JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Latipova Shahnoza Salim qizi
Osiyo Xalqaro Universiteti
“Umumtexnik fanlar” kafedrasi o’qituvchisi
FUNKSIYA VA U BILAN BOG’LIQ TUSHUNCHALAR. AYRIM FUNKSIYALARNING
IQTISODIY TATBIQLARIGA DOIR MASALALAR
ANNOTATSIYA:
Funksiya deyilganda turli o‘zgaruvchi miqdorlar orasidagi bog‘lanishning
matematik ifodasi tushuniladi. Funksiyalar analitik, jadval, grafik va ta’rif usullarida berilishi
mumkin. Funksiyalar u yoki bu xususiyatlariga qarab monoton, juft-toq, davriy, chegaralangan
va chegaralanmagan kabi ko‘rinishlarda bo‘lishi mumkin.
Funksiya tushunchasi iqtisodiy tadqiqotlarda ham keng qo‘llaniladi. Bularga x daromad va y
iste’mol orasidagi bog‘lanishni ifodalovchi Tornkvist funksiyalarini misol sifatida ko‘rsatish
mumkin. Kelgusida iqtisodiy mazmunli boshqa funksiyalar bilan ham tanishamiz.
Kalit so’zlar.
* O‘zgarmas miqdorlar * O‘zgaruvchi miqdorlar * Funksiya * Aniqlanish sohasi *
Qiymatlar sohasi * Funksiya grafigi * O‘suvchi (kamaymoqchi) funksiya.
Asosiy elеmеntar funksiyalar * Elеmеntar funksiyalar * Tornkvist funksiyalari
1.
Funksiya va u bilan bog‘liq tushunchalar.
Atrofimizdagi turli jarayonlarni matematik
usullarda tadqiqot qilayotganimizda o‘zgarmas va o‘zgaruvchi miqdorlarga duch kelamiz.
1-TA’RIF:
Faqat bitta sonli qiymat qabul qiladigan kattaliklar
o‘zgarmas miqdorlar
deyiladi.
Masalan, yorug‘lik tezligi с, erkin tushish tezlanishi g, aylana uzunligini uning diametriga
nisbati
, izotermik jarayonlarda harorat t
0
o‘zgarmas miqdorlardir.
2-TA’RIF:
Turli sonli qiymatlar qabul qila oladigan kattaliklar
o‘zgaruvchi miqdorlar
deyiladi.
Masalan, tekis harakatda v tezlik o‘zgarmas miqdor bo‘lib, vaqt t va bosib o‘tilgan masofa s
o‘zgaruvchi miqdorlardir.
Biror jarayonni o‘rganayotganimizda bir nechta o‘zgaruvchi miqdorlar o‘rtasidagi o‘zaro
bog‘lanishlarga duch kelamiz.
Masalan, tekis harakatda tezlikni v, vaqtni t va bosib o‘tilgan masofani s dеsak, u holda t va s
o‘zgaruvchilar o‘zaro s=v∙t ko‘rinishda bog‘langan bo‘ladi. Bunday bog‘lanishlarni juda ko‘p
keltirish mumkin va shu sababli ularni atroflicha o‘rganish maqsadida funksiya tushunchasi
kiritiladi.
3-TA’RIF:
Agarda х o‘zgaruvchining biror D sonli to‘plamga tegishli har bir qiymatiga
ma’lum bir qonun-qoida asosida у o‘zgaruvchining biror E to‘plamga tegishli yagona bir
qiymati mos qo‘yilgan bo‘lsa, ya’ni f : D → E bo‘lsa, unda у o‘zgaruvchi х o‘zgaruvchining
funksiyasi
deyiladi.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Biror у o‘zgaruvchi х o‘zgaruvchining funksiyasi ekanligi y=f(x) kabi belgilanadi (f harfi
o‘rniga F, h, g,
kabi boshqa harflar ham qo‘llanilishi mumkin). Bu yerda х
erkli o‘zgaruvchi
yoki argumеnt
, у esa
erksiz o‘zgaruvchi yoki funksiya
dеb ataladi.
