JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-2_June-2025
245
245
ISSIQLIK TARQALISH TENGLAMASI UCHUN
TESKARI KOSHI MASALASI
Farg‘ona Davlat Universiteti Amaliy
matematika yo‘nalishi 22.10 guruh talabalari
Tursunaliyeva Odinaxon Erkinboy qizi
E-mail: tursunaliyevaodinaxon69@gmail.com
Astonaqulova Kibriyoxon Baxriddin qizi
E-mail: kibriyoxonastonaqulova@gmail.com
Annotatsiya:
Mazkur maqolamizda issiqlik tarqalish tenglamasi uchun teskari
Koshi masalasi ko‘rib chiqdik. Ushbu masalaning matematik mohiyati, yechimning
mavjudligi, yagona bo‘lishi va turg`unligi muammolari tahlil qildik. Teskari Koshi
masalasining nokorrektligi va uni yechishda qo‘llaniladigan muntazamlashtirish
usullari (regulyarizatsiya) nazariy va amaliy misollar bilan ko‘rsatib beramiz.
Abstract:
In this article, we consider the inverse Cauchy problem for the heat
transfer equation. We analyze the mathematical essence of this problem, the existence,
uniqueness, and stability of the solution. We show the ill-posedness of the inverse
Cauchy problem and the regularization methods used to solve it with theoretical and
practical examples.
Аннотация:
В статье рассматривается обратная задача Коши для уравнения
теплопроводности. Анализируется математическая сущность этой задачи,
существование, единственность и устойчивость решения. На теоретических и
практических примерах показывается некорректность обратной задачи Коши и
методы регуляризации, используемые для ее решения.
Kalit so‘zlar:
Teskari masala, issiqlik tenglamasi, Koshi masalasi, nokorrektlik,
muntazamlashtirish, Tixonov usuli, turg`unlik.
Keywords:
Inverse problem, heat equation, Cauchy problem, irregularity,
regularization, Tikhonov method, stability.
Ключевые слова:
Обратная задача, уравнение теплопроводности, задача
Коши, нерегулярность, регуляризация, метод Тихонова, устойчивость.
Kirish
Issiqlik tarqalish tenglamasi matematik fizikaning asosiy tenglamalaridan biridir.
Ko‘pchilik amaliy masalalarda, ayniqsa teskari masalalarda, bizga natija (masalan,
oxirgi vaqtdagi harorat) ma’lum bo‘lib, unga sabab bo‘lgan boshlang‘ich holatni
aniqlash talab qilinadi. Bu esa teskari Koshi masalasi deb yuritiladi. Bunday masalalar
odatda nokorrekt bo‘lib, ularning yechimlari mavjud bo‘lmasligi yoki kuchli turg`un
bo‘lishi mumkin. Ushbu maqolada bunday masalaning matematik mohiyati va
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-2_June-2025
246
246
yechimini turg`unlashtirish usullari ko‘rib chiqiladi.
Asosiy qism
Issiqlik tenglamasi
Bir o‘lchamli issiqlik tenglamasi:
∂u
∂t
= 𝑎
2
∂
2
𝑢
∂t
2
,
𝑜 < 𝑥 < 𝐿,
𝑜 < 𝑡 < 𝑇
Bu yerda, u(x,t)-harorat funksiyasi,
𝑎
2
-issiqlik tarqalish koeffitsienti .
Teskari Koshi masalasi
Ma’lum bo‘lgan u(x,T) = φ(x) funksiyasidan foydalanib, boshlang‘ich holat
u(x,0) ni aniqlash. Bu masala bevosita teskari masala hisoblanadi, chunki yechim
vaqtga nisbatan “orqaga” hisoblanadi.
Nokorrektlik va turg`unlik muammosi
Adamar ta’rifiga ko‘ra, masala to‘g‘ri qo‘yilgan bo‘lishi uchun:
Yechim mavjud bo‘lishi, yechim yagona bo‘lishi,yechim boshlang‘ich
ma’lumotlarga uzluksiz bog‘liq bo‘lishi zarur.
Teskari Koshi masalasi odatda Adamarning 3-shartini (turg`unlik) buzadi, ya’ni
kichik xatoliklar yechimda katta o‘zgarishlarga olib keladi.
Muntazamlashtirish (regulyarizatsiya) usullari
Nokorrekt masalalarni yechishda muntazamlashtirish usullari qo‘llaniladi. Eng
mashhuri – Tixonov regulyarizatsiyasi:
𝑚𝑖𝑛
𝑢
{||𝐴𝑢 − 𝜑||
2
+ 𝛼||𝐿𝑢||
2
Bu yerda A – issiqlik operatori, φ – kuzatuv, L-muntazamlashtiruvchi operator
(odatda identik), α – regulyarizatsiya parametri.
