JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-3_June-2025
215
215
ISSIQLIK TARQALISH TENGLAMASI UCHUN
TESKARI KOSHI MASALASI
Ergasheva Mahliyo Nuriddin qizi
Farg’ona davlat universiteti 3 – kurs talabasi
Dilmurodova Nasibaxon Salimjon qizi
Farg’ona davlat universiteti 3 – kurs talabasi
nasibaxondilmurodova@gmail.com
To’xtasinov O’tkirbek O’ktamjon o’g’li
Farg’ona davlat universiteti 3 – kurs talabasi
Annotatsiya:
Ushbu maqolada issiqlik tarqalish tenglamasi uchun teskari Koshi
masalasi o‘rganiladi. Teskari masalalar klassik to‘g‘ri masalalardan farqli ravishda,
mavjud bo‘lgan natijalar asosida boshlang‘ich yoki chegaraviy shartlarni aniqlashga
qaratilgan.Ushbu masalaning matematik formulalashuvi,noaniqlik xossalari va uni
yechish uchun qo‘llaniladigan sonli usullar ko‘rib chiqiladi. Shuningdek,
regulyarizatsiya metodlari yordamida yechimning barqarorligini ta’minlash yo‘llari
tahlil qilinadi. Nazariy asoslar bilan bir qatorda, kompyuter dasturlari yordamida
amaliy misollar keltiriladi va ularning natijalari tahlil qilinadi.
Kalit so‘zlar:
Issiqlik tenglamasi, teskari masala, Koshi masalasi,
regulyarizatsiya, sonli usullar, Chegara sharti, boshlang‘ich shart, differensial
tenglama.
Faraz qilaylik,
,
u x t
funksiya
2
t
xx
u
b u
u
,
0,
0,
x t
T
,
(1)
tenglamani yechimi bo’lib
(2)
0,
,
0,0
u
t
u
t
t
T
(3)
Shartlarni qanoatlantirsin,bu yerda
0
0
f
f
.
Biror fiksirlangan
0,
t
T
intervalda
,
u x t
funksiyani aniqlash talab qilinadi. (1)-
(3) masala J.Adamar ma’nosida nokorrekt yoki Tixonov ta’rifi bo’yicha biror M
to’plamda shartli korrekt masaladir. Shartli korrekligini ko’rsatuvchi shartli turg’unlik
bahosi Fayazov K.S, Xojiyev I.O larning Nokorrekt va teskari masalalar kitobining 2-
bobda ko’rsatilgan.
Faraz qilamiz,qaralayotgan masalaning yechimi mavjud bo’lsin.U holda
o’zgaruvchilarni ajratish,ya’ni Fur’e usuli bilan yechimini topamiz va u
,0
,0
,
u x
f x
x
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-3_June-2025
216
216
(4)
ko’rinishda bo’ladi,bu yerda
( )
k
f
f x
funksiyaga mos Fur’e koiffisenti bo’lib
0
2
( ) sin
k
f
f x
kxdx
.
Butun qiymatli parametrga bog’liq bo’lgan
n
B
chiziqli operatorlaroilasini
qaraymiz va ular
2
2
(
)
1
2
( )
sin
n
k
b
t
n
k
k
B f x
f e
kx
(5)
Ko’rinishida aniqlanadi,
𝔫
-regulyarlashtirish paramaetri.
Agar f (x) berilganlarni va
( , )
u x t
yechimni
2
L
Gilbert fazosining
elementlari
sifatida
qaralsa,
n
B
operatorlar
oilasi
qaralayotgan
Koshi
masalasi
uchun
regulyarlashtiruvchi
oila
ekanligini
ko‘rish
oson.
Haqiqatan ham, Fur’e koeffitsiyentlari
k
f
va
chekli
yig'indini
aniqlash
operatorlari uzluksiz ekanligidan,
n
B
operatorlarining uzluksizligini keltirib
chiqarish
mumkin.
