ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025

ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431

www.wordlyknowledge.uz

ILMIY METODIK JURNAL

Ибодов Набижон Музаффарович

Ассистент кафедры "общетехнические науки" Азиатского международного университета

ibodovnab@yandex.ru

.

UDK 539.2

ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Аннотация:

В этой статье рассматривается влияние силы тяжести (силы тяжести) на

каждый кусок твердого тела, направленный к центру Земли, центр параллельных сил и их

состояния, а также состояния центра тяжести плоской формы. В этой статье плоская

форма изучается при изучении положения центра тяжести плоской формы как

однородного тонкого пилообразного тела. В этой статье снова перечислены следующие

простые методы определения центра тяжести тел: метод симметрии, метод деления на

части, метод отрицательной поверхности, метод интегрирования.

Ключевые слова:

Твердое тело, центр тяжести, плоская форма, однородная тонкая

пластина, радиус Земли, координаты центра тяжести, параллельные силы, однородное

тело, объем для координат центра тяжести, поверхность для координат центра тяжести,

метод симметрии, метод деления на части, метод отрицательной поверхности, метод

интегрирования, поверхность сектора круга.

QATTIQ JISMNING OG‘IRLIK MARKAZI KOORDINATALARINING UMUMIY

FORMULALARI

Annotatsiya:

Ushbu maqolada qattiq jismning har bir bo’lagiga yerning markaziga qarab

yo‘nalgan tortish kuchi (og‘irlik kuchi) ta’siri, parallel kuchlarning markazi va ularning holatlari

hamda tekis shakl og‘irlik markazining xolatlari qaralgan. Bu maqolada tekis shakl og‘irlik

markazining xolatini o’rganishda tekis shaklni bir jinsli yupqa plastinka shaklidagi jism sifatida

qarab o’rganilgan. Ushbu maqolada yana jisimlarning og‘irlik markazini aniqlashning quydagi

sodda usullar orqali keltirib o’tilgan: S

IMMETRYA USULI

, B

O

’

LAKLARGA BO

‘

LISH USULI

,

M

ANFIY YUZA USULI

, Integrallash usuli.

Kalit so’zlar:

Qattiq jism, og‘irlik markazi, tekis shakl, bir jinsli yupqa plastinka, Yerning

radiusi, og‘irlik markazining koordinatalari, parallel kuchlar, Bir jinsli jism, H

AJM OG

‘

IRLIK

MARKAZINING KOORDINATALARI UCHUN

, Y

UZA OG

‘

IRLIK MARKAZINING KOORDINATALARI

UCHUN

, S

IMMETRYA USULI

, B

O

’

LAKLARGA BO

‘

LISH USULI

, M

ANFIY YUZA USULI

,

Integrallash usuli, Doira sektori yuzasi.

GENERAL FORMULAS FOR THE COORDINATES OF THE CENTER OF GRAVITY

OF A SOLID

Annotation:

This article looks at the effect of gravity (force of gravity) on each branch of a solid

towards the center of the Earth, the center of parallel forces and their states, and the positions of

the center of gravity of a flat form. This article explores the flat form in the study of the state of

the center of gravity by looking at the flat form as a uniformly thin pilastin-shaped object. This

article again cites the determination of the center of gravity of objects through simpler methods

below: symmetry method, fragmentation method, negative surface method, Integralization

method.

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025

ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431

www.wordlyknowledge.uz

ILMIY METODIK JURNAL

Keywords:

solid div, center of gravity, flat shape, homogeneous thin plate, Earth radius, center

of gravity coordinates, parallel forces, homogeneous div, volume for the coordinates of the

center of gravity, surface for the coordinates of the center of gravity, symmetry method,

fragmentation method, negative surface method, integration method, Circle sector surface.

На каждый кусок твердого тела действует сила тяжести (сила тяжести), направленная к

центру Земли. Это определяется степенями

�

1

, �

2

, …, �

�

. Поскольку размеры тела

относительно радиуса Земли очень малы, эти силы можно рассматривать как

параллельные силы. Центром этих параллельных сил в точке С будет центр тяжести тела

(рис.1).

Если :

�

�

=

�

1

�

1

+ �

2

�

2

+ … + �

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

и

�

�

= �

�

∙ � + �

�

∙ � + �

�

∙ �

�

�

=

�

1

�

1

+�

2

�

2

+…+�

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

� = 1, �

если вместо сил

�

�

в формулах взять силы

�

�

, то найдутся координаты центра тяжести

тела:

Рисунок 1.

