JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-3_June-2025
211
211
LAPLAS TENGLAMASI UCHUN TESKARI MASALA
Farg‘ona Davlat Universiteti
Amaliy matematika yo‘nalishi 3 – kurs talabalari
22.10 - guruh talabasi
Buzurukova Xumoraxon G‘ayratjon qizi
E-mail: khumorakhon@bgmail.com
Xakimov Baxriddin Mirodil o‘g‘li
E-mail: xakimovbaxriddin964@gmail.com
Annotatsiya
Ushbu maqolada to‘g‘ri to‘rtburchak sohada Laplas tenglamasi uchun teskari
masala ko‘rib chiqiladi. Masalada chegaraviy shartlar va qo‘shimcha ma’lumotlar
berilgan holda noma’lum chegaraviy funksiyani aniqlash muammosi o‘rganiladi.
Masalaning yechimi integral tenglamalar yordamida ifodalanadi va uning shartli
turg‘unligi baholanadi. Teskari masala gravitatsion, magnit maydonlar va foydali
qazilmalarni qidirishda maydonlarni davom ettirish muammolarini hal qilishda
qo‘llaniladi.
Kalit so‘zlar:
Laplas tenglamasi, teskari masala, to‘rtburchakli soha, Dirixle
masalasi, integral tenglama, shartli turg‘unlik, spektral nazariya.
Annotation
This article considers the inverse problem for the Laplace equation in a
rectangular field. The problem studies the problem of determining the unknown
boundary function given boundary conditions and additional information. The solution
of the problem is expressed using integral equations and its conditional stability is
evaluated. The inverse problem is used to solve the problems of gravitational, magnetic
fields and field continuation in the search for minerals.
Keywords:
Laplace equation, inverse problem, rectangular domain, Dirichlet
problem, integral equation, conditional stability, spectral theory.
Аннотация
В данной статье рассматривается обратная задача для уравнения Лапласа в
прямоугольном поле. В задаче изучается задача определения неизвестной
граничной функции по заданным граничным условиям и дополнительной
информации. Решение задачи выражается с помощью интегральных уравнений
и оценивается его условная устойчивость. Обратная задача применяется для
решения задач гравитационного, магнитного полей и продолжения поля при
поиске полезных ископаемых.
Ключевые слова:
Уравнение Лапласа, обратная задача, прямоугольное
область, задача Дирихле, интегральное уравнение, условная устойчивость,
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-3_June-2025
212
212
спектральная теория.
Kirish
Laplas tenglamasi elliptik turdagi differensial tenglamalar sinfiga kirib,
matematik fizika, mexanika, elektromagnetizm, issiqlik o‘tkazish va boshqa ko‘plab
sohalarda keng qo‘llaniladi. U quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi.
2
2
2
2
0
u
u
u
x
y
bu yerda
,
u
u x y
– noma’lum funksiya,
,
x y
– tekislikdagi nuqtalar
koordinatalari. Laplas tenglamasi uchun klassik chegaraviy masalalar orasida Dirixle
va Neyman masalalari eng ko‘p o‘rganilganlardan hisoblanadi.
Ushbu maqolada to‘g‘ri to‘rtburchak
,
: 0
,0
x y
x
a
y
b
sohada
Laplas tenglamasi uchun teskari masala ko‘rib chiqiladi. Masala quyidagicha
ifodalanadi:
0,0
,0
,
u
x
a
y
b
va chegaraviy shartlar:
(0, )
( , )
0,0
,
u
y
u a y
y
b
(3)
( ,0)
( ),
0
,
u x
x
x
a
(4)
(
)
,
,0
,
( )
u x b
x
x
a
(5)
bu yerda
x
va qo‘shimcha ma’lumot sifatida
,0
u x
h x
funksiyasi
ma’lum,
x
esa noma’lum chegaraviy funksiya hisoblanadi. Ushbu masala klassik
Dirixle masalasining teskari shakli bo‘lib, noma’lum chegaraviy shartni aniqlash talab
qilinadi.
