INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
616
TRIGONOMETRIK FUNKSIYALARNING GEOMETRIK ASOSLARI VA
ULARNING QO‘LLANILISHI
Mallaboyeva Mohira Salimjonovna
Fargʻona viloyati Rishton tumani 1-son Politexnikumi matematika fani o‘qituvchisi
Annotatsiya:
Ushbu maqolada trigonometrik funksiyalarning tarixiy rivojlanishi, ularning
geometrik asoslari va amaliy qo‘llanilish sohalari tahlil qilingan. Dastlab trigonometrik
tushunchalarning paydo bo‘lishi va tarixiy shakllanish bosqichlariga to‘xtalib o‘tiladi.
Trigonometrik funksiyalarning geometrik talqini birlik aylana asosida yoritilib, sinus, kosinus,
tangens va kotangens funksiyalarining grafiklari va ularning xossalari bayon etilgan.
Shuningdek, bu funksiyalarning geometriya, fizika, texnologiya, informatika, biologiya,
iqtisodiyot kabi ko‘plab fanlar va sohalarda qo‘llanilishi ko‘rsatib berilgan. O‘quv jarayonida
ushbu mavzuning o‘rgatilish ahamiyati ham alohida yoritilgan.
Kalit so‘zlar
:trigonometrik funksiyalar, sinus, kosinus, tangens, kotangens, birlik aylana, grafik,
geometriya, to‘lqin, fizik jarayonlar, injiniring, informatika, o‘quv jarayoni, amaliy qo‘llanish,
matematik modellashtirish.
Matematika fanining asosiy bo‘limlaridan biri bo‘lgan trigonometriya qadim
zamonlardan boshlab insoniyat hayotida muhim o‘rin tutib kelmoqda. Uning boshlang‘ich
g‘oyalari qadimgi Misr, Bobil va Hindiston kabi sivilizatsiyalarda yulduzlar harakatini
o‘rganish, qurilish va navigatsiya sohalarida paydo bo‘lgan. Trigonometrik bilimlarning
rivojlanishi Yunoniston davrida, ayniqsa, Eratosfen, Ptolemey va Gipparx kabi allomalar
faoliyati orqali kengaygan. O‘rta asrlarda esa bu bilimlar arab olimlari tomonidan
mukammallashgan va keyinchalik Yevropa matematikasiga o‘tgan.
Trigonometrik funksiyalar — bu burchaklar va uzunliklar orasidagi nisbatlarni
ifodalovchi matematik munosabatlardir. Ular sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg), kotangens
(ctg), sekans (sec) va kosekans (cosec) kabi funksiyalarni o‘z ichiga oladi. Dastlab
trigonometrik funksiyalar faqat to‘g‘ri burchakli uchburchaklarda qo‘llanilgan bo‘lsa,
keyinchalik ular birlik aylana orqali umumiylashtirilib, har qanday haqiqiy son argumentlar
uchun aniqlana boshladi. Aynan shu yondashuv trigonometrik funksiyalarning geometriyadagi
asoslarini yaratdi.
Trigonometrik funksiyalar, ayniqsa, geometriya fanida muhim ahamiyat kasb etadi.
Geometrik figuralarni o‘lchash, burilish burchaklarini aniqlash, murakkab shakllarni tahlil
qilish, aylanish, tebranish va periodik hodisalarni tasvirlashda bu funksiyalarning o‘rni
beqiyosdir. Masalan, sinus va kosinus funksiyalari orqali doira yoki aylana ustida harakat
qilayotgan nuqta koordinatalari aniqlanadi, tangens esa egilish yoki nishablik burchaklarini
ifodalashda qo‘llaniladi.
Zamonaviy texnologiyalar rivojlangan hozirgi davrda trigonometrik funksiyalar
informatika, fizikadagi to‘lqinlar nazariyasi, elektrotexnika, akustika, qurilish muhandisligi,
hatto iqtisodiyot va biologiya kabi sohalarda ham keng tatbiq etilmoqda. Masalan, elektr toki va
tovush tebranishlarini modellashtirish, sun’iy yo‘ldoshlar harakatini hisoblash, binolarning
mustahkamligini aniqlashda trigonometrik model va formulalardan foydalaniladi.
