INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
3
UDK 517.382
UCH KARRALI INTEGRALLARNING MEXANIK MASALALARGA TADBIQLARI
G‘oyibnazarov Habibullo Raxmatullayevich,
Umarov Xabibullo Raxmatullayevich
Guliston davlat universiteti Matematika kafedrasi katta o‘qituvchisi, Guliston, O‘zbekiston
Abduxoliqov Umidjon G‘ulomqodir o‘g‘li
Guliston davlat universiteti Matematika yo‘nalishi iqtidorli talabasi, Guliston, O‘zbekiston
Annotatsiya:
Mazkur tadqiqot ishida, geometrik va fizik masalalarni uch karrali integral
yordamida oson usullarda yechish, geometrik isbotlashlarda qulayliklar yaratish masalasi koʻrib
chiqilgan. Uch karrali integralning nazariy asoslari va ularning geometrik va fizik masalalarga
tadbiqlari oʻrganilgan.
Аннотация:
В данной исследовательской работе рассматривалась проблема решения
геометрических и физических задач простыми способами с использованием тройного
интеграла, создающая удобство в геометрических доказательствах. Изучаются
теоретические основы тройного интеграла и их приложения к геометрическим и
физическим задачам.
Annotation:
In this research work, the problem of solving geometric and physical problems in
simple ways using the triple integral, which creates convenience in geometric proofs, was
considered. The theoretical foundations of the triple integral and their applications to geometric
and physical problems are studied.
KIRISH
Hozirgi zamon matematikasi boshqa tabiiy fanlar bilan birga yangi muammolarni hal
qilmoqda. Masalan, mexanikada karrali integrallar yordamida ogʻirlik markazi, inersiya
momentlari va boshqa kattaliklarni hisoblash osonroq boʻladi. Shuningdek, vektor analiz
elementlari yordamida mexanik qonunlarini matematik modeli tuzilib hisoblashlari matematik
jarayonga keltiriladi. Shuning uchun ushbu mavzu muhim nazariy va amaliy ahamiyatga egadir.
Uch karrali integral va uning geometriya, mexanikada tadbiqlarini oʻrganish dolzarb
mavzu hisoblanadi. Chunki bu mavzu fizika, mexanika va matematika fanlarini uzviy
bogʻliqligini bildirib turadi. Integral hisobni matematik fizika va mexnika masalalarida
qoʻllaganimizda koʻproq vektor formadan foydalanish qulayroq boʻladi. Shuning uchun vektor
analiz tushunchalari hamda integral formulalarni vektor koʻrinishlarini oʻrganish muhim
ahamiyatga ega hisoblanadi.
ADABIYOTLAR TAHLILI VA METODLAR
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
4
“Geometrik va fizik masalalarda uch karrali integral” mavzusini yoritishda Sh.O.Alimov,
R.R.Ashurovlarning “Matematik analiz”, T.Azlarov, H.Mansurovlarning “Matematik analiz”,
G.Fixtengoltsning “Курс дифференциального и интегрального исчисления” (II tоm) kabi
adabiyotlar tahlil qilindi.
Karrali integrallar nazariyasining metodlaridan foydalanib yechish mumkin boʻlgan
amaliy mazmundagi geometrik va fizik masalalarda misol va masalalarni A.Sa’dullayev va
boshqalarning “Matematik analiz kursidan misol va masalalar toʻplami” (2-tom),
B.P.Demidovichning “Сборник задач и упражнений по математическому анализу”,
G.Fixtengoltsning “Курс дифференциального и интегрального исчисления” (II tоm) va
boshqa adabiyotlardan topish mumkin.
NATIJALAR VA MUHOKAMA
Tabiiyki, barcha geometrik va mexanik kattaliklar fazodagi
( )
V
jismning massasiga
bogʻliqdir. Bunday holni uch karrali integral orqali ifodalaymiz [2, 3].
r
orqali
( )
V
jismning ixtiyoriy nuqtadagi zichligini belgilaylik: u nuqtaning
koordinatalarini funksiyasi boʻladi va bu funksiyani har doim uzluksiz deb faraz qilamiz.
dm
dV
dxdydz
r
r
=
=
massa elementlarini yigʻib chiqamiz va barcha massa kattaliklar
uchun
( )
( )
V
V
m
dV
dxdydz
r
r
=
=
(1)
ega boʻlamiz.