Masalan, y=2x+3, y=3x
2
+4x–1, y=2/x, y=5xe
x
+6 funksiyalarga misol bo‘ladi.
4-TA’RIF:
Berilgan f : D → E funksiyada D – funksiyaning
aniqlanish sohasi
, E −
o‘zgarish yoki qiymatlar sohasi
deyiladi.
y=f(x) funksiyаning aniqlanish sohasi D{f}, qiymatlar sohasi esa E{f} kabi belgilanadi.
Masalan
,
х
x
f
sin
)
(
=
funksiya uchun D{f}=[0,∞), Е{f}=[–1,1].
Shuni ta’kidlab o‘tish lozimki, oldingi paragrafda ko‘rilgan {a
n
} sonli ketma-ketlikni
aniqlanish sohasi D{f}=N−natural sonlar to‘plami, qiymatlar sohasi esa f(n)= a
n
, n
N, haqiqiy
sonlardan iborat funksiya deb qarash mumkin.
Matematik analiz fanida asosan funksiyalar a ular bilan bog‘liq bo‘lgan tasdiqlar o‘rganiladi.
1.
Funksiya grafigi.
Funksiya haqida geometrik tasavvur hosil etish uchun uning grafigi
tushunchasi kiritiladi.
5-TA’RIF:
ХО
koordinata tekislikdagi (x,y)=(х,f(x)), х
D{f}, koordinatali nuqtalarning
gеomеtrik o‘rni у=f(x) funksiyaning
grafigi
deyiladi.
Masalan, у=х
2
funksiya grafigi paraboladan, у=соsx funksiya grafigi sinusoidadan, у=2х+5
funksiya grafigi esa to‘g‘ri chiziqdan iboratdir.
Turli masalalarni yechishda berilgan у=f(x) funksiyaning L grafigini ma’lum bir ko‘rinishda
o‘zgartirishga to‘g‘ri keladi.
у=f(x+a) funksiyaning grafigi L chiziqni OX o‘qi bo‘yicha |a| birlik chapga (agar a>0 bo‘lsa)
yoki o‘ngga (agar a<0 bo‘lsa) parallel ko‘chirishdan hosil bo‘ladi (1-rasmga qarang).
у=f(x)+b funksiyaning grafigi L chiziqni OY o‘qi bo‘yicha |b| birlik yuqoriga (agar b>0
bo‘lsa) yoki pastga (agar b<0 bo‘lsa) parallel ko‘chirishdan hosil bo‘ladi (2-rasmga qarang). .
y=f
(
x
)
y=f
(
x+a
),
a
>0
Y
X
O
1-rasm
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
у=αf(x) funksiyaning grafigi L chiziqni OY o‘qi bo‘yicha α marta cho‘zish (agar α>1
bo‘lsa, 3-rasm) yoki qisish (agar 0<α<1 bo‘lsa, 4-rasm) orqali hosil bo‘ladi. Agar α<0 bo‘lsa,
unda L chiziq OX o‘qiga nisbatan simmetrik ravishda akslanadi.
у=f(kx) funksiyaning grafigi L chiziqni OX o‘qi bo‘yicha k marta cho‘zish (agar k>1 bo‘lsa,
5-rasm) yoki qisish (agar 0<k<1 bo‘lsa, 6-rasm) orqali hosil bo‘ladi. Agar k<0 bo‘lsa, unda L
chiziq OY o‘qiga nisbatan simmetrik ravishda akslanadi.
y
=α
f
(
x
), α>1
y
=
f
(
x
)
Y
X
O
y
=α
f
(
x
), α>1
y
=α
f
(
x
),
0<α<1
y
=
f
(
x
)
Y
X
O
3-rasm
4-rasm
y=f
(
x
)+
b
,
b
<0
y=f
(
x
)
Y
X
O
2-rasm
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Funksiyani berilish usullari.
Turli masalalarni qarashda funksiya asosan to‘rt usulda berilishi
mumkin.
Analitik usul.
