INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
15
UDK 517.382
UCH KARRALI INTEGRALDA OʻZGARUVCHILARNI
ALMASHTIRISH VA UNING TATBIQLARI
G‘oyibnazarov Habibullo Raxmatullayevich,
Umarov Xabibullo Raxmatullayevich
Guliston davlat universiteti Matematika kafedrasi katta o‘qituvchisi, Guliston, O‘zbekiston
Abduvaliyev Asadbek Dilshod o’g’li
Guliston davlat universiteti Matematika yo‘nalishi iqtidorli talabasi, Guliston, O‘zbekiston
Annotatsiya:
Mazkur maqolada uch karrali integrallarning xossalari hamda karrali integrallar
bilan yechimi topiladigan amaliy masalalarni chuqurroq o‘rganib, u asosida muhim ba’zi bir
tengliklarni isbotlaymiz va amaliyotda ko‘p qo‘llaniladigan muhim integrallarning qiymatlarini
hisoblaymiz.
Kalit so‘zlar:
uch karrali integral, oʻzgaruvchilarni almashtirish, chegaralangan yopiq soha,
silindrik koordinatalar sistemasi, sferik koordinatalar sistemasi, elliptik koordinatalar sistemasi,
yakobian.
Ushbu ishda uch karrali integralda oʻzgaruvchilarni almashtirish qanday boʻlishini
tushuntirib oʻtamiz.
Fazo
xyz
toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasiga, boshqa bir fazo esa
xhz
koordinatalar sistemasiga ega boʻlsin. Bu fazolarda mos ravishda
( )
S
va
( )
sirtlar bilan
chegaralangan ikkita
( )
D
va
( )
D
yopiq sohalarni qaraylik. Bu sohalar bir – biri bilan quyidagi
formulalar
(
)
(
)
(
)
, ,
, ,
, ,
x x
y y
z z
x h z
x h z
x h z
=
=
=
(1)
bilan oʻzaro bir qiymatli uzluksiz munosabat bilan bogʻlangan boʻlsin. Buning uchun
( )
sirtning nuqtalariga
( )
S
sirtning nuqtalari mos kelishi kerak va aksincha.
(1) funksiyalar
( )
D
sohada uzluksiz xususiy hosilalarga ega boʻlsin. U holda
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
16
(
)
(
)
, ,
, ,
D x y z
D
x h z
(2)
Yakobian ham
( )
D
sohada uzluksiz funksiya boʻladi. Bu ditermenantni har doim noldan farqli
va ishorasini saqlasin deb hisoblaymiz.
Agar
( )
D
sohada ushbu
( )
( )
( )
, ,
, ,
,
u v
u v
u v
x x
h h
z z
=
=
=
(3)
boʻlakli-silliq sirtni olsak, (1) formula bu sirtni
D
sohadagi boʻlakli-silliq sirtga akslantiradi. Bu
sirt esa
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
, ,
, ,
,
, ,
,
,
x x
u v
u v
u v
x u v y y u v
z z u v
x
h
z
=
=
=
=
(4)
tenglama bilan aniqlanadi.
Silliq sirt boʻlgan hol uchun qaraylik. Unda maxsus nuqtalar yoʻq, ushbu ditermenantlar
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
,
,
,
,
,
,
,
,
D
D
D
D u v
D u v
D u v
h z
x z
x h
(5)
bir vaqtda nolga teng emas. U holda ushbu munosabatlar
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
D y z
D y z D
D y z D
D y z D
D u v
D
D u v
D
D u v
D
D u v
h z
x z
x h
h z
x z
x h
=
+
+
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
D z x
D z x D
D z x D
D z x D
D u v
D
D u v
D
D u v
D
D u v
h z
x z
x h
h z
x z
x h
=
+
+
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
D x y
D x y D
D x y D
D x y D
D u v
D
D u v
D
D u v
D
D u v
h z
x z
x h
h z
x z
x h
=
+
+
noldan farqli.
