ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
183
2181-3187
LOGARIFMLAR HAQIDA UMUMIY TUSHUNCHA VA ULARNING
ZAMONAVIY ILM-FANDAGI O‘RNI
Namangan shahar 2-son politexnikumi
matematika fani o‘qituvchisi
Mamatxo‘jayev Orifjon Mamadaminovich
Annotatsiya
: Mazkur maqolada logarifmlar tushunchasi, ularning kelib chiqishi,
amaliyotdagi qo‘llanilishi hamda zamonaviy texnologiyalardagi ahamiyati tahlil
qilinadi. Shuningdek, logarifmik funksiyalar orqali ilmiy va texnik masalalarni
soddalashtirish imkoniyatlari ko‘rib chiqiladi. Maqola matematika fanining asosiy
bo‘limlaridan biri bo‘lgan logarifmlar mavzusining nazariy va amaliy jihatlarini
yoritadi.
Kalit so‘zlar
: logarifm logarifmik funksiyalar eksponent o‘zgaruvchanlik
matematik modellashtirish zamonaviy texnologiyalar hisoblash tizimlari
Kirish
Matematika fanining rivojlanishida logarifmlar muhim o‘rin egallaydi. Ular
murakkab ko‘paytirish va darajaga oshirish amallarini soddalashtirish maqsadida
kiritilgan bo‘lib, ayniqsa ilmiy hisob-kitoblar, fizika, muhandislik va texnologiya
sohalarida keng qo‘llaniladi. Logarifmlar tushunchasi tarixan eksponential
funksiyalarga qarshi amal sifatida yuzaga kelgan. Bu amal, birinchi navbatda,
hisoblash ishlarini yengillashtirishga xizmat qilgan va bu jihatdan logarifmik jadvallar
uzoq vaqt davomida asosiy vositalardan biri bo‘lgan. Zamonaviy davrda esa,
logarifmlar kompyuter ilmlari, sun’iy intellekt, iqtisodiyot va biologik tizimlarda
muhim rol o‘ynaydi.
Logarifm tushunchasi matematikaning funksiyalar nazariyasida muhim o‘rin
egallaydi. Logarifmik funksiyalar har qanday ijobiy haqiqiy sonlar uchun aniqlanadi
va bu ularni ko‘plab tabiiy va sun’iy jarayonlarni modellashtirishda foydali vositaga
aylantiradi. Ular yordamida eksponent o‘sish yoki kamayishni tahlil qilish mumkin, bu
esa ayniqsa biologiya, iqtisodiyot va axborot texnologiyalarida keng qo‘llaniladi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
184
2181-3187
Misol uchun, populyatsiya o‘sishi, bakteriyalarning ko‘payishi, inflyatsiya darajasi
yoki sarmoyaning o‘sishini ifodalovchi formulalarda logarifmlar muhim vosita bo‘lib
xizmat qiladi.
Logarifmik o‘zgarishlar tabiatda keng uchraydi. Masalan, inson eshitish qobiliyati
ovoz balandligini logarifmik shaklda qabul qiladi. Shu sababli, ovoz kuchi desibel
bilan o‘lchanadi va bu o‘lchov logarifmik miqyosga asoslanadi. Xuddi shuningdek,
seysmik faollikni o‘lchash uchun ishlatiladigan Rixter shkalasi ham logarifmik asosga
ega. Bunday miqyoslar katta sonlarni boshqarish va tahlil qilishda yengillik yaratadi.
Zamonaviy texnologiyalarda logarifmlar algoritmlar samaradorligini baholashda
keng qo‘llaniladi. Kompyuter fanlarida murakkablik nazariyasi degan bo‘lim mavjud
bo‘lib, u algoritmning ishlash tezligini o‘lchash bilan shug‘ullanadi. Masalan, qidiruv
yoki saralash algoritmlarida logarifmik vaqt murakkabligi ideal holat hisoblanadi.
Ya'ni, ma'lumotlar hajmi ortgan sari ishlash vaqti logarifmik tarzda oshsa, bu juda
yaxshi samaradorlik belgisi hisoblanadi.
Shuningdek, logarifmik funksiyalar differensial tenglamalar yechimlarida,
to‘lqinlar nazariyasida va elektromagnit to‘lqinlarning tarqalishini modellashtirishda
ham keng ishlatiladi. Ilm-fan va texnikaning turli sohalarida, xususan sun’iy intellekt,
kriptografiya, tarmoq xavfsizligi va ma’lumotlarni siqish texnologiyalarida logarifmik
algoritmlar asosiy o‘rin tutadi.