Amaliy misol
Berilgan:
∂u
∂t
=
∂
2
𝑢
∂t
2
, 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 1) = 0 , 𝑢(𝑥, 1) = sin (𝜋𝑥)
Yechim:
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑
𝐴
𝑛
𝑒
−𝑛
2
𝜋
2
(1−𝑡)
sin (𝑛𝜋𝑥)
∞
𝑛=1
Berilgan yakuniy holatda:
𝑢(𝑥, 1) = sin(𝜋𝑥) → 𝐴
1
= 1
Demak,
𝑢(𝑥, 0) = 𝑒
−𝜋
2
sin(𝜋𝑥) ≈ 0.0432 ∗ sin(𝜋𝑥)
Agar xatolik bo‘lsa, masalan:
𝑢(𝑥, 0) ≈ (1 + 0.01) 𝑒
−𝜋
2
sin(𝜋𝑥) ≈ 0.0436 ∗ sin(𝜋𝑥)
Bu misol turg`unlik yoqligini korsatadi: kichik xatoliklar u(x,0) da katta tasir
qiladi .Shuning uchun Tixonov usuli kabi regulyarizatsiya metodlari zarur bo`ladi.
Amaliy misol .
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-2_June-2025
247
247
Masala: Quyidagi issiqlik tenglamasi berilgan:
∂u
∂t
=
∂
2
𝑢
∂t
2
,
𝑜 < 𝑥 < 1,
𝑜 < 𝑡 ≤ 1,
Chegaraviy shartlar:
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(1, 𝑡) = 0
Kuzatuv (yakuniy vaqt kesimi):
𝑢(𝑥, 1) = 𝜑(𝑥) = sin (𝜋𝑥)
Talab:
𝑢(𝑥, 0)
ni toping – ya’ni, boshlang‘ich harorat taqsimotini aniqlanadi.
1-usul.Oldinga yechim shakli
Issiqlik tenglamasining sinfiy (klassik) yechimi:
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑
𝐴
𝑛
𝑒
−𝑛
2
𝜋
2
(1−𝑡)
sin (𝑛𝜋𝑥)
∞
𝑛=1
Bu yerda
𝐴
𝑛
– boshlang‘ich haroratni trigonometrik (Furye) qatorga yoyish
koeffitsientlari.
2-usul. Teskari masala – yechim toppish
Bizga yakuniy holat ma’lum:
𝑢(𝑥, 1) = sin (𝜋𝑥)
U holda, yuqoridagi umumiy yechim formulasi orqali shuni topamizki:
sin (𝜋𝑥) = ∑
𝐴
𝑛
𝑒
−𝑛
2
𝜋
2
(1−𝑡)
sin (𝑛𝜋𝑥)
∞
𝑛=1
Bu qatorda faqat bitta had bor (chunki chap tomonda faqat bor):
Demak:
𝐴
1
𝑒
−𝜋
2
= 1 → 𝐴
1
= 𝑒
𝜋
2
Bu juda katta son!
𝑒
𝜋
2
≈ 𝑒
9.8696
≈ 19319
Shu sababli boshlang‘ich yechim:
𝑢(𝑥, 0) = 𝐴
1
sin(𝜋𝑥) = 𝑒
𝜋
2
sin(𝜋𝑥) ≈ 19319 ∗ sin(𝜋𝑥)
Masalan:
𝑢(𝑥, 1) = sin (𝜋𝑥)
Boshlang‘ich yechim:
𝑢(𝑥, 0) ≈ 19319 ∗ sin(𝜋𝑥)
Bu degani, agar yakuniy holatga 1% xatolik kirsa, boshlang‘ich yechimga bu 193
barobar ta’sir qiladi! Ya’ni:
Yakuniy holatdagi xatolik:
𝜀 = 0.01
Bu esa teskari Koshi masalaning juda beturg`un, ya’ni nokorrekt ekanini yaqqol
ko‘rsatadi. Issiqlik tenglamasi uchun teskari Koshi masalasi klassik holatda
ishlanmaydi. Yechim mavjud, lekin u kuchli beturg`un – eng kichik xatolik yechimni
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-2_June-2025
248
248
buzadi. Bunday holatda muntazamlashtirish metodlari (masalan, Tixonov usuli)
ishlatiladi.Yuqoridagi misol teskari masalalarning mohiyatini tushunishga yordam
beradi va amaliy holatlarda ehtiyotkorlik bilan ishlash zarurligini ko‘rsatadi.
Xulosa
Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun teskari Koshi masalasi nazariy va amaliy
jihatdan dolzarb masalalardan biridir. Ushbu masalaning asosiy qiyinligi — uning
nokorrektligidadir. Yechim kichik xatoliklarga sezgir bo‘lib, ularni bartaraf etish
uchun muntazamlashtirish usullaridan foydalanish zarur. Maqolada keltirilgan misol
ushbu yondashuvlarning muhimligini amaliy jihatdan ko‘rsatib beradi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Metody resheniya nekorrektnykh zadach. — M.:
Nauka, 1979.
2. Lavrentiev M.M., Romanov V.G., Shishatskii S.P. Ill-posed Problems of
Mathematical Physics and Analysis. — AMS, 1986.
3. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. — Springer,
2006.
4. Kabanikhin S.I. Inverse and Ill-Posed Problems: Theory and Applications. —
De Gruyter, 2011.
5. Özarslan M.A., Yamamoto M. Inverse Heat Source Problems. — In: Inverse
Problems and Related Topics, Springer, 2019.