1
(
)
( , )
sin
sinh
sinh
,
n
n
n
nx
ny
n b
y
u x y
A
B
a
a
a
(6)
bu yerda
,
n
n
A B
koeffitsientlari chegaraviy shartlar va qo‘shimcha ma’lumotlar
asosida aniqlanadi. Qo‘shimcha ma’lumotlar yordamida noma’lum
x
funksiyasini
aniqlash integral tenglama – Fredgolm integral tenglamasiga olib keladi:
0
,
,0
(
) ( )
( )
,
a
G x
h
d
g x
x
a
(7)
bu yerda
,
G x
- yadro funksiyasi bo‘lib, sinus va giperbolik sinus funksiyalar
yig‘indisidan tashkil topgan.
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-3_June-2025
213
213
1
sin
sin
,
sinh
sinh
(
)
n
nx
n
nb
a
a
G x
nb
a
a
.
(8)
Integral
tenglama
yadro
funksiyasi
,
G x
kvadratda
uzluksiz
va
differensiallanadi, bu esa masalaning shartli turg‘unligini ta’minlaydi.
Bu qator va uning hosilalari tekis yaqinlashadi, shuning uchun
,
(
)
G x
funksiya
kvadratda uzluksiz va differensiallanadi.
Teskari masalalar ko‘plab amaliy sohalarda, jumladan, gravitatsion va magnit
maydonlarni o‘rganishda, shuningdek, foydali qazilma boyliklarini qidirishda
maydonlarni davom ettirish muammolarini hal qilishda muhim ahamiyatga ega.
Ushbu kirish qismida Laplas tenglamasi va unga bog‘liq teskari masalalar
matematik asoslari, chegaraviy shartlar va integral tenglamalar ko‘rinishida keng
yoritildi, bu esa masalaning yechim usullarini va uning amaliy qo‘llanilishini
tushunishga asos yaratadi.
Natija
Laplas tenglamasi uchun teskari masala integral tenglama orqali yechiladi va
noma’lum chegaraviy funksiya aniqlanadi. Masalaning shartli turg‘unligi integral
operatorning spektral xususiyatlariga bog‘liq. Qo‘shimcha ma’lumotlar yordamida
maydonlarni davom ettirish va fizik tizimlarning ichki xususiyatlarini o‘rganish
mumkin. Ushbu yondashuv matematik fizika va geofizik tadqiqotlarda muhim
ahamiyat kasb etadi.
Xulosa
Laplas tenglamasi uchun teskari masala – bu chegaraviy shartlardan noma’lum
chegaraviy funksiyani aniqlash muammosi bo‘lib, u integral tenglamalar va spektral
nazariya usullari yordamida yechiladi. Masalaning shartli turg‘unligi va yechimining
barqarorligi integral operatorning xususiyatlariga bog‘liq. Ushbu masala matematik
fizika, geofizika va boshqa ko‘plab amaliy sohalarda maydonlarni o‘rganish va davom
ettirishda muhim ahamiyatga ega.
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati
1.
Zikirov O. “Matematik fizika tenglamalari”Ziyouz.com, 2020. “Matematik fizika
tenglamalari” Namangan Davlat Universiteti, 2024.
2.
Lavrentyev M.M., Romanov V.G., Yanyushkin S.P. – Obratnye zadachi
matematicheskoy fiziki. M.: Nauka, 1986.
3.
Tikhonov A.N., Arsenin V.Y. – Reshenie nekorrektnykh zadach. M.: Nauka,
1979.
4.
Isakov V. – Inverse Problems for Partial Differential Equations. Springer, 2006.
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-3_June-2025
214
214
5.
J.M. Cannon – The one-dimensional heat equation. Addison-Wesley, 1984.
6.
Aliev N.A. – Teskari masalalar nazariyasiga kirish. Toshkent: Fan, 1998.
7.
Mukhamedov A.K. – Matematik fizika tenglamalari va ularning teskari
masalalari. Farg‘ona: FDU nashriyoti, 2022.
8.
Rasskazov A.V. – Teoreticheskie osnovy metodov resheniya obratnykh zadach.
Novosibirsk, 2001 Ushbu ma’qola Nokorrekt va Teskari masalalar fanidan
mustaqil ta’lim topshirig‘i sifatida bajarildi.