�

c

=

1
�

∗ �

�

�

�

�

�

=

1

�

∗ �

�

�

�

�

�

=

1

�

∗ �

�

�

�

(1)

Где

�

�

(� = 1,2, …, �)

- веса частиц тела,

�

�

, �

�

, �

�

_k-координаты точек, в которые

помещены веса частиц,

� = �

�

-вес тела.

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025

ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431

www.wordlyknowledge.uz

ILMIY METODIK JURNAL

По Формуле (1) можно определить координаты центра тяжести любого твердого тела.

Поэтому эти формулы называются общими формулами координат центра тяжести.

Определим центр тяжести однородного тела. Вес однородного тела определяется по

формуле:

� = ��,

где V-объем тела, γ-вес одной единицы объема. Вес каждого куска

твердого тела пропорционален объему этого куска:

�

�

= � ∗ �

�

,

где

�

�

– объем куска

�

�

тела. Подставляя эти значения

P

и

P

k

в формулы (88) - γ на рисунке, вычитая общий

множитель из круглых скобок и сокращая его до γ в знаменателе:

�

�

=

1

�

∗ �

�

�

�

, �

�

=

1
�

∗ �

�

�

�

, �

�

=

1
�

∗ �

�

�

�

(2)

формула исходит из. Центр тяжести однородного тела зависит только от геометрической

формы тела и не зависит от значения γ. Точка C, координаты которой определяются

формулами (2), называется центром тяжести объема.

Однородное тонкое пилообразное тело можно рассматривать как плоскую форму.

Положение центра тяжести плоской формы определяется двумя координатами X

C

и Y

C

(рис.2). Вес плоской формы будет пропорционален ее поверхности.

Рисунок 2

P

=

�

F

, где F- поверхность плоской формы, γ-вес одной единицы поверхности. Разделим

элементарную поверхность М

К

на элементарные поверхности. Вес каждой элементарной

поверхности M

К

находится по формуле:

P

К

=

� ∙

F

к

, где F

K

-ее грань. Координаты центра

тяжести элементарной поверхности обозначаются X

K

, Y

K

. Подставляем значения

P

и

P

k

в

Формулу (1):

�

�

=

��

к�c

�. �

=

� ∙ �

к�c

�. �

=

�

к�c

�

отсюда координаты центра тяжести плоской формы:

X

c

=

�

к

�

c

�

�

�

=

�

к

�

c

�

.

(3)

находится по формулам. Координатами называют центр тяжести поверхности точки с,

определяемый по формулам (3). Величины

S

x

=

�

к

�

c

, �

y

=

�

к

�

c

в Формуле (3)

называются статическим моментом поверхности плоской фигуры относительно осей X и

Y. Единицей измерения статического крутящего момента является M

3

. Следовательно,

формулы (3) можно записать в следующем виде.

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025

ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431

www.wordlyknowledge.uz

ILMIY METODIK JURNAL

X

c

=

� �

�

;

Y

c

=

� �

�

:

(4)

Из Формулы (4) выводятся равенства

S

x

=F

∙

Y

c

,

S

y

=F

∙

X

c

.

Статический момент плоской грани фигуры относительно оси равен произведению

расстояния между поверхностью фигуры и ее центром тяжести от этой оси. Если известны

статический момент и поверхность плоской формы, то координаты центра тяжести

плоской формы находят по формулам (4). Плоские поверхности формы будут иметь

нулевой статический момент относительно осей, проходящих через центр тяжести формы,

потому что в этом случае:

x

c

=0,

y

c

=0

.

Пусть дана однородная линия

AB

длины

L

(рис. 3). Поверхность меридианного участка

линии постоянна. Вес линии находится по следующей формуле:

� = � ∙ �

. В этом случае

вес r-единицы длины и длины линии

AB

, равные I

k

, разбиваются на элементарные куски

M

k

. Вес каждой частицы находится по следующей формуле:

�

�

= ��

�

.

Координаты центра тяжести деталей определяются X

k

, Y

k

, Z

k

. Значения P и P

k

задаются формулами (1):

�

�

=

� ∙ �

�� =

� ∙

�

�

�

�

��

.

Рисунок 3.

