JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-3_June-2025
218
218
NOKORREKT VA TESKARI MASALALAR FANIDAN ISSIQLIK
TARQALISH TENGLAMASI UCHUN TESKARI MASALALAR
Farg’ona Davlat Universiteti 3-kurs talabalari,
Shuhratjonova Gulchiroy Shuhratjon qizi
Ne’matjonova Navro‘za Qahramonjon qizi
Annotatsiya:
Biror nuqtada haroratni o‘lchash orqali dastlabki harorat
taqsimotini aniqlash masalasini qaraymiz. Ushbu maqolada issiqlik tarqalish
tenglamasi uchun ikkinchi chegaraviy masala misolida bu teskari masalaning
qo‘yilishini ko‘rib chiqamiz.
Kalit so‘zlar:
issiqlik tarqalish tenglamasi, to‘g‘ri masala, teskari masala,
boshlang‘ich shart, chegaraviy shart.
Annotation:
We consider the problem of determining the initial temperature
distribution by measuring the temperature at a certain point. In this article, we examine
the formulation of this inverse problem using the second boundary value problem for
the heat conduction equation.
Keywords:
heat conduction equation, direct problem, inverse problem, initial
condition, boundary condition.
Аннотация:
Рассматривается
задача
определения
начального
распределения температуры на основе измерения температуры в одной точке. В
данной статье изложена постановка этой обратной задачи на примере второго
краевого условия для уравнения теплопроводности.
Ключевые слова:
уравнение теплопроводности, прямая задача, обратная
задача, начальное условие, краевое условие.
Kirish.
Issiqlik tarqalish jarayonlari ko‘plab texnik va tabiiy tizimlarda muhim
rol o‘ynaydi. Ularni matematik modellashtirishda issiqlik tarqalish tenglamasi asosiy
vosita hisoblanadi. Mazkur tenglama asosida qurilgan to‘g‘ri masalalarda boshlang‘ich
va chegaraviy shartlar ma’lum bo‘lib, yechim topilishi talab qilinadi. Biroq ko‘plab
real holatlarda bu shartlar to‘liq ma’lum bo‘lmaydi, aksincha, haroratning ma’lum vaqt
oralig‘ida yoki fazodagi qiymatlari kuzatiladi. Bunday vaziyatlarda teskari masalalarni
hal qilish zarur bo‘ladi.Teskari masalalarda yechimni aniqlash jarayoni odatda ill-
posed (yaxshi qo‘yilmagan) bo‘lib, kichik xatoliklar katta og‘ishlarga olib kelishi
mumkin. Shu sababli, bunday masalalarni o‘rganish nafaqat matematik, balki fizik,
texnik va hisoblash nuqtayi nazaridan ham dolzarb hisoblanadi. Ayniqsa, issiqlik
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-3_June-2025
219
219
manbaini aniqlash, boshlang‘ich haroratni tiklash yoki o‘lchovlar orqali tizim holatini
qayta tiklash kabi masalalar zamonaviy ilm-fan va sanoatda katta amaliy ahamiyatga
ega.
To‘g‘ri masala.
Ushbu
2
,0
,0
,
t
xx
u
a u
x
l
t
T
(1)
(0, )
( , )
0, 0
,
x
u
t
u l t
t
T
(2)
u ,
l t
g t
(3)
(x, 0)
(x), 0
x
l
u
shartlarni qanoatlantiruvchi
(x, t)
u
funksiyani toping
Teskari masala.
0
1
0
t
,
,
0
t t
t
bo‘lganda
0
(t)
u(x , t)
g
funksiya berilgan, bu
yerda
0
x
0,
l
kesmadagi biror fiksirlangan nuqta,
(x, t)
u
esa (1)-(3) masalaning
yechimi.
0,
l
kesmada
(x)
funksiyani topish talab qilinadi.
