JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Iqtisodiyot va pedagogika universiteti
“Matematika” kafedrasi dotsenti, PhD
X.Raximov taqrizi ostida
Muqumov Asqar
Iqtisodiyot va pedagogika universiteti,
katta o’qituvchi
UDK 510.57
PARABOLIK TIPDAGI TENGLAMALAR UCHUN BOSHLANG’ICH CHEGARAVIY
SHARTLAR
Annotatsiya:
Ushbu maqolada parabolik tipdagi tenglamalar uchun boshlang‘ich va chegaraviy
shartlar alohida holda tahlil qilindi. Tadqiqotda har xil shartlarning tenglama yechimlariga ta’siri
o‘rganildi. Shuningdek, boshlang‘ich va chegaraviy shartlarning mosligi hamda ularning
matematik modellashtirishdagi roli tahlil qilindi. Olingan natijalar parabolik tenglamalarni
nazariy va amaliy yechishda muhim ilmiy asos yaratadi hamda issiqlik o‘tkazuvchanlik,
diffuziya va boshqa fizik jarayonlarni modellashtirishda qo‘llaniladi.
Kalit sо‘zlar:
Parabolik tenglamalar, boshlang‘ich shartlar, chegaraviy shartlar, barqarorlik,
yechimlarning mavjudligi, matematik modellashtirish, issiqlik o‘tkazuvchanlik, diffuziya
jarayonlari.
Abstract:
This article analyzes initial and boundary conditions for parabolic equations
separately. The study examines the impact of various conditions on the solutions of the equations.
Additionally, the consistency of initial and boundary conditions and their role in mathematical
modeling are evaluated. The findings provide a significant scientific basis for both theoretical
and practical solutions of parabolic equations and are applicable in modeling physical processes
such as heat conduction, diffusion, and other phenomena.
Keywords:
Parabolic equations, initial conditions, boundary conditions, stability, solution
existence, mathematical modeling, heat conduction, diffusion processes.
Kirish. (Introduction)
Parabolik tipdagi tenglamalar zamonaviy matematik fizikaning asosiy bo‘limlaridan biri
hisoblanadi va ko‘plab tabiiy va texnik jarayonlarni modellashtirishda muhim ahamiyat kasb
etadi. Ushbu tenglamalar issiqlik o‘tkazuvchanlik, diffuziya jarayonlari, ekologik modellashtirish
va boshqa ko‘plab sohalarda qo‘llaniladi. Ularning yechimlari korrekt bo‘lishi uchun
boshlang‘ich va chegaraviy shartlarni to‘g‘ri qo‘yish alohida ahamiyatga ega. Mazkur maqolada
parabolik tipdagi tenglamalar uchun boshlang‘ich va chegaraviy shartlar qo‘yishning nazariy va
amaliy masalalari ko‘rib chiqiladi. Ushbu maqola, bir tomondan, matematik qiziqish uyg‘otuvchi
mavzu sifatida, boshqa tomondan esa, turli jarayonlarni modellashtirishda amaliy ahamiyatga
ega bo‘lgan mavzu sifatida dolzarbdir. Shu bilan birga, maqolada qo‘llaniladigan usullar va
yondashuvlar boshqa turdagi tenglamalar uchun ham keng qo‘llanilishi mumkin bo‘lgan umumiy
nazariy asoslarni shakllantirishga xizmat qiladi. Mqolada davomida parabolik tenglamalar uchun
klassik yondashuvlar, ularning yechimlarini aniqlashda yuzaga keluvchi muammolar va ularni
hal qilish usullari batafsil yoritiladi. Shu bilan birga, boshlang‘ich va chegaraviy shartlarning
tenglamalar yechimiga ta’siri o‘rganiladi. Bu esa, ko‘p hollarda, real fizik yoki texnik
masalalarga yechim topishda muhim rol o‘ynaydi.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Tadqiqot metodologiyasi (Research Methodology)
Issiqlik tarqalish jarayoni sodir bo’layotgan uzunligi
l
bo’lgan sterjenni qaraylik. Sterjenning
o’qi sifatida
Ox
absissa o’qini olamiz. Faraz qilaylik, ixtiyoriy vaqtda sterjenning barcha
nuqtasida bir xil harorat saqlansin. Sterjenning ixtiyoriy x nuqtasining t vaqtdagi temperaturasini
( , )
u u x t
=
deb belgilaylik.