, ,
x h z
sonlar
xyz
fazoning nuqtasining qiymatlarini aniqlaydi, yoki shu nuqtaning egri
chiziqli koordinatalari deb yuritiladi.
xyz
tekislikning nuqtasining har bir koordinatasi
oʻzgarmas qiymatni saqlaydi va koordinatali sirtni tashkil etadi. Bunday koordinatali sirtlar oilasi
hammasi boʻlib uchtadan iborat boʻladi.
( )
D
sohaning har bir nuqtasida bunday koordinatali
sirtlar oilasi oʻtadi.
( )
D
va
( )
D
sohalarni oʻzaro bir qiymatli mosligi oʻrnatiladi. Ba’zan bu
moslik amaliyotda buziladi.
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
17
Ba’zi bir koordinatlar sistemasini koʻrib chiqaylik.
1) Silindrik koordinatalar sistemasi qutb koordinatasi bilan
z
appilikatali
xy
tekislik
bilan bogʻlaydi. Koordinatali koʻrinishi ushbu
cos ,
sin ,
x
y
z z
r
q
r
q
=
=
=
formula koʻrinishidan iborat boʻladi.
Bu formulalar yordamida
0
,
0
2 ,
z
r
q
p
< +
<
- < < +
soha butun
xyz
fazoga akslanadi.
0,
z z
r
=
=
toʻgʻri chiziq
(
)
0,0,
z
nuqtaga akslanadi. Shu
holatda oʻzaro bir qiymatli moslik buziladi.
Qaralayotgan hollarda koordinatali sirtlar quyidagicha boʻladi.
(a)
co
nst
r
=
-
silindrik sirt
oz
oʻqiga parallel boʻladi: yoʻnaltiruvchisi markazi
koordinata boshida boʻlgan
xy
tekislikdagi aylanadan iboratdir.
(b)
const
q
=
-
oz
oʻqidan oʻtuvchi yarim tekislik.
(c)
z const
=
-
xy
tekislikka parallel tekislik.
Yuqorida almashtirishning yakobiani
cos
sin
0
cos
sin
sin
cos
0
.
sin
cos
0
0
1
z
z
z
x
y
z
x
y
z
J
x
y
z
r
r
r
q
q
q
q
q
q
q
r
q r
q
r
r
q
q
= = -
=
=
-
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
18
0
r
=
dan boshqa hollarda yakobian musbat ishorani saqlaydi.
2) Sferik koordinatalar sistemasi fazodagi qutb koordinatalarni Dekart koordinatalari
bilan bogʻlaydi:
sin cos ,
sin sin ,
cos
x r
y r
z r
j
q
j
q
j
=
=
=
bu
yerda
0
,
0
, 0
2
r
j p
q
p
< +
<
, ,
r
j q
kattaliklarning geometrik ma’nosi rasmda
koʻrsatilgan.
r
OM
kesmaning radius vektori (qutb bilan
M
nuqtani tutashtiruvchi).
j
-
z
oʻqi bilan (qutb oʻqi bilan) shu vektor orasidagi burchak,
OM
q
-
radius vektorni
xy
tekislikdagi proeksiya
sin
OP r
j
=
ni
x
oʻqi bilan tashkil etgan burchak.
Bu holda ham biz yana oʻzaro bir qiymatli moslikni buzish holiga toʻgʻri kelamiz.
r
jq
fazodagi
0
r
=
tekislik
0
x y z
= = =
koordinata boshiga akslanadi,
0
j
=
( yoki
p
),
r r
=
toʻgʻri chiziq
0,
x y
z r
= =
=
nuqtaga akslanadi.
Koordinatali sirt uchta oilani tashkil etadi
a)
,
r const
=
markazi koordinata boshida boʻlgan konsentrik sfera.
(b)
,
const
j
=
balandligi
oz
oʻqli doiraviy konus .
(c)
,
const
q
=
oz
oʻqidan oʻtuvchi yarim tekislik.
Bu almashtirishning yakobiani
2
sin cos
sin sin
cos
cos
cos sin
sin
sin
sin sin
sin cos
0
J
rco
r
r
r
r
r
j
q
j
q
j
j
q
j
q
j
j
j
q
j
q
=
-
=
-
ga teng.