Bu teskari masalaning fizik talqini quyidagicha. Muayyan vaqt oralig‘ida harorat
sterjenning belgilangan nuqtasida o‘lchanadi va bu o‘lchovlardan dastlabki harorat
taqsimotini aniqlash kerak.
(1)-(3) masalaning yechimi o‘zgaruvchilarni ajratish usuli bilan olinishi mumkin
va
2
2
1
0
2
(2
1)
(2
1)
(2
1)
(x, t)
( )sin
d exp
sin
2
2
2
l
n
n
n
n
u
a t
x
l
l
l
l
ko‘rinishga ega. Bu tenglikka
0
x
x
qo‘yib,
(x)
funksiya uchun
2
2
1
0
2
(2
1)
(2
1)
(2
1)
( ) sin
d exp
sin
2
2
2
l
n
n
n
n
a t
x
g t
l
l
l
l
(4)
tenglama hosil bo‘ladi, bu yerda
0
1
t
,
t t
.
O‘lchov nuqtasi
0
x
segment oxirida bo‘lgan taqdirda (1) tenglama yechimining
yagonaligini tekshiramiz.
Teorema.
Agar
0
0
x
bo‘lsa, (1) tenglamaning yechimi
2
0,
L
l
fazoda yagona
bo‘ladi.
Isbot.
(1) tenglamaning chiziqliligidan kelib chiqadiki,
2
0,
L
l
fazoda
yechimning yagonaligini isbotlash uchun
2
2
(2
1)
exp
.
2
2
g
a
t
l
n
z
l
(4) tenglikka
2
2
(2
1)
exp
.
2
2
g
a
t
l
n
z
l
va
0
,
2
1
1
2
n
l
x
k
n
qiymatlarni qo‘ysak,
0
1
,
t
t t
da quyidagini olamiz.
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-3_June-2025
220
220
2
2
2
2
0
1
.
2
(2
1)
(2
1)
2
(2
1)
( )sin
exp
exp
2
2
l
n
n
n
n
d
a t
a
l
l
l
l
l
z
(5)
Komplks yarim tekislikda
Rez
2
2
0
1
(2
1)
(2
1)
( )
2
( ) sin
exp
.
2
2
l
n
n
n
z
d
a z
l
l
(6)
kompleks o‘zgaruvchili funksiyasni ko‘rib chiqamiz, bu yerda
0
a
0,
t
. Demak,
Rez
bo‘lganda
2
2
2
2
(2
1)
(2
1)
exp
exp
2
2
n
n
a z
t
a
l
l
,
u holda bu yarim tekislikda (6) ning o‘ng tomonidagi qator tekis yaqinlashadi.
Bu qatorning har bir hadi uchun analitik funksiya
Re
z
ekanligini hisobga olib,
Veyershtras teoremasini qo‘llagan holda,
0
z
funksiya
Re
z
uchun analitik
ekanligini bilib olamiz.
(5) dan
z
funksiyaning analitiklik sohasida yotuvchi, haqiqiy o‘qdagi
0
,
t t
kesmada
0
z
ekanligi kelib chiqadi, u holda teoremadagi yagonalik
xulosasi analitik funksiyalar uchun
0
z
, barcha z uchun ,
Re
z
ekanligidan
kelib chiqadi.
Shunday qilib, (5) tenglik barcha
0
t
t
haqiqiy sonlar uchun bajariladi.Bu
tenglikdan
t
bo‘lgandagi limitga o‘tsak, biz ketma-ket
0
(2
1)
( )sin
0
2
l
n
d
l
(7)
0
(2
1)
( )sin
1
2
l
n
d
l
tenglikni olamiz va quyidagi natijaga erishamiz. Bu tenlikdn kelib chiqadiki
2
0,
L
l
(2
1)
cos
,
n
x
l
n=1,2,.. funksiyalar sistemasi to‘laligi sababli (7)
tengliklardan
(x )
0 ekanligi kelib chiqadi. 1-teorema isbotlandi.
