SALMAQ FUNKCIYASI BOLǴAN SINǴAN SIZIQLAR SEMEYSTVASINDAǴÍ INTEGRAL GEOMETRIYA MÁSELESI

“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN

UZBEKISTAN” JURNALI

VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY

ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869

84

SALMAQ FUNKCIYASI

x





BOLǴAN SINǴAN SIZIQLAR

SEMEYSTVASINDAǴÍ INTEGRAL GEOMETRIYA MÁSELESI

1

Maksatov S. M.,

1

Yusupov M. A.,

1

Dilmuratov D. D.,

1

Satniyazova I. Q.

1

Qaraqalpaq mámleketlik universiteti,

Annotaciya:

Bul maqalada salmaq funkciyası

x





bolǵan sınǵan sızıqlar

semeystvasındaǵı integral geometriyaniń máselesi kórip shıǵılǵan bolıp, onıń
sheshiminiń bar bolıwı hám birden-birligi haqqındaǵı teoremalar keltirilgen. Sonıń
menen birge bunday máseleler kompyuter tomografiyasında qollanılıwı haqqında da
aytıp ótilgen.

Tayanısh sózler:

tomografiya, integral teńleme, sınǵan sızıqlar semeystvası,

integral geometriya, salmaq funkciyası.

Salmaq funkciyası

x





bolǵan sınǵan sızıqlar semeystvasında integral

geometriya máseleleri tomografiya tarawında keń qollanıladı. Tomografiya – bul
rentgen nurları yamasa ionlastırıwshı nurlanıwdıń basqa formaları járdeminde
denedegi zatlardı súwretlew usılı.

Tomografiya tiykarǵı element túrli jónelisler boylap nurlanıwdıń jutılıw

yamasa tarqalıw integralların ólshew nátiyjesinde alınǵan maǵlıwmatlardan
obyekttiń ishki strukturaların qayta tiklew bolıp tabıladı. Bul integrallar obyekt
arqalı nurlanıw traektoriyaların anıqlaytuǵın sınǵan sızıqlar integrallar retinde
ańlatılıwı múmkin.

Mısalı, medicinalıq tomografiya insan ishki aǵzaları yamasa basqa zatlardıń

3D súwretlerin jaratıw ushın kompyuter tomografiya (KT) hám magnit – rezonans
tomografiya (MRT) sıyaqlı usıllardan paydalanadı. Eki ólshewli proekciyalar
kompleksinen 3D suwretti qayta tiklew procesi anıq kesellikti anıqlaw hám emlew
ushın zárúrli bolıp tabıladı.

Salmaq funkciyası

x





menen sınǵan sızıqlar semeystvasındaǵı integral

geometriya máseleleri tomografiyada súwretti qayta tiklew máselelerinde payda
boladı. Bunday jaǵdayda, sınǵan sızıqlar semeystvası obyektti skanerlewde rentgen
yamasa basqa túrdegi nurlanıw nurları ótetuǵın jollardı ańlatıwı múmkin. Salmaq

“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN

UZBEKISTAN” JURNALI

VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY

ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869

85

funkciyası

x





obyekt materialınıń tıǵızlıǵı yamasa quramı sıyaqlı fizikalıq

qásiyetleriniń zárúrli táreplerin sáwlelendiriwi múmkin

Máseleniń

qoyılıwı:

Meyli





,

f x y

funkciya

 





,

:

,

[0,

],

H

L

x y

x

y

H H







 

Ў

kesiminde anıqlanǵan bolsın. Onda

tómendegi integral teńleme menen anıqlanǵan





,

u x y

funkciyanı tabıw talap

etiledi:

   

 

 

,

,

,

,

x y

g x

u

ds

f x y



 





U

(1)

bul jerde integrallanıw iymekligi

  







,

,

:

,0

,

x y

y

x

y

H x

 









  

  



Ў

U

Teorema 1.

Meyli





,

f x y

funkciya barlıq

 

,

H

x y

L



ushın anıqlanǵan tórt

mártte uzliksiz differenciyallanıwshı bolıp, salmaq funkciyası

 

,

g x

x





 

kórinisinde berilgen bolsın. Onda (1) másele sheshimin tómendegi inversiya
formulası menen anıqlanadı:

 

 

2

4

4

4

4

2

2

4

2

,

2

,

u x y

f x y

y x

y

x y

x























 



 







(2)

Dálillew.

Bizge



  

 

 

,

,

,

x y

x

u

ds

f x y



 







U

kórinisindegi teńleme berilgen. Bul jerde

h

y



 

belgilewin kiritiw arqalı



 



 

0

2

,

,

,

y

h u x

h

u x

h

d

f x y

























(3)

teńlikke iye bolamız. (3) teńlikke

x

ózgeriwshi boyınsha Furye túrlendiriwin

qollansaq tómendegige iye bolamız:

$









µ





0

2

,

,

y

i h

i h

hu

e

e

d

f

y





 













(4)

bul jerde

µ





 

,

,

2 2

i

f

y

f x y dx









 



─





,

f x y

funkciyasınıń

x

ózgeriwshi

boyınsha Furye túrlendiriwi.