�

�

=

1
� ∙

� ∙ �

Y

C

=

1
� ∙

� ∙ �

Z

C

=

1
� ∙

� ∙ �

(5)

Здесь L — длина всех линий, точка С, координаты которой определяются формулами (5),

называется центром тяжести линии [1-2].

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025

ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431

www.wordlyknowledge.uz

ILMIY METODIK JURNAL

1)

М

ЕТОД СИММЕТРИИ

. Т

ЕОРЕМА

1

: Е

СЛИ ТЕЛО ИМЕЕТ ОСЬ СИММЕТРИИ

,

ТО ЦЕНТР

ТЯЖЕСТИ ТЕЛА ЛЕЖИТ НА ЭТОЙ ОСИ СИММЕТРИИ

. Д

АНО ТЕЛО

,

ОБЛАДАЮЩЕЕ ОСЬЮ

СИММЕТРИИ

(

РИС

. 3). О

ДНА ИЗ ОСЕЙ КООРДИНАТ

,

НАПРИМЕР ОСЬ Z

,

ОРИЕНТИРОВАНА

ВДОЛЬ ОСИ СИММЕТРИИ

. Д

ВЕ КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ТЕЛА ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ ПО

ФОРМУЛАМ

(6);

�

�

=

�

�

� ;

�

�

=

�

�

�

(6)

И

З ЭТОГО ТЕЛА ПОЛУЧАЮТСЯ ДВЕ ТОЧКИ

M

R

И

M'

R

,

СИММЕТРИЧНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ

ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ Z

. Р

АВНЫЕ ДРУГ ДРУГУ ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ОБЪЕМ

V

K

ОТДЕЛЯЕТСЯ ОТ

СВОЕГО ОКРУЖЕНИЯ

.

M

R

И

M'

R

ЛЕЖАТ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ

,

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ОСИ

ТОЧЕК

,

И РАССТОЯНИЯ ОТ ЭТИХ ТОЧЕК ДО ОСИ РАВНЫ

;

M

R

N

R

= N

R

M

R

.

Следовательно, координаты

�

�

и

�

�

этих точек равны друг другу, а их знаки

противоположны. В этом случае он соответствует пузырю объёма

�

�

, определяемому

координатами

�

�

,

�

�

,

�

�

. Следовательно,

�

�

�

�

= 0

и

�

�

�

�

= 0

равны.

�

�

�

�

= �

1

�

1

+

�

2

�

2

+ … + �

�

�

�

− �

1

�

1

+ �

2

�

2

+ … + �

�

�

�

= 0

, поэтому

�

�

= 0

и

�

�

= 0

центр тяжести

тела лежит на

z

ось и ее положение на этой оси определяется одной координатой:

�

�

=

1

�

�

�

�

�

(6')

Теорема 2

: Если тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой

плоскости симметрии (рис. 3). Чтобы доказать это, через плоскость симметрии проводят

линию. Она направляет ось

перпендикулярно этой плоскости. Две точки N

k

и M

k

,

симметрично расположенные от тела к плоскости Oxy, лежат на одной прямой,

перпендикулярной плоскости Oxy. Расстояния от этих точек до плоскости симметрии

равны между собой, то есть

�

�

�

�

= �

�

�

�

(рис. 3), поэтому координаты Z

k

этих точек

равны между собой, а их знаки противоположны [3-4]:

�

�

�

�

= �

1

�

1

+ �

2

�

2

+ … + �

�

�

�

− �

1

�

1

+ �

2

�

2

+ … + �

�

�

�

= 0

�

�

=

1

�

�

�

�

�

�

�

=

1
�

�

�

�

�

�

�

=

1

�

�

�

�

�

.

(7)

Рисунок 4

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025

ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431

www.wordlyknowledge.uz

ILMIY METODIK JURNAL

Э

ТОТ РЕЗУЛЬТАТ ПОКАЗЫВАЕТ

,

ЧТО ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТЕЛА ЛЕЖИТ В ЦЕНТРЕ СИММЕТРИИ

.

А

НАЛОГИЧНО

,

ЕСЛИ ТЕЛО ИМЕЕТ ЦЕНТР СИММЕТРИИ

,

ДОКАЗАНО

,

ЧТО ОНО ЛЕЖИТ В ЦЕНТРЕ

ТЯЖЕСТИ

.

2.

