JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Madrimova Zulayho Sobirovna
Urganch Davlat Universiteti akademik litseyi matematika o ‘qituvchisi
IRRATSIONAL TENGLAMALARNI YECHISHNING NOSTANDART USULLARI
Annotatsiya:
Ushbu maqolada tenglamalar yechishning nostandart usullari bilan tanishtirib,
ularni yechish usullari ko ‘rsatib berilgan. Hamda bir nechta tenglamalar yechish usullari tavsiya
qilingan.
Kalit so ‘zlar:
Irratsional, parametr, ratsional son, tenglama, Bezu teoremasi.
Kirish
Tenglamalarni nostandart usulda yechish o ‘quvchilar bilimini oshirish bilan birgalikda har
qanday masalalarni tez yechishni topishga yordam beradi.
Ko ‘pgina tenglamalarni, ayniqsa, ikkinchi va undan yuqori darajali tenglamalar sistemalarini
odatdagi usullar bilan, masalan, o ‘rniga qo ‘yish usuli yordamida yechish qo ‘pol, uzoq shakl
almashtirishlarga olib kelib natijani hosil qilib bo ‘lamaslikka sabab bo ‘ladi, vaholanki, bu
tenglamalarni ancha ratsional, ya’ni boshqacha aytadigan bo ‘lsak, nostandart usullar bilan
osongina yechish mumkin.
1.
2�
2
+ 3� − 5 2�
2
+ 3� + 9 + 3 = 0
tenglamani yechamiz
Yechish: Agar bu tenglamani irratsional tenglama sifatida odatdagi usul bilan yechadigan bo
‘lsak, to ‘rtinchi darajali tenglama hosil bo ‘lib, uni Bezu teoremasini bilmay turib yecha
olmaymiz. Ko ‘pincha hosil bo ‘lgan tenglama, masalan, irratsional ya’ni kasr ildizlarga ega bo
‘lsa, uni yechishda, Bezu teoremasi ham yordam bera olmaydi. O ‘zgaruvchi qatnashgan qo
‘shiluvchilar ildiz ostida ham undan tashqarida ham bir xil ekaniga e’tibor beraylik. Yangi
� = 2�
2
+ 3� + 9 , � ≥ 0
o ‘zgaruvchi kiritamiz. U holda berilgan tenglama
�
2
− 9 − 5� +
3 = 0
ko ‘rinishga ega bo ‘lib, bu yerdan
� =− 1
, ya’ni
� = 6
ga egamiz, biroq,
� ≥ 0
, demak,
2�
2
+ 3� + 9 = 6
. Bu tenglamani yechib,
� =− 4,5
ya’ni
� =− 3
ni topamiz. Tekshirish orqali o ‘zgaruvchining bu qiymatlari berilgan
tenglamani qanoatlantirishga ishonch hosil qilamiz. Ko ‘rib chiqilgan usul hatto harfiy
parametrga ega bo ‘lgan shunday ko ‘rinishdagi tenglamalar uchun ham qo ‘llanilishi mumkin.
Biroq, harfiy parametrlar qatnashgan holda bu parametrlar mazkur tenglamada qanday qiymatlar
qabul qila
olishi mumkinligini tekshirish kerak.
2. 12 + 12 + � = �
tenglamani yechamiz
Yechish :
� > 0
ekani ma’lum. Yangi
� = 12 + �
o ‘zgaruvchi kiritamiz bu yerda
� > 0
. U
holda
12 + � = �
2
ga ega bo ‘lamiz. Quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo ‘lamiz:
�
2
− � = 12
�
2
− � = 12
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
Birinchi tenglamadan ikkinchi tenglamani ayirsak
�
2
− �
2
+ � − � = 0
ni hosil qilamiz. Ko
‘paytuvchilarga ajratsak
(� − �)(� + � + 1) = 0
. Ma’lumki,
� > 0; � > 0
, shuning uchun
� + � + 1 > 0
. Demak,
� − � = 0
, ya’ni
� = �
. Buni ikkinchi
tenglamaga qo ‘ysak
�
2
− � − 12 = 0
hosil bo ‘ladi. Bu tenglama ildizlari
� = 4
ya’ni
� =−
3 < 0
, demak,
� = 4
tenglamaning ildizi ekan.
3. Ushbu
4
�
(2� − 7)
2
+
�
(2� − 7)
2
=
�
4�
2
− 49
tenglamani yechamiz.