Logarifmlar shuningdek sonlar nazariyasida ham muhim rol o‘ynaydi. Tub sonlar
taqsimoti, matematik analizda limit, integral va hosila tushunchalarining chuqurroq
tahlilida logarifmik ifodalar keng qo‘llaniladi. Bu esa ularni matematik tafakkurning
universal vositasiga aylantiradi.Logarifm bu — qandaydir musbat sonni ma’lum
asosda nechanchi daraja qilib olishni ko‘rsatadigan amal hisoblanadi. Matematik
nuqtai nazardan, agar biror sonni ma’lum darajaga oshirib boshqa son hosil bo‘lsa, bu
jarayon logarifm orqali orqaga qarab ifodalanadi. Masalan, logarifm asosida turgan son
qanchalik o‘zgaruvchan bo‘lsa, funksiyaning xatti-harakati ham shunchalik murakkab
bo‘ladi. Logarifmik funksiyalar geometriya, algebra, statistik tahlil, ehtimollar
nazariyasi va iqtisodiy modellar tuzishda keng foydalaniladi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
185
2181-3187
Zamonaviy texnologiyalarda logarifmlar axborot o‘lchovi sifatida qo‘llanadi.
Masalan, kompyuter fanlarida ma’lumot hajmini o‘lchashda logarifmik birliklar (bitlar
orqali) qo‘llaniladi. Shuningdek, logarifmik miqyoslar orqali biologik o‘sish,
radioaktiv yemirilish, yorug‘lik intensivligi, ovoz kuchi kabi fizikaviy jarayonlar tahlil
qilinadi. Internet trafigini boshqarishda, algoritmlarni baholashda va hatto sun’iy
neyron tarmoqlarni o‘qitishda ham logarifmik ifodalar muhim o‘rin tutadi.
Logarifm tushunchasi matematikada darajaviy tenglamalarning teskari amalini
ifodalovchi vosita sifatida yuzaga kelgan. Logarifm asoslari, logarifm qonunlari va
logarifmik funksiyalarning xossalari matematik analiz va algebra fani doirasida muhim
mavzular sirasiga kiradi. Bu tushuncha ilk bor yevropalik matematik Jon Neper
tomonidan tizimlashtirilgan bo‘lib, u logarifmik jadval yaratgan. Bu jadvallar orqali
ilmiy hisob-kitoblar ancha yengillashgan va uzoq vaqt davomida muhandislar,
astronomlar va fiziklar uchun muhim vosita bo‘lgan.
Logarifmlarning asosiy qonunlariga quyidagilar kiradi: logarifmlar ko‘paytmani
yig‘indiga aylantiradi, bo‘linmani ayirmaga aylantiradi, darajani ko‘paytuvchiga
aylantiradi. Bu xususiyatlar matematik hisoblashlarda eng katta qulayliklardan biridir.
Masalan, yirik sonlarni ko‘paytirish o‘rniga ularning logarifmlarini qo‘shish kifoya.
Shuningdek, matematik tahlilda bu qonunlar orqali murakkab formulalarni
soddalashtirish mumkin bo‘ladi.
Logarifmik funksiyalar grafik jihatdan sekin o‘suvchi egri chiziq shaklida
ifodalanadi. Ularning domeni faqat musbat haqiqiy sonlar bilan cheklangan, ya’ni
logarifm faqat musbat sonlar uchun aniqlangan. Shu bilan birga, logarifmik funksiyalar
har qanday darajadagi eksponent funksiyalarning teskari funksiyasi sifatida ham
ko‘riladi. Bu jihatdan ular eksponensial jarayonlarni tahlil qilishda asosiy vosita bo‘lib
xizmat qiladi.
Logarifmlarning tarixiy taraqqiyoti
Logarifmlar g‘oyasi ilk bor XVI asr oxiri va XVII asr boshlarida matematiklar
tomonidan rivojlantirilgan. Ularning asoschisi sifatida shotlandiyalik matematik Jon
Neper tan olingan. U logarifmlarni astronomik va muhandislik hisoblarini
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
186
2181-3187
soddalashtirish uchun ishlab chiqqan. Neperdan mustaqil ravishda Jost Byurgi ham
logarifmlar bilan ishlagan va ular asosida maxsus logarifmik chiziqli o‘lchovlar
yaratgan. Bu chiziqlar keyinchalik logarifmik lineyka sifatida mashhur bo‘lib, yuz
yillar davomida muhandislar va olimlarning asosiy ish quroliga aylangan.
XVIII-XIX asrlarda matematik tahlil rivojlangan sari logarifmlarning tushunchasi
chuqurlashdi va natural logarifm, ya’ni e asosidagi logarifmlar kashf qilindi. Bu esa
matematik analiz va differensial tenglamalar nazariyasining rivojlanishiga xizmat
qildi. Shu bilan birga, Leonard Eyler bu sohada katta hissa qo‘shgan, u natural
logarifmlarni eksponent funksiyalarning teskari funksiyasi sifatida tahlil qilgan va
ularni e soni bilan bog‘lagan.