С

ПОСОБ ДЕЛЕНИЯ НА РОДНИКИ

. Е

СЛИ ЕСТЬ ВОЗМОЖНОСТЬ РАЗДЕЛИТЬ ТЕЛО НА

НЕСКОЛЬКО ЧАСТЕЙ

,

ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ КОТОРЫХ ИЗВЕСТНЫ ЗАРАНЕЕ

,

КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА

ТЯЖЕСТИ ТЕЛА ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ ПО ФОРМУЛАМ

(7).

3.

М

ЕТОД ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

. Э

ТОТ МЕТОД ЯВЛЯЕТСЯ ЧАСТНЫМ СЛУЧАЕМ

МЕТОДА СЕКЦИОНИРОВАНИЯ

. Э

ТОТ МЕТОД ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ДЛЯ ОБЪЕКТОВ С ОТВЕРСТИЯМИ

.

С

УЩНОСТЬ МЕТОДА СОСТОИТ В ТОМ

,

ЧТО ТЕЛО РАССМАТРИВАЕТСЯ КАК ЦЕЛОЕ ТЕЛО БЕЗ

ДЫРКИ И КАК ИМЕЮЩЕЕ ДЫРКУ

;

ПОВЕРХНОСТЬ ОТВЕРСТИЯ УСЛОВНО ПРИНИМАЕТСЯ С

ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ЗНАКОМ

. Д

ЛЯ ПРИМЕНЕНИЯ ЭТОГО МЕТОДА НЕОБХОДИМО ЗНАТЬ ЦЕНТР

ТЯЖЕСТИ ВСЕГО ТЕЛА И ЧАСТИ ОТВЕРСТИЯ

[5-6].

4.

М

ЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ

. Е

СЛИ ТЕЛО НЕЛЬЗЯ РАЗДЕЛИТЬ НА ЧАСТИ С НЕСКОЛЬКИМИ

ИЗВЕСТНЫМИ ЦЕНТРАМИ ТЯЖЕСТИ

,

ТО СНАЧАЛА ЕГО РАЗБИВАЮТ НА СКОЛЬ УГОДНО МАЛЫЕ

ОБЪЕМЫ

∆ �

�

,

И ФОРМУЛА

(7)

ДЛЯ ТЕЛА ПРИНИМАЕТ СЛЕДУЮЩИЙ ВИД

.

�

�

=

1

�

�

�

�

�

И Т

.

Д

.,

(8)

З

ДЕСЬ

�

�

,

�

�

,

�

�

-

КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ВНУТРИ ОБЪЕМА

∆ �

�

.

Е

СЛИ

∆ �

�

В ФОРМУЛАХ

(8)

СТРЕМИТСЯ К НУЛЮ И ПЕРЕХОДИТ К ПРЕДЕЛУ

,

ТО ПОЛУЧАЕМ СЛЕДУЮЩЕЕ

:

Д

ЛЯ КООРДИНАТ ОБЪЕМНОГО ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ

:

�

c

=

1
�

∙ ���.

�

c

=

1
�

∙ ���. �

c

=

1

�

∙ ���.

(9)

Д

ЛЯ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПОВЕРХНОСТИ

:

�

c

=

1
�

∙ ���

.

�

c

=

1
�

∙ ���. �

c

=

1
�

∙ ���.

(10)

Д

ЛЯ КООРДИНАТ ЛИНЕЙНОГО ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ

:

�

c

=

1
�

∙ ���

.

�

c

=

1
�

∙ ���. �

c

=

1
�

∙ ���.

(11)

Центр тяжести поверхности треугольника.

Для определения центра тяжести

поверхности произвольного треугольника ABD разделим поверхность треугольника

отрезком прямой, параллельной стороне AB (рис. 5). Центр тяжести такого сечения лежит

в его середине, т. е. в медиане DE. Следовательно, центр тяжести поверхности

треугольника лежит в медиане. Аналогично, если разделить поверхность треугольника

отрезком прямой, параллельной стороне AD, то центр тяжести этих участков прямой

будет лежать на медиане BK.

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025

ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431

www.wordlyknowledge.uz

ILMIY METODIK JURNAL

Итак, центр тяжести поверхности треугольника лежит в точке пересечения трех его
медиан. Из геометрии известно, что точка пересечения медиан лежит на расстоянии

1
3

медианы от основания, т. е.

�� =

1
3

��

.