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
19
0,
0
r
j
=
=
(yoki
p
) hollardan boshqa hollarda yakobian plyus ishorani saqlaydi
Bu holda yakobian nolga teng.
3) Fazoni oʻzini – oʻziga almashtirish
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
,
x
y
z
x
h
z
x
h
z
x
h
z
x
h
z
=
=
=
+
+
+
+
+
+
formula orqali ifodalanadi.
4) Elliptik koordinatalar sistemasi.
Qoʻsh fokusli va qoʻsh asosli ikkinchi tartibli
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
1
0
x
y
z
h R
h
R
l
l
l
+
+
=
< <
-
-
sirtlar oilasini qaraylik. Bu sirt
R
l
>
da ellipsoiddan iborat,
R
h
l
> >
da ikki pallali
giperboliddan iboratdir.
Fazoning har bir
(
)
, ,
x y z
nuqtasi (koordinata tekisliklarida yotmagan) dan har bir
tipdagi bittadan sirt oʻtadi. Haqiqatan ham, tenglamaning oʻng tomonidan
(
)(
) (
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
h
R
R
h x
l l
l
l
l
-
-
-
-
-
-
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
0
R y
h z
l l
l l
-
-
-
-
=
ega boʻlamiz.
0
l
=
da manfiy ishoraga,
h
l
=
da musbat ishoraga,
R
l
=
da yana manfiy
ishoraga,
l
dan katta qiymatlarida yana musbat ishoralarga ega boʻlamiz. Bundan kelib
chiqadiki, tenglama uchta musbat ildizga ega:
birinchisi
R
l
>
(ellipsoid),
ikkinchisi
R
m
<
,
h
dan katta (bir pallali giperboloid),
uchunchisi
h
n
<
da (ikki pallali giperboloid).
Yuqoridagi tenglamaning ildizlari xossasidan foydalanib,
2
l
ga nisbatan kubik tenglama
deb qarashimiz mumkin, ya’ni:
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
z
h
R
l
m
n
+
+
=
+
+
+
+
(
)
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
;
h
R x
R y
h z
h R
l m
m n
n l
+
+
=
+
+
+
+
2 2 2
2 2 2
.
h R x
l m n
=
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
20
Bundan esa
(
)(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
,
h
h h
x
y
hR
h R
l
m
n
lmn
n
-
-
-
= ±
= ±
-
(
)(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
R
R
R
z
R R h
l
m
n
-
-
-
-
= ±
boʻlishini topamiz.
, ,
l m n
sonlarni nuqtaning egri chiziqli koordinatalari deb qarash mumkin.
Ya’ni, elliptik koordinatalar deb ataymiz. Uchta koordinatali sirtlar sifatida yuqoridagi sirtlar deb
(ellipsoid, bir pallali giperboloid, ikki pallali giperboloid) qarash mumkin.
Almashtirishning yakobiani
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)(
)(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
J
h
R
h R
h
R
l
m
l n
m n
l
l
m
m
n
n
-
-
-
=
-
-
-
-
-
-
koʻrinishdan iborat.
xyz
fazodagi
( )
D
jismning hajmini uch karrali integral orqali ifodalagan edik. Endi bu
jismning
xhz
fazodagi mos
( )
D
jismning hajmini hisoblaymiz.
( )
D
jismning hajmi ikkinchi tur sirt integrali orqali
( )
D
zdxdy
D
=
hisoblanadi.
( )
D
sohaning hajmini egri chiziqli koordinatalar sistemasiga oʻtib hisoblaymiz.
Buning uchun sirtning parametrik tenglamasidan foydalanamiz [2-4].
( , )
( , )
D x y
C
D u v
=
deb faraz qilib, ushbu formulaga
( )
E
D
zCdudv
=
egamiz.
( )
E
soha
uv
tekislikda oʻzgaradi.
Shuningdek,
,
x y
oʻzgaruvchi
,
u v
ga bogʻliq,
, ,
x h z
oʻzgaruvchiga nisbatan
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
21
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
D x y D
D x y D
D x y D
C
D
D u v
D
D u v
D
D u v
x h
h z
z x
x h
h z
z x
=
+
+
munosabat oʻrinli boʻladi.