Yechish:
� = 3,5
tenglamani qanoatlantirmaydi. Demak, biz tenglamani yechimini
� ≠ 3,5
qiymatlar to ‘plamida qarashimiz mumkin. Tenglamaning ikkala qismini
�
(2� − 7)
2
ga bo ‘lib,
4 +
�
2� + 7
2� − 7
2
= 4
�
2� + 7
2� − 7
ga ega bo ‘lamiz. Yangi
� =
�
2�+7
2�−7
o ‘zgaruvchi kiritamiz, bu yerda
� ≥ 0
. Natijada
�
2
−
4� + 4 = 0
tenglamaga ega bo ‘lamiz bu tenglamani ildiz
� = 2
bo ‘ladi.
Demak,
�
2�+7
2�−7
= 2
, ya’ni
2�+7
2�−7
= 2
�
. Bundan
� =
7(2
�
+1)
2(2
�
−1)
ga ega bo ‘lamiz.
4. Ushbu
2�
2��
�
�+�
=
�
� +
�
�
tenglamani yechamiz.
Yechish: Radikallarni kasr ko ‘rsatkichli darajalar bilan almashtiramiz va hamma hadlarni chap
tomonga o ‘tkazamiz:
2��
�+�
2��
− �
1
�
− �
1
�
= 0
ni hosil qilamiz. Barcha qo`shiluvchilarda
�
qatnashadi. Bunday hollarda
�
o ‘zgaruvchining eng past darajasini qavsdan tashqariga chiqarish kerak. Ko ‘rilayotgan
misolda
�
1
�
yoki
�
1
�
ni qavsdan tashqariga chiqaramiz. Natijada tenglama
�
1
�
2��
�−�
2��
− �
�−�
��
− 1 = 0
ko ‘rinishga ega bo ‘ladi, bu yerdan
�
1
�
= 0
, ya’ni
� = 0
yoki
2��
�−�
2��
− �
�−�
��
− 1 = 0
. Yangi
� = �
�−�
2��
o ‘zgaruvchi kiritamiz, u holda
2�� − �
2
− 1 = 0
, ya’ni
�
2
− 2�� + 1 = 0
, bu yerdan
� = � ± �
2
− 1
, bu yerda
� ≥ 1
,
demak,
�
�−�
��
=
� ± �
2
− 1
.ya’ni
� = � ± �
2
− 1
2��
�−�
, shunday qilib,
� = 0
yoki
� = � +
�
2
− 1
2��
�−�
yoki
� = � − �
2
− 1
2��
�−�
bu yerda
� ≥ 1
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
ILMIY METODIK JURNAL
5. Ushbu
�
�
�
+
�+1
�
�
�
2
+
�
�
�
+
�+1
�
�
2
�
�
= �
tenglamani yechamiz.
Yechish: Radikallarni kasr ko ‘rsatkichli darajalar bilan almashtiramiz, so ‘ngra chap tomonnni
ko ‘paytuvchilarga ajratamiz:
�
�
�2
�+1
�
�
�+1
+ �
�
�+1
+
�
�
�2
�+1
�
�
�+1
+ �
�
�+1
= �
,
�
�
�+1
�
�
�+1
+ �
�
�+1
1
�
+ �
�
�+1
�
�
�+1
+ �
�
�+1
1
�
= �
,
�
�
�+1
+ �
�
�+1
1
�
�
�
�+1
+ �
�
�+1
= �
�
�
�+1
+ �
�
�+1
�+1
�
= �.
Oxirgi tenglamalarning ikkala tomonini
�
�+1
–
darajaga ko ‘tarib, quyidagini hosil qilamiz:
�
�
�+1
+ �
�
�+1
= �
�+1
.
Bu yerdan
�
�
�+1
= �
�
�+1
− �
�
�+1
,
� = �
�
�+1
− �
�
�+1
�+1
�
.
Tenglama
� ≥ � > 0
bo ‘lganda yechimga ega bo ‘ladi.
Mustaqil yechish uchun masalalar
1. Tenglamani yeching:
�
2
+ 2 �
2
− 3� + 11 = 3� + 4
2. Tenglamani yeching:
�
� + 1
2
+ 3
�
� − 1
2
= 4
�
�
2
− 1
3. Tenglamani yeching:
4
� � + 5
2
+ 6
4
�
3
= 5
4
�
2
� + 5
4. Tenglamani yeching:
� − � + � = �
5. Tenglamani yeching:
2 + 3
�
+
2 − 3
�
= 4
6.
� − 2 � − 1 = 1 + � + 3 − 4 � − 1
7.
�
2
− � + 2 �
2
− 1 = �
, bu yerda
� −
haqiqiy son
8.
2 2 − 3
�
+ 4 2 + 3
�
= 3∙ 2
�
