JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK
JURNAL
514
“
Rus tili va adabiyoti” fani o‟qituvchi
Ro'ziyeva Nafisa Olimovna
Romitan tuman 1-son politexnikumining
“Matematika” fani o‟qituvchisi si
SHAR. SHAR KESIMLARI. SHARGA URINMA TEKISLIK VA URINMA TO‘G‘RI
CHIZIQ
Annotatsiya:
Mazkur maqolada fazoviy geometriyaning markaziy tushunchalaridan biri bo„lgan
shar
va unga bog„liq tushunchalar –
shar kesimlari
,
sharga urinma tekislik
hamda
sharga
urinma to‘g‘ri chiziq
nazariy va amaliy jihatdan keng yoritiladi. Sharni tekislik bilan kesganda
hosil bo„ladigan figuralar (aylana), ularning radiusi, joylashuvi va geometrik tahlili bayon
qilinadi. Shuningdek, sharga urinma tekislik va chiziqning aniqlanish shartlari, analitik formulalar
va misollar orqali tushuntiriladi. Maqola o„quvchilarga fazoviy tasavvurni rivojlantirish, amaliy
geometriya bilimlarini chuqurlashtirishga yordam beradi.
Аннотатция:
В статье дается широкий теоретический и практический обзор сферы,
одного из центральных понятий пространственной геометрии, и связанных с ней понятий -
сферического сечения, касательной плоскости к сфере и касательной прямой к сфере.
Описываются фигуры (окружности), образующиеся при пересечении сферы плоскостью,
их радиус, местоположение и геометрический анализ. Также с помощью аналитических
формул и примеров объясняются условия определения касательной плоскости и прямой к
сфере. Статья способствует развитию пространственного воображения учащихся и
углублению их знаний по прикладной геометрии.
Annotatsion:
This article provides a broad theoretical and practical overview of the sphere, one
of the central concepts of spatial geometry, and related concepts - spherical sections, tangent
plane to the sphere, and tangent straight line to the sphere. The figures (circles) formed when a
sphere is intersected by a plane, their radius, location, and geometric analysis are described. The
conditions for determining the tangent plane and line to the sphere are also explained through
analytical formulas and examples. The article helps students develop spatial imagination and
deepen their knowledge of applied geometry.
Kalit so‘zlar:
Shar, sfera, kesim, aylana, diametr, radius, urinuvchi tekislik, urinuvchi chiziq,
vektor, analitik geometriya, fazoviy figuralar.
Kirish
Fazoviy geometriya o„z ichiga uch o„lchovli shakllar, ularning yuzasi, hajmi, kesishish
xossalari, urinuvchanlik singari ko„plab tushunchalarni oladi. Bu shakllar orasida
shar (sfera)
alohida o„rin tutadi. Sababi, u simmetrik tuzilishga ega, tabiiy va texnik muhitda eng ko„p
uchraydigan shakllardan biridir. Matematikada esa sfera analitik geometriya, differensial
geometriya, fizika va hatto kompyuter grafikalarida ham keng qo„llaniladi.
Shar tushunchasi va asosiy elementlari
Shar – bu fazodagi bitta markaziy nuqtadan teng masofadagi nuqtalar to„plamidir. Bu
masofa
radius
deb yuritiladi.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK
JURNAL
515
Shar tenglamasi:
Shar markazi O(x0,y0,z0)O(x_0, y_0, z_0), radiusi RR bo„lsa, uning tenglamasi:
(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2
Bu tenglama sharning analitik ko„rinishidir. Agar markaz koordinatalari (0, 0, 0) bo„lsa,
tenglama soddalashadi:
x2+y2+z2=R2x^2 + y^2 + z^2 = R^2
Asosiy elementlar:
Element
Ta’rif
Markaz (O)
Sharni aniqlovchi asosiy nuqta.
Radius (R)
Markazdan sharning istalgan nuqtasigacha bo„lgan masofa.
Diametr (D)
Sharning markazidan o„tuvchi to„liq kesma. D=2RD = 2R
Sirti
Sharning tashqi sirt nuqtalari to„plami.