C
ning qiymatini yuqoridagi integralga qoʻyamiz va
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
E
D x y D
D x y D
D x y D
D
z
dudv
D
D u v
D
D u v
D
D u v
x h
h z
z x
x h
h z
z x
=
+
+
(6)
topamiz.
Bu integralni ikkinchi tur sirt integralga qoʻyamiz va
( )
sirtning tashqi tomoni
boʻyicha integral:
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
,
,
,
,
,
,
D x y
D x y
D x y
z
d d
d d
d d
D
D
D
x h
h z
x z
x h
h z
x z
+
+
(7)
Integralga Ostrogradskiy formulasini qoʻllaysak
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
,
,
,
,
,
,
D x y
D x y
D x y
D
z
z
z
d d d
D
D
D
x h z
x
h x
h
x z
z
z h
D
¶
¶
¶
= ±
+
+
¶
¶
¶
(8)
( )
D
soha boʻyicha uch karrali integralni hosil qilamiz.
Integral ostidagi ifoda
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
,
,
,
,
,
,
D x y
D x y
D x y
z
z
z
D
D
D
x
h x
h
x z
z
z h
¶
¶
¶
+
+
+
¶
¶
¶
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
,
,
,
,
,
,
D x y
D x y
D x y
z
D
D
D
x
h x
h
x z
z
z h
¶
¶
¶
+
+
+
¶
¶
¶
teng. Yigʻgʻindida birinchi qoʻshiluvchi yakobianga teng, ya’ni
(
)
(
)
, ,
.
, ,
x
x
x
D x y z
y
y
y
D
z
z
z
x
h
z
x h z
x
h
z
x
h
z
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
22
Ikkinchi qoʻshiluvchilar nolga teng, ya’ni
( )
( )
2
2
2
2
,
,
,
D x y
x y
x
y
x y
x
y
D
x
h x
h x x
h x z
x z h
z h z
¶
¶
¶
¶ ¶
¶
¶
¶
¶
=
+
-
-
¶
¶ ¶ ¶
¶ ¶ ¶
¶ ¶ ¶
¶ ¶ ¶
( )
(
)
2
2
2
2
,
,
,
D x y
x y
x
y
x y
x
y
D
h
z x
z h x
z x h
x h x
x z h
¶
¶
¶
¶ ¶
¶
¶
¶ ¶
=
+
-
-
¶
¶ ¶ ¶
¶ ¶ ¶
¶ ¶ ¶
¶ ¶ ¶
( )
(
)
2
2
2
2
,
,
,
D x y
x y
x
y
x y
x
y
D
z
x h
z x h
x h z
h z x
h x z
¶
¶
¶
¶ ¶
¶
¶
¶ ¶
=
+
-
-
¶
¶ ¶ ¶
¶ ¶ ¶
¶ ¶ ¶
¶ ¶ ¶
barchasini qoʻshib chiqsak chap tomoni ikkinchi qoʻshiluvchiga teng, oʻng tomoni nolga teng
boʻladi.
Shunday qilib,
(
)
(
)
( )
, ,
, ,
D x y z
D
d d d
D
x h z
x h z
D
= ±
formulaga kelamiz.
±
ishora yakobianning ishorasiga qarab tanlanadi. U holda hosil qilingan
natijani ushbu koʻrinishda
(
)
(
)
( )
, ,
, ,
D x y z
D
d d d
D
x h z
x h z
D
= ±
(9)
yozish mumkin yoki yakobianni qisqacha
(
)
, ,
J
x h z
orqali ifodalasak:
(
)
( )
, ,
D
J
d d d
x h z x h z
D
= ±
.
(10)
Integral ostidagi ifoda
(
)
(
)
(
)
, ,
, ,
, ,
D x y z
d d d
J
d d d
D
x h z
x h z
x h z
x h z
=
Egri chiziqli koordinatalardagi hajm elementi deyiladi [2-4].
Egri chiziqli koordinatalarda hajm elementi yordamida uch karrali integralda
oʻzgaruvchilarni almashtirishning umumiy formasini keltirish mumkin.
xyz
va
xhz
fazolardagi
( )
D
va
( )
D
sohalar orasidagi (1) moslik oʻrnatilgan boʻlsin.