Agar sterjenning issiqlik sig’imi
C
, uning zichligi
r
, sterjenning issiqlik o’tkazuvchanlik
koeffisenti
k
hamda ichki issiqlik manbaining zichligi
F
bo’lsa, u holda
( , )
u x t
funksiya
quyidagi bir o’lchovli
(
)
u
u
c
k
F
t
x
x
r
¶
¶
¶
=
+
¶
¶
¶
,
0
,
x
< <
l
0
t
>
Issiqlik tarqalish tenglamasini qanoatlantirilishini ko’rsatish qiyin emas.
Umuman olganda,
, ,
c k
r
va
F
parametrlar
,
x t
va
u
ning funksiyasi bo’ladi. Ko’plab
taqbiqiy masalalarda bu funksiyalar sterjenda temperaturaning o’zgarishi bilan juda sokin
o’zgaradi va
, ,
c k
r
funksiyalar
t
vaqtga bog’liq bo’lmaydi. Shuning uchun ular faqat
x
o’zgaruvchining funksiyasi,
F
ni esa
x
va
t
ga bog’liq deb olish mumkin. Agar qaralayotgan
l
uzunlikdagi sterjen bir jinsli bo’lsa u holda
, ,
c k
r
funksiyalar o’zgarmasga teng bo’ladi va
yuqoridagi tenglamani
2
2
2
( , )
u
u
Lu
a
f x t
t
x
¶
¶
=
-
=
¶
¶
(1)
ko’rinishda yozib olishimiz mumkin. Bu yerda
2
k
a
c
r
=
,
F
f
c
r
=
Agar sterjenning harorati barcha nuqtasida bir xil bo’lmasa, u holda sterjenda issiqlik oqimi sodir
bo’ladi. Bunda issiqlik oqimi sterjenning yuqori haroratli nuqtasidan past haroratli nuqtasi
tomonga yo’nalgan bo’ladi. Sterjenning
x
ko’ndalang kesimi orqali birlik vaqtda
Ox
o’qi
bo’ylab o’tayotgan issiqlik miqdori uchun
( , )
( , )
( )
u x t
q x t
k x
x
¶
= -
¶
formula o’rinli bo’ladi. Bu yerda
( , )
q x t
funksiya issiqlik oqimining zichligi deyiladi.
Agar sterjenning
0
x
nuqtasi orqali
0 0
( ,
)
t t
dt
+
vaqtda issiqlik
Ox
bo’ylab tarqalayotgan
bo’lsa, u holda
( , )
q x t
funksiyasi
0 0
( , )
x t
nuqta atrofida musbat, aks holda manfiy deb olinadi.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Sterjenda issiqlik tarqalishini to’la aniqlash uchun (1) tenglamaning o’zi yetarli bo’lmaydi.
Buning uchun sterjenning boshlang’ich temperaturasini va uning uchlaridagi issiqlik rejimini
bilish zarur bo’ladi. Faraz qilaylik,
0
t
=
vaqtda sterjenning
x
nuqtadagi harorati
( )
x
j
bo’lsin.
U holda
( ,0)
( )
u x
x
j
=
0
x
l
(2)
boshlang’ich shart beriladi.
Sterjenning
0
x
=
va
x
=
l
chetlarida uning harorati yoki issiqlik oqimining zichligi
ma’lum bo’lishi yoki atrof-muhit bilan issiqlik almashinish shartlarini berish mumkin.