Ko‘p hollarda funksiyalar analitik usulda, ya’ni x argument ustida
bajariladigan matematik amallarni formulalar orqali ifodalash orqali beriladi. Masalan, aylana
radiusi х va uning yuzasi y orasidagi bog‘lanish funksiyasi у=
х
2
formula orqali analitik usulda
aniqlanadi.
Jadval usuli.
Bu usulda funksiya
x
i
x
1
x
2
x
3
∙ ∙ ∙
x
n–1
x
n
y
i
=f(x
i
)
y
1
y
2
y
3
∙ ∙ ∙
y
n–1
y
n
ko‘rinishdagi jadval orqali beriladi. Masalan, Bradisning to‘rt xonali matematik jadvallar
kitobchasida funksiyalarning qiymatlari shunday ko‘rinishda berilgan. Odatda x argument va y
funksiya orasidagi bog‘lanish tajriba yoki kuzatuvlar asosida o‘rganilayotgan bo‘lsa, funksiya
qiymatlari jadval ko‘rinishda ifodalanadi.
Grafik usul.
Bunda x argument va y funksiya orasidagi bog‘lanish bu funksiyaning grafigi
orqali beriladi. Masalan, yurak faoliyatini ifodalovchi funksiya kardiogramma orqali grafik
ko‘rinishda ifodalanadi. Shuningdek bu usuldan tenglamalarni grafik usulda yechishda ham
foydalaniladi.
Ta’rif usuli.
Bu usulda funksiya qiymatini aniqlash qonuni uni ta’riflash orqali beriladi.
Masalan,
Dirixle funksiyasi
deb ataluvchi va [0,1] kesmada aniqlangan D(x) funksiyani analitik,
jadval yoki grafik ko‘rinishlarda ifodalab bo‘lmaydi. Bu funksiya qiymatlari ta’rif bo‘yicha
quyidagicha aniqlanadi:
=
.
lsa
bo'
son
l
irratsiona
agar
,
0
;
lsa
bo'
son
ratsional
agar
,1
)
(
x
x
x
D
2.
Funksiya ko‘rinishlari.
Funksiyalar u yoki bu xususiyatlariga qarab turli ko‘rinishlarga
ajratiladi.
y
=
f
(
kx
),
k
>1
Y
X
O
y
=
f
(
x
)
y
=
f
(
x
)
y
=
f
(
kx
),
Y
O
X
y
=
f
(
kx
),
5-rasm
6-rasm
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
6-TA’RIF:
Berilgan у=f(x) funksiya biror D
D{f} sohaga tegishli ixtiyoriy х
1
, х
2
D va
х
1
<х
2
nuqtalar uchun f(x
1
)<f(х
2
) [ f(x
1
)≤f(х
2
)] shartni qanoatlantirsa, u shu D sohada
o‘suvchi
(kamaymovchi) funksiya
deyiladi.
Masalan, у=х
3
funksiya (–∞;∞) oraliqda, у=х
2
funksiya esa aniqlanish sohasining (0,∞)
oralig‘ida o‘suvchi bo‘ladi.
Ant’ye funksiya
deb ataladigan y=[x] funksiyaning qiymati
argument x qiymatiga eng yaqin va undan katta bo‘lmagan butun son kabi aniqlanadi. Masalan,
[1.2]=1, [2.98]=2, [12]=12, [–1.5]=–2. Bu holda f(x)=[x] funksiya uchun D{f}=(–∞;∞) va
E{f}=Z={0,±1, ±2,∙∙∙} bo‘lib, u aniqlanish sohasida kamaymoqchi funksiya bo‘ladi.
7-TA’RIF:
Berilgan у=f(x) funksiya biror D
D{f} sohaga tegishli ixtiyoriy х
1
, х
2
D va
х
1
<х
2
nuqtalar uchun f(x
1
)>f(х
2
)
[ f(x
1
)≥f(х
2
)] shartni qanoatlantirsa , u shu D sohada
kamayuvchi (o‘smoqchi) funksiya
deyiladi.
Masalan, у=–2х funksiya (–∞;∞) oraliqda, у=х
2
funksiya esa aniqlanish sohasining (–∞,0)
oralig‘ida kamayuvchi bo‘ladi. y=1–[x] funksiya esa (–∞;∞) oraliqda o‘smoqchi bo‘ladi.