Рисунок 5

Если координаты концов треугольника

A(x

1

,y

1

), B(x

2

,y

2

), D(x

3,

y

3

)

заданы, то

координаты его центра тяжести

C(x

c

,y

c

)

находятся из следующего формулы:

X

c

=

�

1

+�

2

+�

3

3

, y

c

=

�

1

+�

2

+�

3

3

(12)

формулы (12) были выведены в аналитической геометрии.

Центр тяжести дуги окружности.

Определим центр тяжести дуги окружности АВ

радиусом R и углом

2

�

. Для этого ось Oх направлена ​ ​ вдоль оси симметрии дуги

окружности (рис. 6). В этом случае центр тяжести дуги окружности лежит на этой оси.

(

y

c

=O

).

Координату

x

c

находим по формуле (13). Для этого на дуге AB выделяется

элементарный отрезок, равный

dl=Rdy

.

Его положение определяется углом

�

. Координата центра тяжести элементарного угла

равна

X=R

��� �

, подставляя значения

x

и

d

e

в первую часть формулы (10), а интегрируя

его по длине всей дуги:

В этом случае длина дуги

L-AB

равна

L=R

∙ 2�

. Следовательно, центр тяжести дуги

окружности лежит на оси симметрии и находится на расстоянии от центра окружности. B

этом случае угол

�

измеряется в радианах.

X

c

=R

∙

��� �

�

(13)

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025

ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431

www.wordlyknowledge.uz

ILMIY METODIK JURNAL

Рисунок 6

Если 2

�

=

�

, образуется полукруг (рис. 6).

Если представить это в формуле (10),

y

c

=

���

�

2

�

2

=

2
�

∙ � =

2

3,14

∙ � = 0,64�,

y

c

=0,64R

Рисунок 7

Координата центра тяжести полукруговой дуги находится по формуле (12).

3. Центр тяжести поверхности сектора круга.

Для определения центра тяжести

поверхности сектора круга радиусом

R

и центральным углом 2

�

ось

x

направляется вдоль

оси симметрии. поверхность сектора (рис. 8).

Поверхность сектора считается составленной из нескольких элементарных секторов. Если

высоту каждого элементарного сектора считать треугольной, то его центр тяжести
находится на расстоянии

2
3

�

от нулевой точки. Центр тяжести кругового сектора OAB

совпадает с центром тяжести дуги окружности AE радиуса

2
3

�

[7].

Согласно (13).

X

2

=

2
3

R

� sin �

�

(14)

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 14, issue 02, 2025

ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431

www.wordlyknowledge.uz

ILMIY METODIK JURNAL

Рисунок 8

Если

� =

�
2

, образуется полукруг. Координата центра тяжести полукруга определяется по

формуле (14).

X

c

=

2
3

∙

���

�

2

�

2

∙ � =

4

3�

∙ � =

4

3∙3,14

∙ � = 0,42�

X

c

=0,64R (y

c

=0).

ЛИТЕРАТУРА

1.

P.Шохайдарова, Ш.Шозиотов, Ш.Зоиров,” Теоретическая механика", учебник, Ташкент,

1991.

2. T.Р.Рашидов, Ш.Шозиотов, K.B.Mo Минов,” основы теоретической механики", учебник,

Ташкент, 1990.

3. Juraev, F., Ibodov, N., Sharipova, D., Do‘stova, S., & Avliyoqulov, M. (2024). Studying the

technological process formation of mole drainage from a mole ripper. In E3S Web of

Conferences (Vol. 486, p. 03013). EDP Sciences.

4.

Н.С.Бибутов, М.Муродов,” Прикладная механика“, Ташкент,” Узинкомцентр", 2002.

5.

Ibodov, N., & Toyirov, M. (2023). COMPLETE INTEGRABLE VECTOR FIELD

GEOMETRY.

Modern Science and Research

,

2

(7), 484-486.

6. Ibodov, N. M., & Qobilov, K. H. (2022, September). EGRI CHIZIQ BILAN

CHEGARALANGAN SOHANING YUZI EGRI CHIZIQLI INTEGRAL ORQALI

IFODALASH. In

INTERNATIONAL CONFERENCES

(Vol. 1, No. 11, pp. 7-11).

7. Ibodov, N., & Nasimov, A. (2022). ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ, ИХ ИНТЕГРАЛЬНИЕ КРИВЫЕ

И ПОТОК.

Science and innovation

,

1

(A7), 615-617.