(3) formuladagi barcha shartlar bajarilgan deb hisoblab ushbu tenglik
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
23
(
)
( )
, ,
D
f x y z dxdydz
=
(
) (
) (
)
(
)
(
)
( )
, , ,
, , ,
, ,
, ,
f x
y
z
J
d d d
x h z
x h z
x h z
x h z
x h z
D
=
(11)
bu yerda
(
)
(
)
(
)
, ,
, ,
,
, ,
D x y z
J
D
x h z
x h z
=
oʻrinli ekanligini koʻrsatamiz. Bunda
(
)
, ,
f x y z
funksiyani uzluksiz deb faraz qilamiz va chekli sondagi boʻlakli-silliq sirtlarda uzilishga ega
boʻlsin.
Isbotlash uchun
( )
D
va
( )
D
boʻlakli-silliq sirtli sohalarni
( )
i
D
va
( ) (
)
1,2,...,
i
i
n
D
=
elementar boʻlaklarga yoyamiz. Har bir
( ) ( )
,
i
i
D
D
sohaga (2) formulani
qoʻllab
(
)
, ,
i
i
i
i
i
D
J
x h z
=
D
(11)
hosil qilamiz. Bu erda
(
)
, ,
i
i
i
x h z
nuqta
( )
i
D
sohadagi biror nuqta. Bunga mos
(
)
, ,
i
i
i
x y z
nuqtani
( )
i
D
sohadan tanlaymiz va
(
)
(
)
(
)
, ,
,
, ,
,
, ,
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x x
y y
z z
x h z
x h z
x h z
=
=
=
(12)
deb faraz qilamiz.
(10) integralning birinchisi uchun integral yigʻindi tuzamiz.
(
)
, ,
.
i
i
i
i
i
f x y z D
s
=
Bunga
, ,
i
i
i
x y z
larning (2) dagi ifodasini va
i
D
ni oʻrniga (1) ifodani qoʻyib
(
) (
) (
)
(
)
(
)
, ,
,
, ,
,
, ,
, ,
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
f x
y
z
J
s
x h z
x h z
x h z
x h z
=
D
yigʻindiga kelamiz.
( )
i
D
sohaning diametrini nolga intiltirsak, uzluksizlikka koʻra
( )
i
D
ning diametri ham
nolga intiladi.
s
yigʻindi bir vaqtda ikki integralga ham intiladi va (10) formula hosil boʻladi.
Endi ba’zi misollar keltiramiz [6].
1-misol.
Ushbu
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
24
( )
2
2
V
xyz
I
dxdydz
x
y
=
+
integralni hisoblang. Bu yerda
( )
V
yuqoridan
(
)
2
2
2
2
2
x
y
z
a xy
+
+
=
sirt bilan, pastdan
0
z
=
tekislik bilan chegaralangan jism.
Sferik koordinatalarga o’tamiz. U holda yuqoridagi sirt tenglamasi
2
2
sin sin cos ,
r
a
j
q
q
=
ko’rinishga keladi. Berilgan integral esa, jism
z
oʻqiga nisbatan cimmetrik boʻlgani uchun
quyidagiga almashadi:
sin
sin cos
2
2
3
0
0
0
2
sin cos sin cos
a
I
d d
r
dr
p
p
j
q
q
q j
j
j
q
q
=
=
4
4
2
2
3
3
5
0
0
sin cos
sin cos
.
2
144
a
a
d
d
p
p
q
q q
j
j j
=
=
2-misol.
Ushbu
( )
2
2
2
V
xyzdxdydz
K
x
y
z
=
+
+
integaral hisoblansin. Bu yerda
( )
V
- uch yoqli ellipsoid
2
2
2
2
2
2
1.
x
y
z
a
b
c
+
+
Umumlashgan sferik koordinatalarga oʻtamiz.
