JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-3_June-2025
203
203
PARABOLIK, GIPERBOLIK VA ELLIPTIK TENGLAMALAR
UCHUN TESKARI MASALA YECHIMINI QURISH
G‘ulomjonova Sakinabonu Rashidjon qizi
Farg‘ona davlat unversiteti 3-kurs talabasi
E-mail: g.sakinabonu@icloud.com
Annotatsiya:
Mazkur maqolada parabolik, giperbolik va elliptik turdagi
differensial tenglamalar uchun teskari masalalar ko‘rib chiqiladi. Teskari
masalalarning nokorrektligi, ularning qo‘llanish sohasi va fizik modellar asosida
yuzaga kelishi muhokama qilinadi. Har bir tenglama turiga tegishli teskari masalalar
uchun yechimni tiklash usullari bayon qilinadi. Tiklash masalalarining nokorrekt
xususiyatlari, shuningdek, ularni yechishdagi asosiy yondashuvlar, xususan,
regulizatsiya usullari yoritiladi.
Kalit so‘zlar:
Teskari masala, nokorrekt masala, parabolik tenglama, giperbolik
tenglama, elliptik tenglama, regulizatsiya, Fredgolm operatori, tiklash masalasi.
Аннотация:
В статье рассматриваются обратные задачи для
дифференциальных
уравнений
параболического,
гиперболического
и
эллиптического типов. Обсуждается некорректность обратных задач, их
применение и возникновение на основе физических моделей. Описываются
методы восстановления решений обратных задач для каждого типа уравнений.
Освещены некорректные (некорректные) свойства задач восстановления, а также
основные подходы к их решению, в частности, методы регуляризации.
Ключевые слова: Обратная задача, некорректная задача, параболическое
уравнение,
гиперболическое
уравнение,
эллиптическое
уравнение,
регуляризация, оператор Фредгольма, задача восстановления.
Ключевые слова:
Исследование процессов, линейное симплекс-метод,
программирование, оптимизация, принятие решений, базис, ограничения,
целевая функция. Программирование, симплекс-метод, оптимизация, принятие
решений, ограничения, целевая функция, базис.
Abstract:
This article considers inverse problems for differential equations of
parabolic, hyperbolic, and elliptic types. The ill-posedness of inverse problems, their
application, and their occurrence on the basis of physical models are discussed.
Methods for recovering solutions for inverse problems of each type of equation are
described. The ill-posed (ill-posed) properties of recovery problems, as well as the
main approaches to solving them, in particular, regularization methods, are covered.
Keywords:
Inverse problem, ill-posed problem, parabolic equation, hyperbolic
equation, elliptic equation, regularization, Fredholm operator, recovery problem
.
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-3_June-2025
204
204
Kirish
Differensial tenglamalar yordamida fizik, texnik va biologik jarayonlarni
modellashtirish keng qo‘llaniladi. Ushbu modellar orqali to‘g‘ri masalalarni yechish
bilan bir qatorda, teskari masalalar - ya’ni ba’zi ma’lumotlar bo‘yicha noma’lum
funksiyalar yoki parametrlarni aniqlash masalalari ham muhim o‘rin tutadi. Teskari
masalalar, odatda, nokorrekt masalalar turiga kiradi, ya’ni ularning yechimi mavjud
bo‘lmasligi, yagona bo‘lmasligi yoki berilgan ma’lumotlarga nisbatan uzluksiz bog‘liq
bo‘lmasligi mumkin. Mazkur maqolada klassik parabolik, giperbolik va elliptik
tenglamalar asosidagi teskari masalalarni ko‘rib chiqamiz va ular uchun yechimni
qurish yondashuvlarini tahlil qilamiz.
Asosiy qism
Teskari masalalar matematik fizika va amaliy analizda keng uchraydigan va
muhim o‘rinni egallaydigan masalalardan hisoblanadi. Ushbu masalalar odatda fizik
jarayonlarning ma’lum natijalari asosida ularning sabablarini aniqlashga qaratilgan
bo‘ladi. Bunday masalalar klassik to‘g‘ri masalalardan farqli ravishda noaniqlik va
noaniq yechimlar bilan bog‘liq bo‘ladi. Shuning uchun ularni yechishda maxsus
yondashuvlar va matematik usullar qo‘llaniladi. Parabolik turdagi differensial
tenglamalar issiqlik tarqalishi, diffuziya jarayonlari kabi fizik holatlarni ifodalaydi.
Parabolik teskari masalalarda ko‘pincha vaqtning oxirgi momentidagi holat ma’lum
bo‘lib, boshlang‘ich shartlarni aniqlash talab etiladi. Bunday masalalar juda sezgir
bo‘lib, ma’lumotlardagi kichik xatoliklar yechimga katta ta’sir ko‘rsatadi. Shuning
uchun ularni yechishda silliqlovchi metodlar, regulizatsiya yondashuvlari va to‘liq
fizik model asosida aniqlikni ta’minlovchi algoritmlar ishlab chiqiladi. Giperbolik
tenglamalar odatda to‘lqin jarayonlarini, masalan, tovush to‘lqinlari, elektromagnit
yoki elastik to‘lqinlarni ifodalaydi. Teskari giperbolik masalalarda boshlang‘ich holat
yoki tashqi kuchlar haqida ma’lumotlar cheklangan bo‘ladi va ularni tiklash zarur. Bu
holat ham sezgirlik jihatidan murakkab bo‘lib, ko‘plab integral usullar, funksional
analiz yondashuvlari va statistik baholash texnikalari qo‘llanadi. Ba’zida
eksperimental ma’lumotlar bilan birgalikda kombinatsiyalangan yondashuvlar ham
foydali bo‘ladi. Elliptik tenglamalar muvozanat holatlarida yuzaga keladi. Ular odatda
statik jarayonlar, masalan, elektr potensiali yoki issiqlik muvozanatini ifodalaydi.