Hajmi
Sharning ichki fazoviy hajmi. V=43πR3V = \frac{4}{3} \pi R^3
Yuza maydoni
S=4πR2S = 4 \pi R^2
Shar kesimlari
Sharni tekislik bilan kesish orqali hosil bo„ladigan geometrik shakl – bu
aylana
dir.
Tekislik markazdan qanday masofada joylashganiga qarab, aylananing o„lchami o„zgaradi.
Kesim xossalari:
Kesim har doim aylana bo„ladi.
Kesimning radiusi, tekislik va markaz orasidagi masofaga bog„liq.
Kesim simmetrik figura hisoblanadi.
Formulalar:
Agar shar markazi O(x0,y0,z0)O(x_0, y_0, z_0), radiusi RR, tekislik esa
Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 tenglama bilan berilgan bo„lsa, markaz bilan tekislik
orasidagi masofa:
d=
∣
Ax0+By0+Cz0+D
∣
A2+B2+C2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 +
C^2}}
Agar d<Rd < R bo„lsa, kesim aylana bo„ladi, va uning radiusi:
r=R2−d2r = \sqrt{R^2 - d^2}
Maxsus holatlar:
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK
JURNAL
516
1.
d = 0
(ya‟ni tekislik markazdan o„tadi): kesim maksimal aylana bo„ladi, radiusi RR.
2.
d = R
: tekislik sirtga urinadi – faqat bitta nuqtada tegadi.
3.
d > R
: tekislik sharni kesmaydi.
Sharga urinma tekislik
Sharga urinuvchi tekislik – bu shar sirtiga faqatgina
bitta nuqtada
tegadigan tekislikdir.
U shar sirti bilan yagona umumiy nuqtaga ega bo„ladi.
Geometrik izoh:
Agar shar sirtidagi nuqta P(x1,y1,z1)P(x_1, y_1, z_1) bo„lsa, urinma tekislik shu nuqtada shar
sirtiga perpendikulyar radius asosida aniqlanadi.
Markazdan P nuqtasigacha bo„lgan radiusga normal bo„lgan tekislik hosil bo„ladi.
Analitik tenglama:
Urinma tekislik tenglamasi:
(x1−x0)(x−x1)+(y1−y0)(y−y1)+(z1−z0)(z−z1)=0(x_1 - x_0)(x - x_1) + (y_1 - y_0)(y - y_1) +
(z_1 - z_0)(z - z_1) = 0
Bu yerda:
(x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) – shar markazi,
(x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1) – urinma nuqta.
Sharga urinma to‘g‘ri chiziq
Shar sirtiga bitta nuqtada tegib o„tadigan to„g„ri chiziq sharga urinma chiziq deb ataladi.
Xossalari:
Radiusga perpendikulyar.
Faqatgina bitta nuqtada umumiylikka ega.
Fazoda sharning sirt nuqtasida boshlanadi yoki o„tadi.
Analitik yondashuv:
Urinma nuqtadan radius vektoriga ortogonal vektor yo„nalishida chiziq quriladi.
Misol uchun, agar shar markazi O(0,0,0)O(0,0,0), urinma nuqta P(x1,y1,z1)P(x_1, y_1,
z_1) bo„lsa, radius vektori:
OP
=
⟨
x1,y1,z1
⟩
\vec{OP} = \langle x_1, y_1, z_1 \rangle
Shunda urinuvchi to„g„ri chiziqga ortogonal vektorlar to„plami:
v
⋅
OP
=0\vec{v} \cdot \vec{OP} = 0
Bu vektorlar urinma chiziq yo„nalishini beradi.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK
JURNAL
517
Amaliy misollar
Misol 1:
Shar tenglamasi: x2+y2+z2=25x^2 + y^2 + z^2 = 25, tekislik: z=4z = 4. Shar va tekislik
qanday kesishadi?
Yechim:
Shar markazi: O(0,0,0)O(0,0,0), radius R=5R = 5
Tekislik markazdan masofasi: d=
∣
0−0+4
∣
=4d = |0 - 0 + 4| = 4
d<Rd < R, shuning uchun kesim aylana.