Elementar statistik momentlar uchun ushbu
,
yz
dM
xdm x dV
r
=
=
,
zx
dM
ydm y dV
r
=
=
,
xy
dM
zdm z dV
r
=
=
munosabatlar oʻrinli boʻlishini topamiz. Statistik momentlarni topish formulasi
( )
( )
,
yz
V
V
M
x dV
x dxdydz
r
r
=
=
( )
( )
,
zx
V
V
M
y dV
y dxdydz
r
r
=
=
(2)
( )
( )
,
xy
V
V
M
z dV
z dxdydz
r
r
=
=
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
5
iborat boʻladi.
Ogʻirlik markazining koordinatalari uchun
( )
( )
( )
,
,
V
V
V
x dV
y dV
z dV
m
m
m
r
r
r
x
h
z
=
=
=
(3)
formulalar oʻrinli boʻladi.
Bir jinsli jism uchun
const
r
=
boʻladi va ogʻirlik markazining koordinatalari uchun
( )
( )
( )
,
,
V
V
V
xdV
ydV
zdV
m
m
m
r
r
r
x
h
z
=
=
=
(4)
munosabatlar oʻrinli boʻladi.
Koordinata oʻqlariga nisbatan inersiya momentlari uchun
(
)
( )
(
)
( )
2
2
2
2
,
,
x
y
V
V
I
y
z
dV I
z
x
dV
r
r
=
+
=
+
(
)
( )
2
2
,
z
V
I
x
y
dV
r
=
+
(5)
formulalar oʻrinli boʻladi.
Koordinata tekisliklariga nisbatan inersiya momentlari
( )
( )
( )
2
2
2
,
,
zy
xz
xy
V
V
V
I
x dV I
y dV I
z dV
r
r
r
=
=
=
(6)
formulalar bilan hisoblanadi.
(
)
, ,
A
x h z
nuqtada mahkamlangan
( )
V
jism massa bilan tuldirilgan boʻlsin.
dm
dV
r
=
massa elementi tomoni nisbatan tortishish kuchi koordinata oʻqlarida proeksiyaga
ega boʻladi.
3
3
3
,
,
,
x
y
z
x
y
dF
dV dF
dV
r
r
z
dF
dV
r
x
h
r
r
z
-
-
=
=
-
=
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
6
bu yerda
(
) (
) (
)
2
2
2
r
x
y
z
x
h
z
=
-
+
-
+
-
A
nuqtadan
(
)
, ,
x y z
nuqtagacha masofa
elementi. Bundan toʻliq
F
ur
tortishish kuchini koordinata oʻqlaridagi proeksiyasi uchun
( )
( )
( )
3
3
3
,
,
,
x
y
V
V
z
V
x
y
F
dV F
dV
r
r
z
F
dV
r
x
h
r
r
z r
-
-
=
=
-
=
(7)
ega boʻlamiz [2, 4].
Xuddi shunday
( )
V
jismning nuqtadagi potensiali ham
( )
V
dV
W
r
r
=
(8)
formula bilan hisoblanadi [3, 4].
Agar
A
nuqta jismdan tashqarida boʻlsa, bu integrallarning barchasi xos integrallar
boʻladi. Bu holda
W
integralni ixtiyoriy
, ,
x h z
oʻzgaruvchilar boʻyicha integral ostida
differensiallash mumkin. Natijada
,
,
,
x
y
z
F
F
F
F
F
F
x
h
z
¶
¶
¶
=
=
=
¶
¶
¶
(9)
hosil qilamiz.
Agar
A
nuqta
( )
V
jismga tegishli boʻlsa, bu nuqtada
0
r
=
va (7) va (8) dagi integral
ostidagi funksiyalar chegaralanmagan boʻlib qoladi. Keyinroq bu integrallarni xosmas ekanligini
va mavjudligini (9) munosabatning bajarilishini koʻrsatamiz.