O‘suvchi yoki kamaymoqchi, kamayuvchi yoki o‘smoqchi funksiyalar birgalikda
monoton
funksiyalar
deyiladi.
8-TA’RIF:
Aniqlanish sohasi D{f} nol nuqtaga nisbatan simmеtrik bo‘lgan у=f(x)
funksiya ixtiyoriy х
D{f} uchun f(–x)=f(x) [ f(–x)= –f(x)] shartni qanoatlantirsa, u
juft
[
toq
]
funksiya
deyiladi .
Masalan, f(x)=х
2
–juft funksiya, f(x)=х
3
esa toq funksiya bo‘ladi. Lеkin har qanday funksiya
juft yoki toq bo‘lishi shart emas. Masalan, f(x)=х
2
–3х+1 yoki f(x)=2х –3 funksiyalar na juft va
na toqdir.
Ta’rifdan juft funksiya grafigi OY koordinata o‘qiga, toq funksiya grafigi esa O koordinata
boshiga nisbatan simmetrik bo‘lishi kelib chiqadi.
TEOREMA:
Agar f(x) va g(x) juft funksiyalar bo‘lsa, ularning umumiy D aniqlanish
sohasida f(x)±g(x), f(x)∙g(x) va, g(x)≠0 bo‘lsa, f(x)/g(x) funksiyalar ham juft funksiyalardir.
Agar f(x) va g(x) toq funksiyalar bo‘lsa f(x)±g(x) toq, f(x)∙g(x) va f(x)/g(x) funksiyalar esa juft
funksiya bo‘ladi. Agar f(x) juft va g(x) toq funksiya bo‘lsa, ularning ko‘paytmasi va bo‘linmasi
toq funksiya bo‘ladi.
Isbot:
Misol sifatida faqat bir hol uchun isbotni keltiramiz, chunki boshqa hollar ham xuddi
shundek ko‘riladi. Masalan, qaralayotgan f(x) va g(x) juft funksiyalar, ya’ni f(–x)=f(x) va g(–
x)=g(x) bo‘lsin. Bu holda F(x)=f(x)±g(x) funksiya uchun
F(–x)=f(–x)±g(–x)= f(x)±g(x)=F(x)
tenglik o‘rinli va , ta’rifga asosan F(x) juft funksiya bo‘ladi.
Izoh:
Agar f(x) aniqlanish sohasi D{f} koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo‘lgan
ixtiyoriy funksiya bo‘lsa, unda F(x)= f(x)+ f(–x) juft, G(x)= f(x) –f(–x) esa toq funksiya
bo‘lishini ko‘rish qiyin emas.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
9-TA’RIF:
Agar у=f(x) funksiya uchun shunday Т>0 son mavjud bo‘lsaki,
х
D{f}
uchun x±Т
D{f} bo‘lib, f(x±Т)=f(x) shart bajarilsa, u
davriy funksiya
dеb ataladi. Bu shartni
qanoatlantiruvchi eng kichik musbat Т soni shu funksiyaning
davri
deyiladi.
Masalan, y=sinx davri Т=2
, y=tgx esa davri Т=
bo‘lgan davriy funksiyalardir. у={х}=x–
[x] funksiya qiymati argument x qiymatining nomanfiy kasr qismiga teng bo‘ladi. Masalan,
{1.2}=0.2, {2.98}=0.98, {±8}=0, {–1.7}= 0.3 (bunda –1.7= –2+0.3 deb qaraladi). Bu holda
D{f}=(–∞;∞) va E{f}=[0,1) bo‘lib, ixtiyoriy x
D{f} va n
N={1,2,3.∙∙∙} uchun {x+n}={x}
bo‘ladi. Bundan f(x)={x} davri Т=1 bo‘lgan davriy funksiya ekanligini ko‘rish mumkin. у=х
2
yoki у=e
x
funksiyalar esa davriymas funksiyalarga misol bo‘ladi.
