GAMILTON SISTEMALARIDA BIRINCHI INTEGRAL

“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN

UZBEKISTAN” JURNALI

VOLUME 03, ISSUE 05, 2025. MAY

ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869

416

GAMILTON SISTEMALARIDA BIRINCHI INTEGRAL

A.Y. Narmanov

1

, N.A.Kurbanbayeva

2

Annotatsiya.

Zamonaviy fizika va matematik analizda muhim o‘rin tutuvchi Gamilton

sistemalari klassik mexanikada harakat qonunlarini aniqlashda keng qo‘llaniladi. Gamilton

yondashuvi Lagranj mexanikasining rivojlangan shakli hisoblanib, u fazoviy o‘zgaruvchilar

(koordinatalar va impulslar) yordamida tizimning vaqt davomida qanday o‘zgarishini aniqlaydi.

Gamilton sistemalarining ahamiyati nafaqat mexanika, balki kvant fizikasi, nazariy astrofizika,

statistik fizika va hatto iqtisodiyotdagi modellarda ham o‘z aksini topgan. Ayniqsa,

integrallanuvchi tizimlar, simmetriya va konservatsiya qonunlarini tahlil qilishda Gamiltonian

formalizm asosiy vosita sifatida xizmat qiladi [1-3].

Аннотация.

Гамильтоновы системы занимают важное место в современной физике

и математическом анализе, широко применяясь для определения законов движения в

классической механике. Гамильтонов подход является усовершенствованной формой

лагранжевой механики и позволяет описывать эволюцию системы во времени с

использованием фазовых переменных (координат и импульсов). Значение гамильтоновых

систем выходит за рамки механики и проявляется также в квантовой физике, теоретической

астрофизике, статистической физике и даже в моделях экономики. Особенно гамильтонов

формализм играет ключевую роль в анализе интегрируемых систем, симметрий и законов

сохранения [1–3].

Abstract.

Hamiltonian systems play a significant role in modern physics and mathematical

analysis, being widely used to describe the laws of motion in classical mechanics. The Hamiltonian

approach is an advanced form of Lagrangian mechanics that determines the system’s evolution

over time using phase variables (coordinates and momenta). The importance of Hamiltonian

systems extends beyond mechanics, finding applications in quantum physics, theoretical

astrophysics, statistical physics, and even economic modeling. Notably, the Hamiltonian

formalism serves as a fundamental tool in the analysis of integrable systems, symmetries, and

conservation laws [1–3].

1

Mirzo Ulug‘bek nomidagi O‘zbekiston Milliy universiteti Matematika fakulteti Geometriya va topologiya kafedrasi f-m.f.d.,

professori.

2

Mirzo Ulug‘bek nomidagi O‘zbekiston Milliy universiteti Matematika fakulteti Geometriya va topologiya kafedrasi magistranti.

“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN

UZBEKISTAN” JURNALI

VOLUME 03, ISSUE 05, 2025. MAY

ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869

417

Kirish.

Bizga biror

M

sohada

H -

haqiqiy qiymatli funksiya berilgan va

x

nuqtani lokal koordinatalari

 





1

2

,

,...,

m

x

x x

x



va

 

1

m

H

i

i

i

V

x

x













vektor maydoni

berilgan bo‘lsin. Bu vektor maydonni ixtiyoriy

F

- silliq funksiyaga ta’sirini

quyidagicha yozish mumkin [6].

𝑉

𝐻

= ∑ 𝜉

𝑖

(𝑥)

𝜕

𝜕𝑥

𝑖

𝑚

𝑖=1

= {𝐹, 𝐻}

bundan

 

  



,

i

H

i

i

x

V

x

x H











 





1

,

,

m

H

i

i

i

F

F H

V

F

x H

x













bo`ladi. Puasson qavsi xossasidan

Hosil bo‘lgan tenglikni (1) tenglikka qo‘yamiz

tenglikdagi {

x

i

,

x

j

}=

J

ij

(

x

) - matritsani hosil qiladi. Bu matritsa ko’rib

turganimizdek bazislardan qurilgan

m

x

m

o`lchamli kososimmetrik matritsa bo‘ladi.

Bu Puasson ko‘pxilligining

strukturali matritsasi

deyiladi [4-5, 7]. Strukturali

matritsa bir qiymatli Puasson strukturasini aniqlaydi.

tenglikni

F

va

H

funksiyalar gradienti orqali tasvirlasak,

{

F

,

H

}=

F

∇

J*

∇

H

ga teng bo‘ladi.