“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN

UZBEKISTAN” JURNALI

VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY

ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869

86

Endi (4) teńlikke

y

ózgeriwshisi boyınsha Laplas túrlendiriwin qollasaq:





$









µ





0

0

0

2 2

,

sin

,

y

px

py

i e

y

u

y

d dy

e

f

y dy



 



 



















 



y

t



 

$





µ





0

0

0

2 2

,

sin

,

y

p

pt

py

i e

u

e

t

td dy

e

f

y dy



 

 

















 



(5)

Endi biz (5) teńlikte





µ





0

,

,

py

p

e

f

y dy

 











dep belgilesek hám

integrallaw tártibin ózgertiw arqalı

%

$



 







2 2

,

,

,

iu

p J

p

p





 





(6)

teńlemege iye bolamız. Bul jerde





0

,

sin

pt

J

p

e

t

tdt













. Bul ańlatpa mánisi:









2

2

2

2

,

p

J

p

p











(7)

Demek, (6) teńleme

%

$













2

2

2

4 2

,

,

ip u

p

p

p

 



 







kóriniske keledi, keyin

p

ózgeriwshi boyınsha keri Laplas,



ózgeriwshi boyınsha

keri Furye túrlendiriwlerin orınlap,

 

 

2

4

4

4

4

2

2

4

2

,

2

,

u x y

f x y

y x

y

x y

x























 



 







.□

Teorema 2.

 

,

f x y

funkciya barlıq

 

,

H

x y

L



anıqlanǵan bolıp tómendegi

shártlerdi qanaatlandırsın:

1)

 

,

f x y

funkciya

x

argumenti boyınsha finitni;

2)

 

,

f x y

ekinshi tártipli úzliksiz dara tuwındılarǵa iye;

3)

 

 

0

,

,

0

y

y H

f x y

f x y

y

y

















.

Onda (2) formula járdeminde anıqlanǵan

x

argumenti boyınsha finitni, eki

márte úzliksiz differenciyallanıwshı funkciyalar klasında (1) másele sheshimge iye.

“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN

UZBEKISTAN” JURNALI

VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY

ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869

87

Dálillew.

Ekinshi teoremadaǵı

 

,

f x y

funkciyaǵa qoyılǵan shártler boyınsha

(2) ge

x

ózgeriwshisi boyınsha Furye túrlendiriwin hám

y

ózgeriwshisine Laplas

túrlendiriwin qollaw múmkin. Demek, Furye hám Laplas túrlendiriwleriniń
qásiyetlerinen paydalanıp, tómendegige iye bolamız:

%

$













2

2

2

4 2

,

,

ip u

p

p

p

 



 







yamasa





%

$









2

2

2

,

,

4 2

u

p

p

ip

p



 





 



.

(7) formulaǵa bola









%

$





,

2 2

,

,

p

iJ

p u

p

 





 

(8)

bunda





0

,

sin

pt

J

p

e

t

tdt













.

(8) ge

p

ózgeriwshisine qarata keri Laplas túrlendiriwin qollaw nátiyjesinde

biz tómendegige iye bolamız:

µ





$









0

,

2

,

y

i h

i h

f

y

hu

e

e

d







 











(9)

Bunda

µ





 

,

,

2 2

i

f

y

f x y dx









 



ekenligin bilgen halda (9) teńlikti

tómendegishe qayta jazamız:

 

$









0

,

2

,

2 2

y

i h

i h

i

f x y dx

hu

e

e

d





 





















(10)

Endi aqırǵı (10) teńliktiń eki tárepine de



ózgeriwshisi boyınsha keri Furye

túrlendiriwin qollawımız nátiyjesinde joqarıdaǵı (2) teńlikti tómendegi kóriniske
alıp kelemiz:

 



 



0

,

2

,

,

y

f x y

h u x

h

u x

h

d

























.□

“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN

UZBEKISTAN” JURNALI

VOLUME 03, ISSUE 07, 2025. JULY

ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869

88

Ádebiyatlar

1. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные

задачи математической физики и анализа. М. : Наука, 1980. 286 с.

2. Deans S. R. The Radon transform and some of its applications. – Courier

Corporation, 2007.

3. A.H.Begmatov, A.O.Pirimbetov, A.K.Seidullaev, “Weakly ill-posed

problems of integral geometry witch perturbation on polygonal lines”,Izv. Saratov
Univ. Math. Mech. Inform.,

15

:1 (2015), 5–12

4. Akb. H. Begmatov, A.O. Pirimbetov, A.K. Seidullaev, “Reconstruction

stability in some problems of X-ray and seismic tomography”, Proceedings of
IFOST-2012. IEEE, Tomsk, Vol.\,II, P. 261-266.

5. Begmatov A. H., Pirimbetov A. O., Seidullaev A. K. Zadachi integral’noi

geometrii v polose na semeistvakh parabolicheskikh krivykh [Problems of integral
geometry in a strip on families of parabolic curves]. Doklady AN VSh RF [Reports
of Russian Higher Education Academy of Sciences], 2012, vol. 2 (19), pp. 6–15 (in
Russian).