Uch karrali integrallarning mexanikaga tadbiqlariga doir ba’zi bir misollar koʻrib
chiqaylik.
1 – misol.
1
r
=
boʻlganda ikki oʻlchovli holda bir jinsli silindrik brusning statistik
momenti uchun
( )
( )
( )
2
,
,
yz
zx
P
P
xy
P
M
zxdxdy M
zydxdy
M
z dxdy
=
=
=
formulaga egamiz. Bularga (2) formulalarni qoʻllab:
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
7
( )
( )
( )
,
0
;
z x y
xy
V
P
M
zdV
dxdy
zdz
=
=
bu yerda
( )
( )
,
,
2
0
0
1
.
2
z x y
z z x y
z
zdz
z
=
=
=
2 – misol.
2
2
2
x
y
az
+
=
paraboloid va
2
2
2
2
3
x
y
z
a
+
+
=
sferik sirtlar bilan
chegaralangan jismning ogʻirlik markazini toping.
xy
tekislikka nisbatan statistik momenti
( )
b
a
M
xp x dx
=
formulada
x
ni
z
bilan almashtirib hisoblash mumkin. Koʻndalang kesim
( )
R z
ning yuzi
2
az
p
ga teng.
2
z
funksiya 0 dan
a
va
(
)
2
2
3
a
z
p
-
funksiya uchun, yoki
z
oʻzgaruvchi
a
dan
3
a
gacha oʻzgaradi. Shunday qilib,
(
)
3
2
2
2
4
0
5
2
3
.
3
a
a
xy
a
M
a z dz
a
z dz
a
p
p
p
=
+
-
=
Shuningdek jismning hajmi ma’lum:
(
)
3
6 3 5 ,
3
a
V
p
=
-
[6] boʻlsa,
( )
(
)
5 6 3 5 .
83
V
zdV
a
V
z
= =
+
0
x h
= =
simmetrik jism boʻlgani uchun.
3 – misol.
2
2
2
2
x
y
z
az
+
+
sferaning massasini toping va ogʻirlik markazining
oʻrnini aniqlang.
Agar sferaning nuqtalari zichligi bu nuqtalar bilan koordinata boshigacha boʻlgan
masofaga teskari proporsianal boʻlsa,
2
2
2
.
k
x
y
z
r
=
+
+
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
8
(1) formulaga koʻra massa
2
2
2
2
2
2
2
x y z
az
dxdydz
m k
x
y
z
+ +
=
+
+
teng.
Bu uch karrali integralda almashtirish bajarib, uni ushbu
( )
2
2
2
2
0
z
a
R
dxdy
m k dz
x
y
z
=
+
+
sodda integral va ikki karrali integrallar orqali ifodalash mumkin. Bu yerda
( )
z
R
radiusi
2
2
az z
-
ga teng boʻlgan aylana. Ichki integralni qutb koordinatalarga oʻtib
(
)
2
2
2
2
2
0
0
2
2
a
az z
rdrd
az z
r
z
q
p
-
=
-
+
tengligini topamiz.
Bundan esa
2
4
3
m
Ra
p
=
boʻlishini topamiz.
Statistik momenti esa (2) munosabatlardan foydalanib
2
2
2
2
2
2
2
2
16
15
xy
x y z
az
zdxdydz
M
R
Ra
x
y
z
p
+ +
=
=
+
+
tengligini topamiz.
Ogʻirlik markazi esa,
4
3
a
x
=
ga teng, qolgan ikki koordinatasi 0 ga teng.
4 – misol.
Ushbu silindrning asosidagi tortishish markazini toping. Rasmda
ifodalanishiga koʻra
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
9
(
)
( )
2
2
2
3
3
2
2
2
2
0
h
z
V
x y R
zdV
zdz
F
dxdy
V
x
y
z
r
r
+
=
=
=
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
x y R
dxdy
x
y
x
y
h
r
+
-
=
+
+
+
(
)
2
2
2
.