Agar sterjenning
0
x
=
uchida
1
( )
t
m
etmperatura va
x
=
l
uchida issiqlik oqimining
zichligi
1
( )
t
n
ma’lum bo’lsa u holda
1
(0, )
( )
u t
t
m
=
,
1
( , )
( )
( )
u t
k l
t
x
n
¶
-
=
¶
l
(3)
chegaraviy shartlar beriladi.
Agar sterjenning
0
x
=
va
x
=
l
uchlarida issiqlik oqimining zichligi nolga teng bo’lsa,
u holda sterjenning uchlari issiqlik o’tkazmaydigan deyiladi.
Masalan, agar sterjenning
x
=
l
uchi issiqlik o’tkazmaydigan bo’lsa, bu holda
( , ) 0
u t
x
¶
=
¶
l
(4)
chegaraviy shart beriladi.
Agar sterjening uchlarida atrof-muhit bilan issiqlik almashinishi sodir bo’layotgan bo’lsa, u
holda birlik vaqtda sterjenning x kesimidan atrof-muhitga chiqayotgan issiqlik miqdor
sterjenning temperaturasidan atrof-muhit temperaturasining ayirmasiga proporsional bo’ladi,
ya’ni
0
(
)
q H u u
=
-
,
Bu yerda
H
- issiqlik almashinish koeffisenti,
u
- sterjenning,
0
u
- esa atrof-muhitning
temperaturasi.
Issiqlik oqimi zichligining fizikaviy xossasiga asosan sterjenning
0
x
=
va
x
=
l
uchlarida
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
1
1
(0, )
(0)
[ (0, )
( )]
u t
k
H u t
p t
x
¶
=
-
¶
(5)
2
2
( , )
( )
[ (0, )
( )]
u t
k
H u t
p t
x
¶
=
-
¶
l
l
(6)
issiqlik almashinish shartlarini olamiz.
Bu yerda
1
H
va
2
H
- sterjenning mos ravishda chap va o’ng uchlarining issiqlik
o’tkazuvchanlik koeffisenti,
1
( )
p t
va
2
( )
p t
mos ravishda sterjenning uchlari atrofining harorati.
Yuqoridagi (5)-(6) chegaraviy shartlarni quyidagi
1
1
(0, )
(0, )
( )
u t
h u t
t
x
m
¶
-
=
¶
(7)
2
2
( , )
( , )
( )
u t
h u t
t
x
m
¶
-
=
¶
l
l
(8)
ko’rinishda yozib olish mumkin. Bu yerda
1
1
0
(0)
H
h
k
=
>
,
2
2
0
( )
H
h
k
=
>
l
,
1
1
1
( )
( )
(0)
H
t
p t
k
m
= -
,
2
2
2
( )
( )
( )
H
t
p t
k
m
= -
l
Natijalar va muhokama (Results and Discussions)
Issiqlik tarqalish tenglamsi uchun yuqorida keltirilgan chegaraviy shartlarni umumiy holda
1
1
1
(0, )
(0, )
( )
u t
u t
t
x
a
b
m
¶
+
=
¶
,
0
t
>
(9)
2
2
2
( , )
( , )
( )
u t
u t
t
x
a
b
m
¶
+
=
¶
l
l
,
0
t
>
(10)
yozish mumkin. Bunda
1
a
,
2
a
,
1
b
va
2
b
- berilgan o’zgarmaslar, ular uchun ushbu
2
2
1
1
0
a
b
+
>
,
2
2
2
2
0
a
b
+
>
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
tengsizliklar o’rinli,
1
( )
t
m
va
2
( )
t
m
berilgan funksiyalar.
Agar
0
i
a
=
va
0
i
b
bo’lsa, u holda (9), (10) shartlar
1
(0, )
( )
u t
t
m
=
,
2
( , )
( )
u t
t
m
=
l
ko’rinishni oladi va ular birinchi tur chegaraviy shartlar
deyiladi.