Sterjen ichidagi x
0, l
haroratni o‘lchashda teskari masala yechimining
yagonaligi
0
x
kuzatish nuqtasini tanlashga bog‘liqligini ko‘rsatamiz.
Haqiqatan ham, faraz qilaylik
0
x
=l/2, va
(2
1)
( )
cos
,
n
x
x
l
bo‘lsin. U holda
(1)-(3) masala yechimi
0
(2
1)
( )sin
0
2
l
n
d
l
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-3_June-2025
221
221
0
(2
1)
( )sin
1
2
l
n
d
l
2
(2
1)
( )
sin
2
n
l
l
x
ni topib,
,
u x t
funksiyaga qo‘yamiz va natijaga erishamiz.
2
2
1
0
2
(2
1)
(2
1)
((2
1)
(x, t)
( ) sin
d exp
sin
2
2
2
l
n
n
n
n
u
a t
x
l
l
l
l
0
1,
2
(2
1)
( ) sin
sin
d
0,
2
l
n
k
n
k
n
k
l
l
l
2
2
2
4
(2
1)
3
,
exp
sin
2
n
k
u x t
a t
x
l
l
l
2
4
3
sin
k
x
x
l
l
Bu holda ham teorema isbotiga o‘xshash mulohaza yuritib, (4) tenglamaning
yechimi yagona ekanligini bilib olamiz.
Ko‘rib chiqilayotgan teskari masalani 1-turdagi Fredgolm integral tenglamasiga
keltirish mumkin. Haqiqatdan ham, (4) tenglamaning chap tomonidagi integrallash va
yig‘indiga olish tartibini almashtirib,
0
1
0
( , ) ( )
( ),
l
G
G t
d
g t t
t
t
(8)
1-turdagi Fredgolm tenglamasini olamiz, bu yerda yadro
2
2
0
1
1
2
(2
1)
(2
1)
(2
1)
( , )
cos
cos
n
n
n
n
G t
ext
a t
x
l
l
l
l
l
,
0
1
t
t
t ,0
l
to‘rtburchakda uzluksizdir. Binobarin,
0, ,
L
l
dan
1
,
o
L t t
ga
amal qiluvchi deb qaralayotgan integral operator G tekis uzluksizdir. Shunday qilib,
bu juft fazolarda (8) tenglamani yechish masalasi nokorrekt qo‘yilgan.
Xulosa.
Maqolada issiqlik tarqalish tenglamasi uchun teskari masala o‘rganildi.
O‘zgaruvchilarni ajratish usuli yordamida yechim ifodalandi va o‘lchov nuqtasi
segment oxirida joylashgan hol uchun yechimning yagonaligi isbotlandi. Kompleks
funksiyalar va Veyershtras teoremasi asosida funksiyaning analitiklik xossalari tahlil
qilindi. Olingan natijalar teskari masalalarning nazariy asoslarini chuqurlashtirishga
xizmat qiladi.Ushbu maqola “Nokorrekt va teskari masalalar” fanidan mustaqil ta’lim
sifatida yozildi.
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-3_June-2025
222
222
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
K.S.Fayazov, I.O.Xajiyev Nokorrekt va teskari masalalar(o‘quv qo‘llanma)
2.
Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for
solutions
of
elliptic
partial
differential
equations
satisfying
general
boundary conditions. II. Comm. Pure Appl. Math. 17, 1964. P. 35-92.
3.
Ames
K.A.,
Straughan
B.
Non-Standard
and
Improperly
Posed
Problems.Academic Press, New York, 1997. 303 p.
4.
Fayazov K.S. Hisoblash matematikasi, matematik fizika va analizning
nokorrekt masalalarini yechish usullari. Toshkent, O‘zMU, 2001. 100 b.
5.
Fayazov K.S. Khajiev I.O. The ill-posed boundary value problem for a
high-order differential equation with the degeneration line. Problems of
Computational and Applied Mathematics. 2(39), 2022. P. 122-129
