МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
АКАДЕМИЧЕСКИХ НАУК
85
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА В
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
Даниярова Гулайым Кууатбаевна
Учительница математики общеобразовательная школа No 27
https://doi.org/10.5281/zenodo.16926905
В качестве примера для разностной схемы решим уравнение
Пуассона на прямоугольнике
4sin 3
cos 2
(0, )
3 ,
(1, )
2
( ,0)
0,
( , )
0
xx
yy
y
y
u
u
x
y
u
y
y u
y
y
u x
u x
(1)
Проведём редукцию линейной задачи (1)[5]. Т.е. сведём решение (1) к
сумме решений 2 простых систем:
( , )
( , )
( , )
u x y
w x y
v x y
.
Первая система содержит неоднородное краевое условие:
0, 0
1, 0
(0, )
3 ,
(1, )
2
( ,0)
0,
( , )
0
xx
yy
y
y
w
w
x
y
w
y
y w
y
y
w x
w x
(2)
Решаем
задачу
(2)
методом
разделения
переменных
( , )
( ) ( ),
0.
w x y
X x Y y
X Y
X Y
Мы находим решение, предполагая, что данное
уравнение равно некоторому параметру
, то есть
2
X
Y
X
Y
(3)
Теперь мы имеем уравнения
2
0
X
X
и
2
0
Y
Y
.
С помощью граничных условии получим задачу Штурм-Лювилла
2
0
(0)
0,
( )
0
Y
Y
Y
Y
(4)
И отсюда получим собственную функцию
( )
cos
,
k
k
Y y
ky
k
и затем
функция
( )
k
k
k
X x
A chkx
B shkx
. если мы подставим найденные функции в общий
вид решения
0
1
( , )
( )
( )
n
k
k
k
w x y
A
X x Y y
(5)
то получим общые решение уравнения (2)
МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
АКАДЕМИЧЕСКИХ НАУК
86
0
1
( , )
cos
n
k
k
k
w x y
A
A chkx
B shky
ky
(6)
А теперь, с помощью двух граничных условии
(0, )
3 ,
(1, )
2
w
y
y
w
y
y
мы
находим коэффициенты
0
A
,
k
A
и
k
B
.
Для нахождения коэффициенты
0
A
,
k
A
и
k
B
, подставляя граничных условии на
решение интегрируем, то есть у нас тогда получается равенству
0
0
1
3
A
ydy
,
0
2
3 cos
k
A
y
kydy
,
0
2
1
(
2)cos
1
k
k
B sh
y
kydy
A ch
.
Если вычислим эти интегралы, тогда получается следующих значении
0
3
2
A
,
2
6
( 1)
1
k
k
A
k
и
2
2
( 1)
1 1 3 1
1
k
k
B
ch
k sh
.
Всех значении неизвестных коэффициенты поставим на решение, и получим
2
1
3
2
1 3 1
( , )
( 1)
1 3
cos
2
1
k
k
ch
w x y
chkx
shky
ky
k
sh
(7)
Теперь разложим ряд, так как всех четных членов равен нулью, возмьем всех
нечетных членов, то вид решение
2
1
3
4
1 3 1
( , )
3 (2
1)
(2
1)
cos(2
1)
2
(2
1)
1
k
ch
w x y
ch k
x
sh k
y
k
y
k
sh
(8)
значит получено решение для уравнения (2).
Вторая система содержит однородное краевое условие для уравнения
Пуассона:
4sin 3
cos 2 , 0
1, 0
(0, )
0,
(1, )
0
( ,0)
0,
( , )
0
xx
yy
y
y
v
v
x
y
x
y
v
y
v
y
v x
v x
(9)
Аналогично, решаем задачу (9) методом разделения переменных
( , )
( ) ( ),
0
v x y
X x Y y
X Y
X Y
. Мы находим решение, предполагая, что данное
уравнение равно некоторому параметру
, то есть
2
X
Y
X
Y
и здесь
2
2
2
1
2
. Имеем равенств
2
1
X
X
и
2
2
Y
Y
. Отсюда, через заданных
граничных условии и следующих равенств
2
1
X
X
и
МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
АКАДЕМИЧЕСКИХ НАУК
87
2
2
Y
Y
Получим две задачу Штурм-Лювилла. Собственные функции этих задач
1
sin
,
,
1,2,3,...
m
m
X
mx
m m
и
2
cos
,
,
0,1,2,...
n
n
Y
ny
n
n
Теперь, используя эти собственные функции, запишем общее решение данного
уравнения в виде, т.е.
1
0
( , )
sin
cos
mn
m
n
v x y
C
mx
ny
(10)
Подставляя найденное решение в уравнение (9) возникнет равенство
2
2
1
1
0
0
sin
cos
sin
cos
4sin 3
cos 2
mn
mn
m
m
n
n
C
m
mx
ny
C n
mx
ny
x
y
.
(11)
Упростим полученного равенство, тогда
2
2
1
0
sin
cos
4sin 3
cos 2
mn
m
n
C
m
n
mx
ny
x
y
.
Интегрирурия этого равенсто, имеем следующего инртергала
1
2
2
0
0
4
4sin 3
cos 2 sin
cos
mn
C
m
n
dx
x
y
mx
nydy
Вычислив интеграла, возьем значение
mn
C
, то есть
0
mn
C
.
Но подругому сторону есть еще одна значения, точнее если
3
m
и
2
n
, тогда
32
2
4
9
4
C
.
А остальные равняется нулью.
Значит для второго систему у нас получается решения
2
4
( , )
sin 3
cos 2
9
4
v x y
x
y
.
(12)
Теперь запишем сумму полученные решения
( , )
w x y
и
( , )
v x y
, то получеатся
решения
( , )
( , )
( , )
u x y
w x y
v x y
уравнения Пуассона, то есть
2
3
4
( , )
sin 3
cos 2
2
9
4
u x y
x
y
МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
АКАДЕМИЧЕСКИХ НАУК
88
2
1
4
1 3 1
3 (2
1)
(2
1)
cos(2
1)
(2
1)
1
k
ch
ch k
x
sh k
y
k
y
k
sh
. (12)
Следовательно, равенства (12) является решение задачи Дирихле для
данного уравнения Пуассона.
Литература:
1.
Герец А.Ю., Зеленкевич А.А., Гурьева Н.А., Пастухов Ю.Ф., Пастухов
Д.Ф. Согласование порядков аппроксимации дифференциального и
граничного операторов в краевой задаче для уравнений в частных
производных.
Вестник
Полоцкого
университета.
Серия
С:
Фундаментальные науки.2015.№12.С. 102-109.
2.
Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения
обратных задач математической физики: Учебное пособие. – М.:
Издательство ЛКИ, 2014. – 480 с.
3.
А.Г.Свешников,
А.Н.Боголюбов,
В.В.Кравцов.
Лекции
по
математической физике. – М.: Изд. – воМГУ, 1993 – 332 с.