Trigonometrik funksiyalarning geometrik asoslari.
Trigonometrik funksiyalarning
mohiyatini tushunishda geometriya, ayniqsa birlik aylana asosiy rol o‘ynaydi. Trigonometriya
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
617
dastlab to‘g‘ri burchakli uchburchaklar asosida yaratilgan bo‘lsa-da, uning rivoji trigonometrik
funksiyalarni doira burchagi yoki radial yondashuv orqali umumlashtirishga olib keldi.
Birlik aylana — bu markazi koordinata boshida (0, 0) joylashgan va radiusi 1 ga teng
bo‘lgan doiradir. Bu aylana yordamida sinus va kosinus funksiyalarini geometrik tarzda
quyidagicha aniqlash mumkin: agar birlik aylanadagi istalgan nuqta koordinatalari (x,y)(x, y)
bo‘lsa, u holda:
sin(α) = y — ya’ni ordinata,
cos(α) = x — ya’ni abssissa.
Shuningdek, tangens va kotangens funksiyalari ham aylana yordamida aniqlanadi:
tan(α) = sin(α)/cos(α) = y/x,
cot(α) = cos(α)/sin(α) = x/y.
Bu yondashuv trigonometrik funksiyalarning periodik xususiyatlarini, garmoniklik va
to‘lqinli xarakterini ochib beradi. Ayniqsa, sinus va kosinus funksiyalari uchun har 360° (yoki
2π radian) da takrorlanish xususiyati mavjud:
sin(x + 2π) = sin(x),
cos(x + 2π) = cos(x).
Trigonometrik funksiyalarning grafiklari.
Trigonometrik funksiyalar grafiklari
ularning xatti-harakatini tushunishda muhim vositadir. Ular orqali funksiyaning amplitudasi,
periodi, faza siljishi, va maksimal/minimal qiymatlari aniqlanadi.
Sinus funksiyasi: y = sin(x) grafigi doimiy tebranuvchi egri chiziq bo‘lib, -1 dan +1
gacha qiymat oladi va 2π davrga ega.
Kosinus funksiyasi: y = cos(x) ham sinusga o‘xshash, faqat boshlanish nuqtasida
maksimal qiymatni (1) oladi.
Tangens funksiyasi: y = tan(x) grafigi asimptotlarga ega bo‘lib, har π da takrorlanadi.
Kotangens funksiyasi: y = cot(x) esa har π da periodli bo‘lib, u ham asimptotik
xarakterga ega.
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
618
Bu grafiklar orqali trigonometrik funksiyalarning tebranuvchan, to‘lqinli, davriy
xususiyatlari ko‘zga ko‘rinadi. Shu tufayli ular tabiatdagi to‘lqin hodisalarini modellashtirishda
keng qo‘llaniladi.
Trigonometrik funksiyalarning qo‘llanilishi.
Trigonometrik funksiyalar nazariy
jihatdan chuqur bo‘lishiga qaramay, ular amaliyotda ham keng qo‘llaniladi. Quyida ularning
asosiy sohalardagi qo‘llanilishiga misollar keltiramiz:
a) Geometriya va fizika.
Uchburchaklarning noma’lum tomonlarini yoki burchaklarini topishda.
To‘lqinlar, tebranishlar, aylanish harakati (masalan, massaning aylanadigan diskdagi
holati)ni tavsiflashda.
Yorug‘lik, tovush va elektromagnit to‘lqinlarning tarqalishini o‘rganishda.
b) Injiniring va texnologiya
Qurilishda qiyalik, nishablik, balandlikni aniqlashda.
Mexanika va elektrotexnika sohalarida signalni analiz qilishda.
Sun’iy yo‘ldoshlar trayektoriyasini hisoblashda.
c) Astronomiya va geografiya
Quyosh, Oy va yulduzlar koordinatalarini aniqlashda.
Harakat traektoriyalari va burchaklarni hisoblashda.
d) Kompyuter grafikasi va animatsiya
Harakatlanuvchi obyektlarni burish, aylantirish, kattalashtirish kabi effektlarni
yaratishda.