Logarifmlar va ta’lim
Logarifmlar mavzusi o‘rta maktab va oliy o‘quv yurtlarining matematika
dasturlarida alohida o‘rin egallaydi. Bu mavzu orqali o‘quvchilar murakkab
funksiyalarni tahlil qilishni, grafiklar chizishni, logarifmik tenglama va tengsizliklarni
yechishni o‘rganadilar. Bu esa mantiqiy fikrlash, tahliliy yondashuv va matematik
modellashtirish ko‘nikmalarini rivojlantiradi. Ayniqsa, logarifmlarni eksponent
funksiyalar bilan bog‘liq masalalarda qo‘llash o‘quvchilarga fanlararo bog‘liqlikni
ko‘rsatadi.
O‘quv jarayonida logarifmlar mavzusi ko‘plab sohalar bilan integratsiyalashgan:
kimyo (reaksiya tezligi), biologiya (populyatsiya o‘sishi), fizika (nurlanish va seysmik
to‘lqinlar), iqtisod (foizlar va investitsiyalar) kabi. Bu esa mavzuni faqat nazariy emas,
balki hayotiy ahamiyatga ega qilishga xizmat qiladi.
Logarifmlarning real hayotdagi qo‘llanilishi keng va xilma-xildir. Masalan:
➢
Fizika va texnikada
: radioaktiv yemirilish, yorug‘lik intensivligi,
elektromagnit to‘lqinlar, to‘lqin uzunligi va chastota o‘rtasidagi bog‘liqlik,
shuningdek, seysmik to‘lqin kuchini o‘lchashda Rixter shkalasi logarifmik
asosga ega.
➢
Biologiyada
: viruslar yoki bakteriyalar populyatsiyasining
geometrik o‘sishini logarifmik model asosida tahlil qilish mumkin. Masalan,
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
187
2181-3187
pandemiya davridagi kasallanishlar soni logarifmik tahlillar orqali prognoz
qilinadi.
➢
Iqtisodiyotda
: inflyatsiya, foiz stavkalari, kreditlar va aktivlar
o‘sishini modellashtirishda logarifmik ifodalar keng qo‘llaniladi. Tabiiy
logarifmlar orqali iqtisodiy ko‘rsatkichlarning nisbiy o‘zgarishi o‘rganiladi.
➢
Kompyuter fanlarida
: algoritmlar samaradorligini baholashda
logarifmik vaqt va xotira murakkabligi mezon sifatida qo‘llaniladi. Bunday
algoritmlar ma’lumotlar hajmi ortgan sari sekinroq ishlashini bildiradi, bu esa
samaradorlik belgisi sanaladi.
➢
Kriptografiyada
: ochiq kalitli shifrlash algoritmlarida logarifmik
masalalar yechilishi qiyin bo‘lgan matematik asos sifatida xizmat qiladi. Bu
texnologiya internet xavfsizligi va ma’lumotlar himoyasining asosi hisoblanadi.
Shuningdek, sun’iy intellekt va mashinali o‘qitish algoritmlarida logarifmik
funksiya yo‘qotish funksiyasi sifatida ishlatiladi. Masalan, "cross entropy loss" deb
ataladigan funksiya ma’lumotlar va ularning taxminiy qiymatlari o‘rtasidagi farqni
logarifmik mezonlar orqali hisoblaydi.
Pedagogik nuqtai nazardan qaraganda, logarifmlar mavzusi o‘quvchilarda
abstrakt tafakkurni rivojlantiradi, murakkab funksional bog‘liqliklarni tahlil qilishga
o‘rgatadi va ko‘p bosqichli masalalarni hal qilish ko‘nikmasini shakllantiradi..
Xulosa
Logarifmlar nafaqat matematik nazariya balki amaliyotda ham keng qo‘llaniladigan
vosita hisoblanadi. Ular yordamida murakkab masalalarni soddalashtirish, turli
fanlararo bog‘liqliklarni anglash va zamonaviy texnologik jarayonlarni
optimallashtirish mumkin. Bu esa logarifmik tushunchalarni o‘rganishni nafaqat
matematiklar, balki texnik va tabiiy fanlar vakillari uchun ham muhim qiladi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.Al-Khorazmiy M. “Algebra va al-muqobala” asari N. Ya. Vilenkin “Elementar
matematika asoslari”
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-70
Часть–2_ Мая –2025
188
2181-3187
2.Rosen K. H. “Discrete Mathematics and Its Applications” James Stewart “Calculus”
3. Zamonaviy ilmiy maqolalar va matematik onlayn resurslar (arxiv.org,
sciencedirect.com, mathworld.wolfram.com)