Agar
0
i
a
va
0
i
b
=
bo’lsa, u holda (9), (10) shartlar ikkinchi tur chegaraviy shartlar
deyiladi va ular
1
(0, )
( )
u t
t
x
n
¶
=
¶
,
2
( , )
( )
u t
t
x
n
¶
=
¶
l
ko’rinishda ifodalanadi.
Agar
0
i
a
va
0
i
b
bo’lsa, u holda (9), (10) shartlar uchinchi tur chegaraviy shartlar
deyiladi.
Xulosa va takliflar (Conclusion/Recommendations)
Ushbu maqolada parabolik tipdagi tenglamalar uchun boshlang‘ich va chegaraviy shartlarning
har biri alohida holda o‘rganildi. Tadqiqot davomida har xil shartlarning yechimlar sifatiga,
ularning barqarorligi va mavjudlik sharoitlariga ta’siri tahlil qilindi. Shuningdek, maqolada
boshlang‘ich va chegaraviy shartlarning mosligi hamda ularning matematik modellashtirishdagi
roli chuqur o‘rganilib, bu shartlarning noaniqliklari qanday muammolarni keltirib chiqarishi
haqida tavsiyalar berildi. Olingan natijalar parabolik tipdagi tenglamalarni yechishda
qo‘llaniladigan usullarni takomillashtirish va yangi yondashuvlarni ishlab chiqishda muhim asos
bo‘lib xizmat qiladi. Tadqiqot natijalari shuni ko‘rsatdiki, boshlang‘ich va chegaraviy shartlarni
to‘g‘ri qo‘yish nafaqat nazariy masalalarda, balki amaliy qo‘llanmalarda ham muhim ahamiyatga
ega. Bu esa issiqlik o‘tkazuvchanlik, diffuziya, ekologik modellashtirish kabi ko‘plab
masalalarda yuqori aniqlikdagi yechimlarni olish imkonini beradi. Ushbu yondashuvlar va
natijalar kelajakdagi tadqiqotlar uchun keng imkoniyatlar ochib beradi
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati (References)
1.
Salohitdinov M. Matematik fizika tenglamalari //Toshkent, “O’zbekiston nashriyoti” 2002-
yil
2.
Salohitdinov M. Islomov B. Matematik fizika tenglamalari fanidan misol va masalalar
to’plami// Toshkent, “Mumtoz so’z” nashriyoti 2010-yil
3.
Zikirov O. Matematik fizika tenglamalari// Toshkent, 2017-yil
4.
Мукумов A. Х. О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА //Ta'limning zamonaviy transformatsiyasi. – 2024. – Т. 4.
– №. 2. – С. 243-246.
5.
Muqumov A.H. BIR О ‘ZGARUVCHILI FUNKSIYANING FURE ALMASHTIRISHI VA
XOSSALARI //Educational Research in Universal Sciences. – 2024. – Т. 3. – №. 4 SPECIAL. –
С. 545-548.
6.
Muqumov A. H. IKKINCHI TARTIBLI TENGLAMALAR UCHUN CHEGARAVIY
MASALANING UMUMLASHGAN VA KUCHSIZ YECHIMLARI //International journal of
scientific researchers (IJSR) INDEXING. – 2023. – Т. 3. – №. 2.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
7.
Bahodir, R. ., & Asqar, M. . (2024). TOR TEBRANISH TENGLAMASI UCHUN
ARALASH MASALA YECHIMINING YAGONALIGI.
JOURNAL OF THEORY,
MATHEMATICS
AND
PHYSICS
,
3
(10),
17–20.
Retrieved
from
https://jtmp.innovascience.uz/index.php/journal/article/view/196
8.
Asqar, M. ., & Jo`rabek, T. . (2024). KOSHI MASALASI YECHIMINING TURG’UNLIGI.
JOURNAL OF THEORY, MATHEMATICS AND PHYSICS, 3(10), 3–5. Retrieved from
https://jtmp.innovascience.uz/index.php/journal/article/view/193