INTERNATIONAL JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCHERS
ISSN: 3030-332X Impact factor: 8,293
Volume 11, issue 2, May 2025
https://wordlyknowledge.uz/index.php/IJSR
worldly knowledge
Index:
google scholar, research gate, research bib, zenodo, open aire.
https://scholar.google.com/scholar?hl=ru&as_sdt=0%2C5&q=wosjournals.com&btnG
https://www.researchgate.net/profile/Worldly-Knowledge
https://journalseeker.researchbib.com/view/issn/3030-332X
619
3D modellashda koordinatalar transformatsiyasida.
e) Biologiya va iqtisodiyot
Yurak urishining grafiklari, miya to‘lqinlari yoki moliyaviy bozorlarning
o‘zgaruvchanlik modellarini trigonometriya vositasida tahlil qilish mumkin.
O‘quv jarayonida qo‘llanilishi.
Trigonometrik funksiyalarni o‘rganish nafaqat nazariy
bilim, balki amaliy muammolarni hal etish qobiliyatini ham shakllantiradi. O‘quvchilar bu
mavzular orqali:
Ko‘rish tasavvurini rivojlantiradi,
Analitik fikrlashga o‘rganadi,
Murakkab masalalarni model asosida hal qilishni o‘rganadi.
Zamonaviy darslarda GeoGebra, Desmos kabi interaktiv dasturlardan foydalangan holda
trigonometrik funksiyalar grafiklarini real vaqt rejimida chizish va tahlil qilish o‘quvchilarni
yanada chuqurroq bilim olishga undaydi.
Trigonometrik funksiyalar — sinus, kosinus, tangens va kotangens kabi funksiyalar —
matematikaning ko‘plab sohalarida, ayniqsa geometriyada, asosiy o‘rin tutadi. Ularning
geometrik asoslari to‘g‘ri burchakli uchburchak va aylana doirasidagi nuqtalar orqali aniqlanadi,
bu esa ularni tushunishni va amaliyotda qo‘llashni osonlashtiradi. Trigonometrik
funksiyalarning o‘ziga xos xususiyatlari va munosabatlari, masalan, Pifagor teoremasi va
burchaklarning yig‘indisi formulasidan kelib chiqib, ko‘plab murakkab masalalarni hal qilish
imkonini beradi. Ularning qo‘llanilishi nafaqat matematika va fizika fanlarida, balki
muhandislik, arxitektura, informatika, geodeziya va boshqalar kabi amaliy sohalarda ham juda
keng. Masalan, to‘lqinlarni tahlil qilish, mexanik harakatlarni o‘rganish, signal uzatish, grafik
animatsiya yaratish kabi jarayonlarda trigonometrik funksiyalar muhim vosita hisoblanadi. Shu
bois, trigonometrik funksiyalarning geometrik asoslarini chuqur o‘rganish va ularni turli
sohalarda samarali qo‘llash zamonaviy ilm-fan va texnologiyaning rivojlanishi uchun katta
ahamiyatga ega. Bu mavzu bo‘yicha bilimlarni mustahkamlash o‘quvchilar va mutaxassislar
uchun matematik tafakkurni oshirish va amaliy ko‘nikmalarni rivojlantirishga xizmat qiladi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Aleksandr S. Trigonometria va uning amaliyoti, Toshkent, Fan nashriyoti, 2015, 320 sahifa.
2. Islomov B.M. Analitik geometriya va trigonometrik funksiyalar, Toshkent, O‘zbekiston
davlat jahon tillari universiteti nashriyoti, 2018, 245 sahifa.
3. Kaplan A.I., Matematika asoslari, Moskva, Nauka, 2012, 400 sahifa.
4. Sharipov O. Trigonometrik funksiyalar va ularning tahlili, Toshkent, ToshDU nashriyoti,
2019, 180 sahifa.
5. Thomas G.B., Finney R.L. Calculus and Analytic Geometry, Addison-Wesley Publishing
Company, 2002, 1100 pages.
6. Stewart J. Calculus: Early Transcendentals, Cengage Learning, 2015, 1300 pages.
7. Benson, T. Mathematics for Engineers, Cambridge University Press, 2016, 600 pages.