R h
R
h
pr
=
+ -
+
Qolgan ikkita tortishish kuchi nolga teng. Shuning uchun tortishish vertikal yuqoriga
yoʻnalgan.
5 – misol.
Silindrning asosini markazidagi potensialini toping.
(8) formuladan foydalanib topamiz. Buning uchun
2
2
2
2
2
2
0
:
h
x y R
dxdy
W
dz
x
y
z
r
+
=
+
+
Ikki karrali integralni qutb koordinatalarga oʻtib hisoblaymiz. Natijada
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
0
2
ln
h
h
R
h
W
R
z
z dz
R
h R
h
h
R
pr
rp
rp
+
+
=
+
-
=
+
+
-
ega boʻlamiz.
Agar jismning inersiya momenti koordinata boshidan chiqib turli oʻqlarga tarqalgan
boʻlsa, har bir oʻqda
1
n
ON
I
=
kesmalar ajratadi.
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
10
cos
cos
cos
cos
,
,
n
n
n
X ON
Y
Z
I
I
I
a
b
g
a
=
=
=
=
lar bu kesmaning oxiri
N
nuqtaning koordinatalari boʻlsin. U holda
n
I
ning qiymati
ma’lumligiga koʻra
N
nuqtaning geometrik oʻrnini aniqlaydigan
2
2
2
2
2
2
1
x
y
z
yz
zx
xy
I X
I Y
I Z
K YZ
K ZX
K XY
+
+
-
-
-
=
tenglamani hosil qilamiz [7, 8].
Shuningdek
ON
kesmaning uzunligi cheksizlikka aylanmasa, bu ikkinchi tartibli sirt
ellipsoid boʻladi. U ellipsoid inersiya
deyiladi. Qattiq jismlarning harakatini
tekshirayotganimizda ellipsoid inersiyaning oʻqlari asosiy rol uynaydi. Shuning uchun bu oʻqlar
inersiyaning bosh oʻqlari deyiladi. Agar
O
nuqta ogʻirlik markazi boʻlsa, mos inersiya oʻqlari
inersiyaning bosh markaziy oʻqi deyiladi.
Koordinata oʻqlarining inersiyani bosh oʻqlari boʻlishiga markazdan qochuvchi
momentga bogʻliq. Masalan,
x
oʻqi inersiya bosh oʻqi boʻlishi uchun
0,
0
xy
zx
K
K
=
=
shartning bajarilishi zarur va yetarli.
Xususan, bu shartlar bajarilishi uchun massa
yz
tekisligiga simmetrik tarqalgan boʻlishi
kerak.
Qattiq jismni oʻq atrofida aylanishida markazdan qochuvchi kuch haqida toʻxtalib
oʻtamiz.
Agar
( )
V
jism
z
oʻqi atrofida
w
burchak tezlik bilan aylangan boʻlsa,
dm
dV
r
=
elementli jismning markazdan qochuvchi kuchi
2
2
DF
rdm
r dV
w
w r
=
=
kattalik bilan hisoblanadi. Bu erda
r
aylanish oʻqidan elementgacha boʻlgan masofa. Masofadan
qochuvchi kuchning koordinata oʻqlaridagi proeksiyasi
2
2
,
,
0
x
y
z
dF
x dV dF
y dV dF
w r
w r
=
=
=
ga teng.
F
ur
markazdan qochuvchi kuch ushbu integrallar orqali
( )
2
2
2
,
,
0
x
yz
y
zx
z
V
F
x dV
M
F
M
F
w
r
w
w
=
=
=
=
hisoblanadi. Bu erda
,
yz
zx
M
M
-
jismning statistik momenti. Agar
, ,
x h z
lar orqali
jismning ogʻirlik markazining koordinatalarini ifodalasak, bu formulalar
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
11
2
2
,
,
0
x
y
z
F
m F
m F
w x
w h
=
=
=
ko’rinishda yoziladi.