2
sin ,
sin sin ,
cos ,
sin .
x ar
y br
z cr
J abcr
j
j
q
j
j
=
=
=
=
Unda integral
1
3
2 2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0 0 0
sin cos sin cos
sin cos
sin sin
cos
drd d
K a b c
r
a
b
c
p p
j
j
j
q
q
j q
j
q
j
q
=
+
+
koʻrinishga keladi.
2
2
sin
, sin
u
v
j
q
=
=
almashtirish bajarsak, u holda
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
25
(
)(
)(
)
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
ln
ln
ln
8
a b c
c
a
b
K
b c
c a
a b
b
c
a
a
b b
c c
a
=
+
+
-
-
-
teng boʻladi.
Adabiyotlar ro‘yxati :
1. Г.Фихтенгольц. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», Том I, II, III.
Москва, «Физматлит», 2001.
2. G.Xudoyberganov, A.Vorisov, H.Mansurov. «Matematik analiz», 1-, 2-qism, Qarshi,
«Nasaf», 2003.
3. Tao T. Analysis 1, 2. Hindustan Book Agency, India, 2014.
4. T.Azlarov, H.Mansurov, «Matematik analiz asoslari», Toshkent, OʻzMU nashriyoti, 2005.
5. A.Sa’dullaev, H.Mansurov, G.Xudoyberganov, A.Vorisov, R.Gʻulomov «Matematik analiz
kursidan misol va masalalar toʻplami», 1-, 2- tom, Toshkent, «Oʻzbekiston» – 1993, 1996.
6. Б.П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», Изд.
13-е, Москва, «ЧеРо», 1997.
7. Zhamuratov, K., Umarov, K., & Dodobayev, A. (2024, May). Drainage of a semi-infinite
aquifer in the presence of evaporation. In AIP Conference Proceedings (Vol. 3147, No. 1).
AIP Publishing.
8. Жамуратов, К., Умаров, Х. Р., & Турдимуродов, Э. М. (2024). О решении методом
регуляризации одной системы функциональных уравнений с дифференциальным
оператором (Doctoral dissertation, Белорусско-Российский университет) (Doctoral
dissertation, Doctoral dissertation, Белорусско-Российский университет).
9. Агафонов, А., Умаров, Х., & Душабаев, О. (2023). ДРЕНИРОВАНИЕ ПОЛУ
БЕСКОНЕЧНОГО
ВОДОНОСНОГО
ГОРИЗОНТА
ПРИ
НАЛИЧИИ
ИСПАРЕНИЯ. Евразийский журнал технологий и инноваций, 1(6 Part 2), 99-104.
10. Narjigitov, X., Jamuratov, K., Umarov, X., & Xudayqulov, R. (2023). SEARCH PROBLEM
ON GRAPHS IN THE PRESENCE OF LIMITED INFORMATION ABOUT THE
SEARCH POINT. Modern Science and Research, 2(5), 1166-1170.
11. Умаров, Х. Р., & Жамуратов, К. (2015). Решение задачи о притоке к математическому
совершенному горизонтальному дренажу. Актуальные направления научных
исследований XXI века: теория и практика, 3(8-4), 303-307.
12. ЖАМУРАТОВ, К., УМАРОВ, Х.Р., & АЛИМБЕКОВ, А. Решениe oдной задачи
движения грунтовых вод в области с подвижной границей при наличии испарения.
НАУЧНЫЙ АЛЬМАНАХ Учредители: ООО" Консалтинговая компания Юком, 81-84.
13. Жамуратов, К., Умаров, Х., & Холбоев, С. (2016). Решение одной задачи теории
фильтрации методом квазистационарного приближения. Вестник ГулГУ, (2016/2), 9.
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
26
14. Umarov, X. R., & Asqarbekova, D. J. (2025). YIG‘INDI VA KO‘PAYTMALARNI
HISOBLASHDA KOMPLEKS ANALIZ METODLARIDAN FOYDALANISH. МОЯ
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ
КАРЬЕРА.
Международная
научно-образовательная
электронная библиотека (НЭБ)«МОЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ КАРЬЕРА», (68 (том
2)).
15. Умаров, Х. (2024). БИОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА. Педагогика и психология в современном мире: теоретические и
практические исследования, 4 (11(Special Issue), 274–277. извлечено от
