HOSILA VA UNING TADBIQLARI

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 02, 2025

ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431

www.wordlyknowledge.uz

ILMIY METODIK JURNAL

Ro'ziyeva Nafisa Olimovna

Romitan tuman 1-son politexnikumining

“Matematika” fani o’qituvchisi

HOSILA VA UNING TADBIQLARI

Annotatsiya:

Mazkur maqolada matematik analizning muhim tushunchalaridan biri boʻlgan

hosila (türev, derivative) tushunchasi, uning ta’rifi, asosiy xossalari hamda turli sohalarda,

jumladan, fizika, iqtisodiyot va texnikada qo‘llanilishi yoritilgan. Shuningdek, funksiyalarning

o‘sish yoki kamayish intervalini aniqlash, ekstremum nuqtalarini topish va grafiklarni tahlil

qilishda hosilaning ahamiyati ko‘rsatib berilgan. Maqola talabalarga, oʻqituvchilarga va

matematikaga qiziqqan barcha o‘quvchilarga mo‘ljallangan.

Аннотатция:

В статье рассматривается понятие производной — одно из важных понятий

математического анализа, его определение, основные свойства и применение в различных

областях, включая физику, экономику и технику. Показана также важность производной

при определении интервала возрастания или убывания функций, нахождении точек

экстремума и анализе графиков. Статья предназначена для студентов, преподавателей и

всех читателей, интересующихся математикой.

Annotatsion:

This article discusses the concept of derivative, one of the important concepts of

mathematical analysis, its definition, main properties, and application in various fields, including

physics, economics, and engineering. It also shows the importance of the derivative in

determining the interval of increase or decrease of functions, finding extremum points, and

analyzing graphs. The article is intended for students, teachers, and all those interested in

mathematics.

Kirish

Matematika — bu tabiat va jamiyat hodisalarini modellashtiruvchi asosiy vositalardan biridir.

Ayniqsa, matematik analiz bo‘limi zamonaviy fan va texnikaning ko‘plab sohalarida qo‘llaniladi.

Matematik analizdagi eng muhim tushunchalardan biri bu —

hosila

tushunchasidir.

Hosila funksiyaning o‘zgarish tezligini o‘lchaydigan matematik vosita bo‘lib, u orqali

funksiyaning ma'lum bir nuqtadagi dinamikasini, ya'ni o‘sish yoki kamayish darajasini aniqlash

mumkin. U fizikadagi harakat tezligi, iqtisodiyotdagi chegara xarajatlar, biologiyadagi

populyatsiya o‘sish sur’ati kabi hodisalarni tahlil qilishda keng qo‘llaniladi.

1. Hosilaning matematik ta’rifi va geometriyaviy mazmuni

1.1. Matematik ta’rif

Agar y=f(x)y = f(x) funksiyasi berilgan bo‘lsa, u holda xx nuqtadagi hosila quyidagicha

aniqlanadi:

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Bu ifoda funksiyaning xx nuqtadagi o‘zgarish tezligini, ya'ni uning

o‘rtacha o‘zgarish

tezligining limitini

bildiradi.

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 02, 2025

ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431

www.wordlyknowledge.uz

ILMIY METODIK JURNAL

1.2. Geometriyaviy mazmuni

Hosilaning geometriyaviy ma’nosi — bu grafiga o‘tkazilgan

teginuvchi to‘g‘ri chiziqning

tangensi

yoki

nagibi

(yo‘nalish koeffitsienti) demakdir. Ya’ni, agar y=f(x)y = f(x) funksiyaning

grafigi berilgan bo‘lsa, u holda x=ax=a nuqtadagi hosila — bu grafiga ushbu nuqtada chizilgan

teginuvchining tiklik darajasini bildiradi.

