Talqin va tadqiqotlar ilmiy-uslubiy jurnali
Impact Factor: 8.2 | 2181-3035 | № 5(63)
~ 29 ~
APPROXIMATE-ANALYTICAL SOLUTION OF THE MASS TRANSFER
PROBLEM USING THE INTEGRAL LAPLACE TRANSFORM
Elgondiev Kuanish Kalbaevich
Department of Mathematics, Karakalpak State University named after
Berdakh. Professor of the Department of Differential Equations P.O.Box 230112,
Nukus, Uzbekistan.
Allamuratova Elmira Sharapatdinovna
Karakalpak State University named after Berdakh 1 st year master of the Faculty of
Mathematics
Annotation:
In this article, a one-dimensional problem of salt transfer in a two-
layer porous medium is investigated. An approximate analytical solution of the
problem was obtained using the integral Laplace transform.
Key words:
Laplace transforms, convective diffusion, concentration, salt
transfer, functional, Fourier transform.
ПРИБЛИЖЕННО–АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
МАССОПЕРЕНОСА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕГРАЛЬНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Едгондиев Куаныш Калбаевич
Каракалпакский государственный университет имени Бердаха Профессор
кафедры дифференциальные уравнение. а/я 230112, Нукус, Узбекистан.
еlgondiev.61@gmail.com
Алламуратова Элмира Шарапатдиновна
Каракалпакский государственный университет имени Бердаха Магистр 1-курса
математического факультета
Аннотация:
В данной статье исследован одномерная задача солепереноса
в двухслойной пористой среде. Было получено приближенно-аналитическое
решения задачи с использованием интегрального преобразования Лапласа.
Ключевые слова:
преобразования Лапласа, конвективная диффузия,
концентрация, солеперенос, функционал, преобразование Фурье.
Рассоление легких растворимых солей в корне обитаемом слое
расположенных в верхнем горизонте потоком с поверхности земли
осуществляется слабой концентрацией по сравнению содержанием солей в этом
Talqin va tadqiqotlar ilmiy-uslubiy jurnali
Impact Factor: 8.2 | 2181-3035 | № 5(63)
~ 30 ~
горизонте. В данной статье рассматривается задача массопереноса описываемая
следующей
дифференциальной
уравнений
в
частных
производных
параболического типа
(1)
Для определения с(x,y,z,t) как функции координаты z, параметров x, y и
времени t в уравнение (1) использованы условия.
(2)
(3)
|
(4)
Решение задачи (1)-(4), полученное в [1,2,3], представлено сложными
аналитическими зависимостями в виде рядов, которые медленно сходятся.
Переходим к новой функции положив
.
И после несложных преобразований перейдем к уравнению
(5)
подчиненному условиям
(6)
(7)
(
)|
(8)
где
;
В (5)-(8) перейдем к безразмерной пространственной координате
,
тогда будем иметь следующую краевую задачу:
(9)
(10)
(11)
(
)|
(12)
Здесь указывается метод получения приближенно-аналитических
решений с использованием интегрального преобразования Лапласа [4,5]
Приближенно-аналитическое решение задачи относительно функции
w(x,y,
,t) находится с использованием интегрального преобразования Лапласа
Talqin va tadqiqotlar ilmiy-uslubiy jurnali
Impact Factor: 8.2 | 2181-3035 | № 5(63)
~ 31 ~
∫
В результате этого преобразования уравнение (9) с учетом (10) запишется
в виде
(13)
Частное решение этого уравнение будем искать в виде
̃
Откуда находим
̃
̃
подставляя зти значения в (13) получим следующее выражение
̃
̃
Откуда получаем соотношение
̃ (
)
̃
(
)
из которых находим
̃
Общее решение уравнения (13) записывается в виде [6]
√
√
,
(14)
где произвольные постоянные N
1
и N
2
определяются из следующих
условий
при
, и
при
(
)
получим следующее соотношение
√
√
√
√
√
√
откуда находим связь N
1
через N
2
.
Talqin va tadqiqotlar ilmiy-uslubiy jurnali
Impact Factor: 8.2 | 2181-3035 | № 5(63)
~ 32 ~
√
√
√
√
√
√
Подставляя значение N
1
в (14) получим [6]
(
√
√
√
√
√
√
√
√
√
)
√
√
√
[√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
]
√
√
√
[ √
√
√
]
или
√
√
√
√
√
√
(15)
Получим при
приближенное решение для больших значениях
времени, при котором может произойти максимальное расхождение с точным.
Talqin va tadqiqotlar ilmiy-uslubiy jurnali
Impact Factor: 8.2 | 2181-3035 | № 5(63)
~ 33 ~
В этом случае гиперболический котангенс (малые значения p) посредством
связи
может быть заменен на
√
√
(
)
[7].
Так для
(порядка
) гиперболический синус может
быть заменен своим аргументом. В результате для больших значений времени t
с такой оценкой получим из формулы (15) соотношение
√
√
( √
√
)
(
(
))
(
)
,
или
(
)
(16)
В этом выражении переходим к оригиналу, используя обратное
преобразование Лапласа.
(
)
(
)
,
или
(17)
Значение функции с(x,y,
при
=1 будет определяться формулой.
Тогда с учетом (17) найдем
Получено решения задачи по нахождению искомой функции солепереноса,
когда дифференциальное уравнение в частных производных параболического
типа содержало первую производную от функции по пространственной
переменной.
Talqin va tadqiqotlar ilmiy-uslubiy jurnali
Impact Factor: 8.2 | 2181-3035 | № 5(63)
~ 34 ~
Использованная литература:
1.
Алламуратов.Ш.З., Алламуратова Э.Ш. Приближенное решение
задачи массопереноса с использованием метода конечных разностей. // Научно-
методический журн."Талкин ва тадкикотлар ".-Ташкент, 30.11.2024.-№19(56)-
С.141-145.
2.
Алламуратов.Ш.З., Алламуратова Э.Ш.
Применение метода
конечных элементов в одномерной задаче солепереноса. // Научно-
методический журн."Талкин ва тадкикотлар ".-Ташкент, 15.12.2024.-№20(57)-
С.123-128.
3.
Веригин Н.Н., Куранов Н.П., Саркисян В.С., Шульгин Д.Ф.Методы
прогноза солевого режима грунтов и грунтовых вод. -М.: Колос, 1979.-336 с.
4.
Диткин В.А.,Прудников А.П.Справочник по операционному
исчислению. - М.: Высшая школа,1965.-465 c.
5.
Дёч Г.Руководство к практическому применению преобразования
Лапласа и z-преобразования. - М.: Наука,1971.-288 с.
6.
Янпольский А.Р. Гиперболические функции.-М.:Гос.изд.физ-мат.
лит.,1960.-194 с.
7.
Hantush M.S. Modification of the theory of leakly aquifers. J.Geophys.
Res., 1960,V.65,№ 11, p.3713-3725.