Teskari elliptik masalalarda ichki nuqtalardagi qiymatlarni chegaraviy o‘lchovlar
asosida tiklash talab qilinadi. Bu masalalar ham nokorrekt hisoblanadi va ularni
yechishda ham analitik, ham sonli usullardan foydalaniladi. Xususan, integral
tenglamalar, variatsion printsiplar va numerik optimallashtirish usullari orqali barqaror
yechim olishga harakat qilinadi. Umuman olganda, parabolik, giperbolik va elliptik
tenglamalarning teskari masalalari o‘ziga xos xususiyatlarga ega bo‘lib, ularni umumiy
yondashuvlar bilan emas, balki har bir holatga mos metodlar bilan yechish zarur.
Bunday masalalarning amaliy qiymati juda katta bo‘lib, ular orqali ko‘plab ilmiy,
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-3_June-2025
205
205
texnik va sanoat muammolari hal qilinadi. Shu sababli bu yo‘nalishdagi tadqiqotlar
dolzarbligicha qolmoqda.
Nokorrektlik tushunchasi: J. Adamar tomonidan kiritilgan klassifikatsiyaga ko‘ra,
masala quyidagi uchta shartni bajarmasa, u nokorrekt deb ataladi:
1.Yechim mavjud emas.
2. Yechim yagona emas.
3. Yechim boshlang‘ich ma’lumotlarga uzluksiz bog‘liq emas.
Teskari masalalar, odatda, ushbu uchinchi shart — uzluksiz bog‘liqlik shartini
bajarmaydi, shuning uchun ular uchun regulizatsiya kabi maxsus yondashuvlar zarur.
2. Parabolik tenglamalar uchun teskari masalalar
Parabolik tenglamalar (masalan, issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi):
/
² /
²
u
t
k
u
x
Teskari masala: oxirgi vaqt
T
dagi harorat ma’lum bo‘lib, boshlang‘ich holatni
aniqlash kerak. Bu masala nokorrekt bo‘lib, kichik o‘zgarishlar natijada katta
xatoliklarga olib keladi.
Yechim usullari:
1.Tikhonov regulizatsiyasi
2.Fourier qatorlari orqali tiklash
3.Silliqlovchi operatorlar
3. Giperbolik tenglamalar uchun teskari masalalar
Giperbolik tenglama (to‘lqin tenglamasi):
² /
²
² ² /
²
u
t
c
u
x
Teskari masala: chegaraviy qiymatlar orqali boshlang‘ich holat yoki tezlikni
tiklash. Bu ham nokorrekt masala sanaladi.
Yechim usullari:
1.Volterra integral tenglamasi usuli
2.Yassi to‘lqin yondashuvi
3.Operator yondashuvi (Fredgolm 1- yoki 2-tur)
4. Elliptik tenglamalar uchun teskari masalalar
Elliptik tenglama (Laplas yoki Puasson tenglamalari):
u
f x
Teskari masala: chegarada o‘lchovlar mavjud, lekin ichki funksiya noma’lum.
Yechim usullari: Garmonik davom ettirish usuli, integral operatorlar yondashuvi,
variatsion yondashuvlar dan iborat.
Xulosa
Teskari masalalar, ayniqsa, parabolik, giperbolik va elliptik tenglamalar asosidagi
modellar bilan bog‘liq hollarda, amaliyotda juda katta ahamiyatga ega. Biroq ularning
nokorrektligi ularni yechishda ehtiyotkorlik va matematik ehtimollik talab qiladi.
Regulizatsiya, silliqlovchi yondashuvlar va variatsion metodlar yordamida bu
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
Volume–78_Issue-3_June-2025
206
206
masalalarga yechim topish mumkin. Ushbu maqolada har bir tenglama turiga mos
teskari masalalar va ularni yechish usullari yoritildi. Kelgusida sonli metodlarni ishlab
chiqish bu sohaning muhim yo‘nalishlaridan biri bo‘lib qoladi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. "Solution of Ill-Posed Problems", Winston,
1977.
2. Lavrent'ev M.M., Romanov V.G., Shishatskii S.P. "Ill-posed Problems of
Mathematical Physics and Analysis", AMS, 1986.
3. Isakov V. "Inverse Problems for Partial Differential Equations", Springer,
2006.
4. Kabanikhin S.I. "Definitions and examples of inverse and ill-posed problems",
Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 2011.
5. John F. "Partial Differential Equations", Springer, 1982.
6. Özisik M.N., Orlande H.R.B. "Inverse Heat Transfer: Fundamentals and
Applications", Taylor & Francis, 2000.