2. Hosilalarning xossalari va hisoblash qoidalari

2.1. Asosiy hosilalar

Quyidagi formulalar eng ko‘p uchraydigan funksiyalarning hosilalaridir:

Funksiya

Hosila

f(x)=cf(x) = c

00

f(x)=xnf(x) = x^n

nxn−1nx^{n-1}

f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x cos⁡x\cos x
f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x −sin⁡x-\sin x
f(x)=exf(x) = e^x

exe^x

f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x

1x\frac{1}{x}

2.2. Qoidalar



Yig‘indi va ayirma

:

(f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)



Ko‘paytma

:

(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)



Bo‘linma

:

(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2\left(

\frac{f(x)}{g(x)}

\right)'

=

\frac{f'(x)g(x)

-

f(x)g'(x)}{g(x)^2}



Zanjir qoidas (chain rule)

:

Agar y=f(u), u=g(x)y = f(u),\ u = g(x), bo‘lsa,

dydx=dydu

⋅

dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

3. Hosilaning grafik tahlildagi roli

Grafiklarni tahlil qilishda hosila muhim ahamiyat kasb etadi. Quyida hosila yordamida qanday

xulosalar chiqarilishi mumkinligi ko‘rsatilgan:

3.1. Monotonlik



Agar f′(x)>0f'(x) > 0 bo‘lsa, f(x)f(x) ortuvchi (o‘suvchi).



Agar f′(x)<0f'(x) < 0 bo‘lsa, f(x)f(x) kamayuvchi.

3.2. Ekstremumlar

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 02, 2025

ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431

www.wordlyknowledge.uz

ILMIY METODIK JURNAL

Funksiya maksimum yoki minimum qiymatlarga ega bo‘lgan nuqtalar ekstremumlar deyiladi.

Ular uchun:



f′(x)=0f'(x) = 0



f′′(x)>0f''(x) > 0 bo‘lsa — lokal minimum.



f′′(x)<0f''(x) < 0 bo‘lsa — lokal maksimum.

3.3. Egri chiziqlik va infleksiya nuqtalari



Egri chiziqlik grafigining konkavlik yo‘nalishi ikkinchi hosila bilan aniqlanadi:

o

f′′(x)>0f''(x) > 0 — konkav yuqoriga.

o

f′′(x)<0f''(x) < 0 — konkav pastga.



f′′(x)=0f''(x) = 0 bo‘lgan nuqtalar

infleksiya

nuqtasi bo‘lishi mumkin.

4. Hosilaning turli sohalardagi tadbiqlari

4.1. Fizikadagi qo‘llanilishi



Tezlik

— v(t)=s′(t)v(t) = s'(t)



Tezlanish

— a(t)=s′′(t)a(t) = s''(t)

Misol

:

Agar harakat tenglamasi s(t)=3t2+2ts(t) = 3t^2 + 2t bo‘lsa,

tezlik v(t)=6t+2v(t) = 6t + 2,

tezlanish a(t)=6a(t) = 6 bo‘ladi.

4.2. Iqtisodiyotdagi tadbiqlari



Chegaraviy foyda

: R′(x)R'(x)



Chegaraviy xarajat

: C′(x)C'(x)



Optimal daromad yoki foyda

: P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x), va P′(x)=0P'(x) = 0

bo‘lgan nuqtada maksimal bo‘lishi mumkin.

Misol

:

Xarajat: C(x)=x2+10xC(x) = x^2 + 10x,

Daromad: R(x)=50xR(x) = 50x

Foyda: P(x)=R(x)−C(x)=−x2+40xP(x) = R(x) - C(x) = -x^2 + 40x

Maksimal foyda uchun: P′(x)=−2x+40=0

⇒

x=20P'(x) = -2x + 40 = 0 \Rightarrow x = 20

4.3. Biologiya va ekologiyada



Populyatsiya o‘sish tezligi.



Zamburug‘lar yoki bakteriyalarning ko‘payishi.



Ekologik model tahlillari.

4.4. Muhandislikda va texnikada



Termodinamik o‘zgarishlar.



Elektr toki kuchining o‘zgarish tezligi.



Signal qayta ishlash algoritmlarida o‘zgarish tahlili.