10-TA’RIF:
Berilgan y=f(x) funksiya uchun shunday M >0 soni topilsaki, ixtiyoriy х
D
uchun |f(x)|≤M shart bajarilsa, u D sohada
chegaralangan funksiya
deyiladi. Aks holda y=f(x)
chegaralanmagan funksiya
deb ataladi.
Masalan, y=sinx chegaralangan funksiya, chunki barcha x uchun |sinx|≤1. y=2
x
funksiya
(−∞,0) oraliqda chegaralangan va 2
x
≤1, ammo bu funksiya (0,∞) oraliqda chegaralanmagan,
chunki ixtiyoriy M>0 katta soni uchun x>log
2
M bo‘lganda 2
x
>M bo‘ladi.
11-TA’RIF:
Agar у=f(x) funksiya biror D sohaning har bir x nuqtasida o‘zgarmas C
soniga teng bo‘lsa, u D sohada
o‘zgarmas funksiya
deyiladi.
Masalan, x
(−∞,∞) sohada f(x)=sin
2
x+cos
2
x=1, x
(–∞,0) sohada f(x)=x/|x|=–1
o‘zgarmas funksiya bo‘ladi.
3.
Funksiyalarning ayrim iqtisodiy tatbiqlari.
Iqtisodiyotning nazariy va amaliy
masalalarini o‘rganishda funksiyalardan keng foydalaniladi. Masalan, ishlab chiqarish funksiyasi
(ishlab chiqarish natijalarini turli omillarga bog‘liqligi), xarajatlar funksiyasi (ishlab chiqarilgan
mahsulot hajmi bilan xarajatlar o‘rtasidagi bog‘lanish), talab funksiyasi (mahsulotga talab hajmi
va narx, foyda kabi turli omillar orasidagi bog‘lanishlar) kabi funksiyalar iqtisodiyotda ko‘p
qo‘llaniladi.
Yana bir misol sifatida aholining daromadi x va uning turli tovarlarga ehtiyoji y orasidagi
bog‘lanishlarni o‘rganish uchun shved iqtisodchi olimi Tornkvist tomonidan taklif etilgan
quyidagi funksiyalarini qaraymiz:
)
(
)
(
b
x
c
x
b
x
a
y
>
-
-
=
, y
-
inson hayoti uchun I navbatda zarur bo‘lgan oziq-ovqat
mahsulotlari, kiyim-kechak kabi tovarlarga ehtiyoj ;
)
(
)
(
b
d
x
c
x
d
x
a
y
>
>
-
-
=
, y
-
inson hayoti uchun II navbatda zarur bo‘lgan televizor,
mebel, kosmetika kabi tovarlarga ehtiyoj ;
)
(
b
d
m
x
c
x
m
x
ax
y
>
>
>
-
-
=
, y
-
avtomobil, tilla bezaklar,dala hovlisi kabi
qimmatbaho buyumlarga ehtiyoj .
Bu funksiyalar quyidagi iqtisodiy qonuniyatlarni ifodalaydi:
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Daromad x ma’lum bir b, d yoki m qiymatdan oshgandan keyin tegishli tovarlarni xarid etish
mumkin ;
Daromad x oshib borishi bilan I va II navbatda zarur bo‘lgan tovarlarga ehtiyojni ifodalovchi
y funksiya o‘sishi sekinlashibdi ;
I va II navbatda zarur bo‘lgan tovarlarga ehtiyojni ifodalovchi y yuqoridan a soni (to‘yinish
nuqtasi) bilan chegaralangan, chunki ularning iste’moli cheksiz o‘sishi mumkin emas;
Daromad x oshib borishi bilan qimmatbaho buyumlarga ehtiyoj ham o‘sib boradi va
yuqoridan chegaralanmagan .
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati:
1.
Latipova, S. (2024). YUQORI SINF GEOMETRIYA MAVZUSINI O’QITISHDA YANGI
PEDAGOGIK TEXNOLOGIYALAR VA METODLAR. SINKVEYN METODI, VENN
DIAGRAMMASI METODLARI HAQIDA. Theoretical aspects in the formation of pedagogical
sciences, 3(3), 165-173.
2.