Aylana radiusi: r=25−16=3r = \sqrt{25 - 16} = 3
Javob:
Kesim aylana, radiusi 3 ga teng.
Xulosa
Shar, uning kesimlari, sharga urinma tekislik va urinma to„g„ri chiziq – fazoviy
geometriyada eng muhim tushunchalardandir. Bu tushunchalarni chuqur o„rganish fazodagi
figuralarni tasavvur qilish, ularga amaliy yondashish va muhandislikda samarali ishlatish
imkonini beradi. Shuningdek, ular fanlararo tadqiqotlarda ham qo„llaniladi. Shu bois, mazkur
mavzuni chuqur o„zlashtirish o„quvchilar va talabalar uchun muhim nazariy asosdir.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.Qodirov Sh.S. –
Geometriya asoslari
, Toshkent, 2020.
2.
Kudryavtsev L.D. –
Analitik geometriya
, Moskva, 2018.
3.
Stewart J. –
Calculus: Early Transcendentals
, 8th Ed., Cengage Learning, 2016.
4.
O„zbekiston Milliy Ensiklopediyasi, “Geometriya” maqolasi.
5.
Turakulovich, M. O. (2024). BASIC PRINCIPLES AND RULES OF INNOVATIVE
PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN THE EDUCATIONAL PROCESS.
Multidisciplinary
Journal of Science and Technology
,
4
(3), 836-843.
6.
To‟raqulovich, M. O. (2024). INNOVASION AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA
ULARNI TA‟LIMDA QO‟LLASH ISTIQBOLLARI.
Международный журнал научных
исследователей
,
9
(1), 190-193.
7.
Murodov, O. T. R. (2024). SUN'IY INTELLEKT VA MASHINASOZLIK ASOSLARINI
MAKTABLARDA O „RGATISH IMKONIYATLARI.
The latest pedagogical and psychological
innovations in education
,
1
(2), 73-79.
8.
Murodov, O. T. R. (2024). INFORMATIKA FANINING ZAMONAVIY TA'LIMDAGI O
„RNI VA AHAMIYATI.
The latest pedagogical and psychological innovations in
education
,
1
(2), 52-58.
9.
TO‟RAQULOVICH, M. O. (2025). KIBERXUJUMLAR TURLARI VA ULARDAN
HIMOYALANISH.
PEDAGOGIK TADQIQOTLAR JURNALI
,
3
(1), 72-75.
10.
TO‟RAQULOVICH,
M.
O.
(2025).
OPERATSION
TIZIMLAR
TAVSIFI.
PEDAGOGIK TADQIQOTLAR JURNALI
,
3
(1), 88-91.
11.
TO‟RAQULOVICH, M. O. (2025). AXBOROT TIZIMLARINI HIMOYALASH
VOSITALARI: NAZARIY ASOSLAR VA AMALIY QO‟LLANILISHI.
PEDAGOGIK
TADQIQOTLAR JURNALI
,
3
(1), 76-79.
12.
TO‟RAQULOVICH, M. O. (2025). RAQAMLI TEXNOLOGIYALARNING
BUGUNGI KUNDAGI O „RNI.
PEDAGOGIK TADQIQOTLAR JURNALI
,
3
(1), 92-95.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK
JURNAL
518
13.
TO‟RAQULOVICH, M. O. (2025). INFORMATIKA VA AXBOROT
TEXNOLOGIYALARI
FANI
O'QITISHDA
ZAMONAVIY
TEXNOLOGIYALARNI
QO'LLASH.
PEDAGOGIK TADQIQOTLAR JURNALI
,
3
(1), 96-99.
14.
TO‟RAQULOVICH,
M.
O.
(2025).
INTERNETDAN
XAVFSIZ
FOYDALANISH.
PEDAGOGIK TADQIQOTLAR JURNALI
,
3
(1), 84-87.
15.
TO‟RAQULOVICH,
M.
O.
(2025).
ELEKTRON
POCHTADAN
FOYDALANISH.
PEDAGOGIK TADQIQOTLAR JURNALI
,
3
(1), 80-83.