( )
n
B f x
ketma-ketlikning
( , )
u x t
yechimga
yaqinlashishi
(4)
yechimning
ko‘rinishi
va
L
fazoda
Fur’e
qatorining
yaqinlashuvchiligidan kelib chiqadi.
Endi taqribiy
( )
f x
berilganlarga mos taqribiy yechimni qurish uchun
regulyarlashtiruvchi oilani masalaning yechimiga qo‘llab effektivlik baho
hosil qilamiz.
Faraz qilamiz, (1)-(3) masala shartli-korrekt ravishda qo‘yilgan va
korrektlik to'plami
{ ( , ) :|| ( , ) ||
,
}
M
u x t
u x T
m m
(6)
bilan aniqlanadi (2-bob, 3-bo‘lim). Yana
||
( )
( ) ||
f x
f x
, u holda
2
2
(
)
1
2
( )
( )
sin(
)
n
k
b
t
n
k
k
B f x
f
x e
kx
(7)
bu yerda
0
2
( ) sin(
)
k
k
f
f x
kx dx
.
Ma’lumki,
||
( )
( , ) || ||
( )
( ) ||
||
( )
( , ) ||
n
n
n
n
B f x
u x t
B f x
B f x
B f x
u x t
(8)
Avval (8) tengsizlikning o‘ng tarafidagi birinchi qo‘shiluvchini (5) va (7)
larni e’tiborga olib, baholaymiz:
2
2
2
2(
)
||
( )
( ) ||
n
b
t
n
n
B f x
B f x
e
(9)
2
2
1
2
,
sin
k
b t
k
u x t
c
kxe
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-3_June-2025
217
217
2
2
2
2(
)
1
2
n
b
t
k
m
e
(10)
k
f
Fur’e koeffitsiyentlari
2
2(
1)
0,
1
2
,
1
k
n
T
k
n
f
e
m k
n
teng bo‘lganda (9) tenglikning o‘ng tomonidagi yig‘indi (10) shart ostida
maksimal
qiymatiga
yetishini
ko‘rish
oson.
Demak,
2
2
2
2
2((
1)
)
2(
1)
2
||
( )
( , ) ||
n
b
t
n
T
n
m
B f x
u x t
e
e
Shunday qilib, (8) tengsizlik quyidagi shaklga ega bo‘ladi:
2
2
2
2
2
2
2(
)
2((
1)
)
2(
1)
2
||
( )
( , ) ||
n
b
t
n
b
t
n
T
n
m
B f x
u x t
e
e
e
Oxirgi tengsizlik o‘ng tarafidagi ifodaning
2
2
2
2
2
2
2(
)
2((
1)
)
2(
1)
2
inf{
}
n
b
t
n
b
t
n
T
n
m
e
e
e
qiymati bo‘yicha regulyarlashtirish parametri n topiladi.
Xulosa.
Maqolada issiqlik tarqalish tenglamasi uchun Koshi masala o‘rganildi.
Fur’e usuli yordamida yechim ifodalandi. Ushbu ma’qola Farg’ona davlat universiteti
3 – kurs 22.10 – guruh talabalari uchun berilgan mustaqil ta’lim topshirig’i asosida
bajarildi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
K.S.Fayazov, I.O.Xajiyev Nokorrekt va teskari masalalar(o‘quv qo‘llanma)
2.
Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for
solutions
of
elliptic
partial
differential
equations
satisfying
general
boundary conditions. II. Comm. Pure Appl. Math. 17, 1964. P. 35-92.
3.
Ames
K.A.,
Straughan
B.
Non-Standard
and
Improperly
Posed
Problems.Academic Press, New York, 1997. 303 p.
4.
Fayazov K.S. Hisoblash matematikasi, matematik fizika va analizning
nokorrekt masalalarini yechish usullari. Toshkent, O‘zMU, 2001. 100 b.
5.
Fayazov K.S. Khajiev I.O. The ill-posed boundary value problem for a
high-order differential equation with the degeneration line. Problems of
Computational and Applied Mathematics. 2(39), 2022. P. 122-129