Markazdan qochuvchi elementar kuch orqali koordinata oʻqlariga nisbatan momentlarini
2
2
,
,
0
x
y
y
x
z
dM
zdF
yz dV
dM
zdF
zx dV dM
w
r
w
r
=
=
=
=
=
koʻrinishda ifodalash mumkin [6, 7].
Natijada bu oʻqlarga nisbatan momentlar
( )
2
,
,
0
x
yz
y
zx
z
V
M
yz dV
K
M
K
M
w
r
w
=
=
=
=
integrallar orqali topiladi.
Markazdan qochuvchi kuch uzaro teng kuchli boʻlishi uchun yoki valga tashqi ta’sir
koʻrsatmasligi uchun
0,
0,
0,
0
yz
zx
yz
zx
M
M
K
K
=
=
=
=
shartlar urinli boʻlishi zarur va etarli. Birinchi ikkitasi jismning ogʻirlik markazini
z
oʻqida
yotishini ifodalaydi, keyingi ikkitasi esa
z
oʻqini inersiyasining bosh oʻqi ekanligini koʻrsatadi.
Uch karrali integralning mexanikada tadbiqlarini ba’zi bir aniq misollar yordamida koʻrib
chiqamiz [6, 7].
6 – misol.
Bir jinsli
(
)
1
r
=
ellipsoidning
(
)
2
2
2
2
2
2
1
x
y
z
a b c
a
b
c
+
+
> >
potensialini toping.
Sferik koordinatalarni kiritamiz, bu holda
x
oʻq sifatida qutb oʻqni olamiz:
cos ,
sin cos ,
sin sin .
x r
y r
r
j
j
q
j
q
-
=
=
z
U holda
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
12
j
j
q
j
q
p
p
p
p
j j
q
q
j j
q
q
+
+
+
+
=
=
=
+
+
=
+
2
2
2
1
cos
sin cos
sin sin
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
1
2
2
2
2
2
2
2
0
0
8 sin
4 sin
.
cos
sin
a
b
c
x
y
z
a
b
c
dxdydz
W
d
d
rdr
x
y
z
d
d
B
C
bu yerda
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
cos
sin
,
.
B
C
a
b
a
c
j
j
j
j
=
+
=
+
Ichki integral
2
BC
p
ga teng. Keyin
2
2
cos
a
c
t
a
j
-
=
deb, birinchi tur elliptik
integralni hosil qilamiz:
(
)
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
.
1
1
a c
a
abc
dt
W
a
c
a
b
t
t
a
c
p
-
=
ж
ц
-
-
ч
з
ч
-
-
з
ч
з
ч
з
-
и
ш
т
sin
t
l
=
urniga qoʻyish orqali Lejandr formasiga kelamiz:
(
)
2
2
0
0
2
2
2
2
2
2
0
0
2
2
,
,
1
sin
a c
a
abc
dt
abc
W
F
k
a
c
k
a
c
p
p
l
l
-
=
=
-
-
-
bu yerda
2
2
2
2
0
0
2
2
arcsin
,
.
a
c
a
b
k
a
a
c
l
-
-
=
=
-
XULOSA
Ma’lumki, matematik analiz kursidagi ahamiyat molik, hisoblash murakkab bo‘lgan va
matematikaning boshqa sohalari rivojida muhim sanalgan bir qator geometric va fizik
kattaliklarning qiymatlarini karrali integral xossalari va metodlaridan foydalangan holda
hisoblash va oson hisoblashga qulaylik tug‘diradigan yo‘llarini topish masalasining o‘rganilishi
matematik analiz fani va uning tatbiqlari nazariyasining zamonaviy kontseptsiyalarini osonroq
tushunishga yordam beradi va shuningdek, matematik analizning tatbiqlari bobining
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
13
rivojlanishiga asos bo‘ladi hamda haqiqiy analizning ba’zi masalalarini hal qilish usullarini
yanada ko‘paytiradi.
Shuningdek, ba’zi integrallarni yaqinlashishga tekshirish va ularning qiymatlarini
hisoblash, karrali integrallarning xossalari va metodlaridan foydalanish usullarini o‘rganish va
ulardan foydalanish yo‘llarini topish o‘rganuvchilarni matematikaga bo‘lgan qiziqishlarini
orttiradi. Matematik analiz va uning tatbiqlarining o‘quv materialini chuqurroq va kengroq
o‘rganish imkoniyatini yaratadi.