Latipova, S. (2024, February). SAVOL-JAVOB METODI, BURCHAKLAR METODI,
DEBAT
(BAHS)
METODLARI
YORDAMIDA
GEOMETRIYANI
O’RGANISH.
In Международная конференция академических наук (Vol. 3, No. 2, pp. 25-33).
3.
Latipova, S., & Sharipova, M. (2024). KESIK PIRAMIDA MAVZUSIDA
FOYDALANILADIGAN YANGI PEDAGOGIK TEXNOLOGIYALAR. 6X6X6 METODI,
BBB (BILARDIM, BILMOQCHIMAN, BILIB OLDIM) METODLARI HAQIDA. Current
approaches and new research in modern sciences, 3(2), 40-48.
4.
Latipova, S. (2024). 10-11 SINFLARDA STEREOMETRIYA OQITISHNING ILMIY VA
NAZARIY ASOSLARI. Академические исследования в современной науке, 3(6), 27-35.
5.
Latipova,
S.
(2024).
HILFER
HOSILASI
VA
UNI
HISOBLASH
USULLARI. Центральноазиатский журнал образования и инноваций, 3(2), 122-130.
6.
Latipova, S. (2024). HILFER MA’NOSIDA KASR TARTIBLI TENGLAMALAR
UCHUN KOSHI MASALASI. Development and innovations in science, 3(2), 58-70.
7.
Latipova, S. (2024). KESIK PIRAMIDA TUSHUNCHASI. KESIK PIRAMIDANING
YON SIRTINI TOPISH FORMULALARI. Models and methods in modern science, 3(2), 58-71.
8.
Shahnoza, L. (2023, March). KASR TARTIBLI TENGLAMALARDA MANBA VA
BOSHLANG’ICH FUNKSIYANI ANIQLASH BO’YICHA TESKARI MASALALAR. In "
Conference on Universal Science Research 2023" (Vol. 1, No. 3, pp. 8-10).
9.
qizi Latipova, S. S. (2024). CAPUTO MA’NOSIDAGI KASR TARTIBLI
TENGLAMALARDA MANBA FUNKSIYANI ANIQLASH BO ‘YICHA TO ‘G ‘RI
MASALALAR. GOLDEN BRAIN, 2(1), 375-382.
10.
Latipova, S. S. (2023). SOLVING THE INVERSE PROBLEM OF FINDING THE
SOURCE FUNCTION IN FRACTIONAL ORDER EQUATIONS. Modern Scientific Research
International Scientific Journal, 1(10), 13-23.
11. Latipova,
S.
(2024).
GEOMETRIYADA
EKSTREMAL
MASALALAR.
В
DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN MODERN SCIENCES (Т. 3,
Выпуск 3, сс. 163–172).
12. Latipova, S. (2024). EKSTREMUMNING ZARURIY SHARTI. В SOLUTION OF
SOCIAL PROBLEMS IN MANAGEMENT AND ECONOMY (Т. 3, Выпуск 2, сс. 79–90).
13. Latipova, S. (2024). FUNKSIYANING KESMADAGI ENG KATTA VA ENG KICHIK
QIYMATI. В CURRENT APPROACHES AND NEW RESEARCH IN MODERN SCIENCES
(Т. 3, Выпуск 2, сс. 120–129).
14. Latipova, S. (2024). EKSTREMUMLARNING YUQORI TARTIBLI HOSILA
YORDAMIDA TEKSHIRILISHI. IKKINCHI TARTIBLI HOSILA YORDAMIDA
EKSTREMUMGA TEKSHIRISH. В SCIENCE AND INNOVATION IN THE EDUCATION
SYSTEM (Т. 3, Выпуск 3, сс. 122–133).
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
15. Latipova,
S.
(2024).
BIR
NECHA
O'ZGARUVCHILI
FUNKSIYANING
EKSTREMUMLARI. В THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES (Т. 3, Выпуск 4, сс. 14–24).
16. Latipova, S. (2024). SHARTLI EKSTREMUM. В МЕЖДУРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
АКАДЕМИЧЕСКИХ НАУК (Т. 3, Выпуск 2, сс. 61–70).