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 15, issue 02, 2025

ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431

www.wordlyknowledge.uz

ILMIY METODIK JURNAL

5. Yuqori tartibli hosilalar

Yuqori tartibli hosilalar orqali murakkab dinamikalarni o‘rganish mumkin. Masalan:



Ikkinchi hosila — tezlikdagi o‘zgarish (tezlanish)



Uchinchi hosila — tezlanishdagi o‘zgarish (zarba)



n-tartibli hosila — chuqur modellashtirish uchun

Misol

:

s(t)=t3+3t2+ts(t) = t^3 + 3t^2 + t

1-hosila: v(t)=3t2+6t+1v(t) = 3t^2 + 6t + 1

2-hosila: a(t)=6t+6a(t) = 6t + 6

Xulosa

Hosila — bu faqat matematik tushuncha emas, balki zamonaviy ilm-fan va texnikaning tayanch

vositalaridan biridir. Har qanday o‘zgaruvchan jarayonni tahlil qilishda hosila orqali tezlik,

tezlanish, o‘sish yoki kamayish, maksimal yoki minimal qiymatlar, dinamik xatti-harakatlar

haqida xulosa chiqarish mumkin. U biologiya, fizika, iqtisodiyot, muhandislik, IT va boshqa

ko‘plab sohalarda muvaffaqiyatli qo‘llaniladi.

Hosilani chuqur o‘rganish orqali biz dunyodagi murakkab o‘zgarishlarni matematik modelga

solish imkoniga ega bo‘lamiz. Bu esa ilmiy-texnik rivojlanishning asosidir.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. Kudryavtsev L.D. –

Matematik analiz asoslari

, Moskva, Nauka, 1981.

2. Ross S. –

Calculus

, New York, Wiley, 2010.

3. Stewart J. –

Calculus: Early Transcendentals

, 7th Edition, Brooks Cole, 2012.

4. Ayupov Sh.A., Matchanov B.I. –

Matematik analiz I qism

, Toshkent, 2016.

5. Tursunov M.A. –

Oliy matematika asoslari

, Toshkent, 2019.

6. Nasriddinov A.R. –

Ilmiy modellashtirish asoslari

, Toshkent, 2021.

7. Turakulovich, M. O. (2024). BASIC PRINCIPLES AND RULES OF INNOVATIVE

PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN THE EDUCATIONAL PROCESS.

Multidisciplinary

Journal of Science and Technology

,

4

(3), 836-843.

8. To’raqulovich, M. O. (2024). INNOVASION AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA

ULARNI TA’LIMDA QO’LLASH ISTIQBOLLARI.

Международный журнал научных

исследователей

,

9

(1), 190-193.

9. Murodov, O. T. R. (2024). SUN'IY INTELLEKT VA MASHINASOZLIK ASOSLARINI

MAKTABLARDA O ‘RGATISH IMKONIYATLARI.

The latest pedagogical and

psychological innovations in education

,

1

(2), 73-79.

10. Murodov, O. T. R. (2024). INFORMATIKA FANINING ZAMONAVIY TA'LIMDAGI O

‘RNI VA AHAMIYATI.

The latest pedagogical and psychological innovations in

education

,

1

(2), 52-58.

11. TO’RAQULOVICH, M. O. (2025). KIBERXUJUMLAR TURLARI VA ULARDAN

HIMOYALANISH.

PEDAGOGIK TADQIQOTLAR JURNALI

,

3

(1), 72-75.

12. TO’RAQULOVICH, M. O. (2025). OPERATSION TIZIMLAR TAVSIFI.

PEDAGOGIK

TADQIQOTLAR JURNALI

,

3

(1), 88-91.

13. TO’RAQULOVICH, M. O. (2025). AXBOROT TIZIMLARINI HIMOYALASH

VOSITALARI: NAZARIY ASOSLAR VA AMALIY QO’LLANILISHI.

PEDAGOGIK

TADQIQOTLAR JURNALI

,

3

(1), 76-79.