11
(2021), с. 789-797.
6. Avezov A.X. Oliy matematika fanini oʻqitishda tabaqalash texnologiyasidan
foydalanish imkoniyatlari // Science and Education, scientific journal, 2:11 (2021), с.
778-788.