ADABIYOTLAR ROʻYXAT:
1.
Г.Фихтенгольц. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», Том I, II,
III. Москва, «Физматлит», 2001.
2.
Xudoyberganov G., Vorisov A.K., Mansurov X.T., Shoimqulov B.A. Matematik analizdan
ma’ruzalar. T. 1,2-qismlar. 2010.
3.
Sh.O.Alimov, R.R.Ashurov. Matematik analiz 1,2,3 q. T. «Mumtoz soʻz», 2018.
4.
Tao T. Analysis 1, 2. Hindustan Book Agency, India, 2014.
5.
.Архипов, В.Садовничий, В.Чубариков. «Лекции по математическому анализу»,
Москва, «Высшая школа»–1999.
6.
A.Sa’dullaev, H.Mansurov, G.Xudoyberganov, A.Vorisov, R.Gʻulomov «Matematik
analiz kursidan misol va masalalar toʻplami», 1-, 2- tom, Toshkent, «Oʻzbekiston» – 1993,
1996.
7.
Б.П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», Изд.
13-е, Москва, «ЧеРо», 1997.
8.
Zhamuratov, K., Umarov, K., & Dodobayev, A. (2024, May). Drainage of a semi-infinite
aquifer in the presence of evaporation. In AIP Conference Proceedings (Vol. 3147, No. 1).
AIP Publishing.
9.
Жамуратов, К., Умаров, Х. Р., & Турдимуродов, Э. М. (2024). О решении методом
регуляризации одной системы функциональных уравнений с дифференциальным
оператором (Doctoral dissertation, Белорусско-Российский университет) (Doctoral
dissertation, Doctoral dissertation, Белорусско-Российский университет).
10.
Агафонов, А., Умаров, Х., & Душабаев, О. (2023). ДРЕНИРОВАНИЕ ПОЛУ
БЕСКОНЕЧНОГО
ВОДОНОСНОГО
ГОРИЗОНТА
ПРИ
НАЛИЧИИ
ИСПАРЕНИЯ. Евразийский журнал технологий и инноваций, 1(6 Part 2), 99-104.
11.
Narjigitov, X., Jamuratov, K., Umarov, X., & Xudayqulov, R. (2023). SEARCH
PROBLEM ON GRAPHS IN THE PRESENCE OF LIMITED INFORMATION ABOUT
THE SEARCH POINT. Modern Science and Research, 2(5), 1166-1170.
12.
Умаров, Х. Р., & Жамуратов, К. (2015). Решение задачи о притоке к
математическому
совершенному
горизонтальному
дренажу.
Актуальные
направления научных исследований XXI века: теория и практика, 3(8-4), 303-307.
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
14
13.
ЖАМУРАТОВ, К., УМАРОВ, Х.Р., & АЛИМБЕКОВ, А. Решениe oдной задачи
движения грунтовых вод в области с подвижной границей при наличии испарения.
НАУЧНЫЙ АЛЬМАНАХ Учредители: ООО" Консалтинговая компания Юком, 81-
84.
14.
Жамуратов, К., Умаров, Х., & Холбоев, С. (2016). Решение одной задачи теории
фильтрации методом квазистационарного приближения. Вестник ГулГУ, (2016/2), 9.
15.
Umarov, X. R., & Asqarbekova, D. J. (2025). YIG‘INDI VA KO‘PAYTMALARNI
HISOBLASHDA KOMPLEKS ANALIZ METODLARIDAN FOYDALANISH. МОЯ
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ КАРЬЕРА. Международная научно-образовательная
электронная библиотека (НЭБ) «МОЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ КАРЬЕРА», (68
(том 2)).
16.
Умаров, Х. (2024). БИОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА. Педагогика и психология в современном мире: теоретические и
практические исследования, 4 (11 (Special Issue), 274–277. извлечено от