Asosiy qism.

Bizga H funksiyaga mos keluvchi Gamilton sistemasining

ko‘rinishi berilgan bo‘lsin

“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN

UZBEKISTAN” JURNALI

VOLUME 03, ISSUE 05, 2025. MAY

ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869

418

 

 

,

dx

J x

H x t

dt





Ta’rif.1 Berilgan

,

(

)

P x t

funksiya yuqoridagi Gamilton sistemaning birinchi

integrali deyiladi, agar bu sistemasining ixtiyoriy

 

x t

yechimi uchun

 





,

P x t t

const



tenglik o‘rinli bo‘lsa.

Masalan. Yuqorida ko‘rsatilgan

'

'

x

y

y

x

 



 



Sistema uchun

 





2

2

1

,

2

H x y

x

y





funksiya uning birinchi integrali bo‘ladi, chunki bu sistemani

 

 

0

0

0

0

cos

sin

sin

cos

x t

x

t

y

t

y t

x

t

y

t















Yechimini

 

,

H x y

funksiyaga ta’siri o‘zgarmas bo‘ladi ya’ni

   









2

2

0

0

1

,

.

2

H x t

y t

x

y

const







Sistema uchun

 

2

2

,

H x y

x

y





va

 





2

2

1

1

,

2

H

x y

x

y

 



funksiyalar uning

birinchi integrali bo‘ladi.

Teorema Berilgan P(x,t) funksiya vaqtga bog‘liq bo‘lmasa, u yuqoridagi

gamilton sistemaning birinchi integrali bo‘ladi.

Masala. Aytaylik, H(x,t) - Gamilton funksiya vaqtga bog‘liq bo‘lmagan

sistemaning birinchi integrali bo‘lsa, u holda

2

2

,

H

H

t

t









va hokazolar birinchi

integral bo‘lishini ko‘rsating.

“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN

UZBEKISTAN” JURNALI

VOLUME 03, ISSUE 05, 2025. MAY

ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869

419

Yechim.

2

2

H

x

y





funksiya

'

'

x

y

y

x

 



 



Sistema uchun birinchi integral chunki

 

 

0

0

0

0

2

cos

2

sin

2

sin

2

cos

x t

x

t

y

t

y t

x

t

y

t















Yechimi

 

,

H x y

funksiyaga ta’siri o‘zgarmasdir, ya’ni

   









2

2

0

0

,

4

.

H x t

y t

x

y

const







Demak, Sistema uchun

2

2

H

x

y





birinchi integral bo‘ladi

Huddi shunday

 

 

0

0

0

0

'

2

sin

2

cos

'

2

sin

2

cos

x t

x

t

y

t

y t

x

t

y

t

 













Yechimni

 

,

H x y

funksiyaga ta’siri o‘zgarmasdir, ya’ni

   









2

2

0

0

'

, '

4

.

H x t

y t

x

y

const







Shunday qilib

 

,

H x y

Gamiltonian vaqtga bog‘liq bo‘lmasa, u Gamilton

sistemaning ixtiyoriy

2

2

,

H

H

t

t









va hokazolar ham teoremaga ko‘ra birinchi integrali

bo‘ladi.

Xulosa.

Mazkur ishda Gamilton sistemalari va ularga mos birinchi integrallar

tushunchasi matematik nuqtai nazardan tahlil qilindi. Gamilton sistemasi uchun

berilgan funksiyaning birinchi integral bo‘lishi, ya’ni tizimning harakat

trayektoriyasi davomida o‘zgarmas qiymatga ega bo‘lishi shartlari bayon etildi.

Ish davomida vaqtga bog‘liq bo‘lmagan Gamilton funksiyalari asosida

qurilgan sistemalar uchun ularning yuqori tartibli xosilalarining ham birinchi

“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN

UZBEKISTAN” JURNALI

VOLUME 03, ISSUE 05, 2025. MAY

ResearchBib Impact Factor: 9.654/2024 ISSN 2992-8869

420

integrallar bo‘lishi matematik asoslar bilan isbotlandi. Bu esa Gamilton

sistemalarining turg‘unlik, integrallanuvchanlik xossalarini chuqurroq tushunishga

xizmat qiladi.

Olingan natijalar fizik va texnik tizimlarning dinamikasini modellashtirishda,

shuningdek, nazariy fizika, mexanika va differensial tenglamalarni integrallash

sohalarida qo‘llanilishi mumkin. Ayniqsa, Gamilton yondashuvining fazoviy

strukturani saqlab qoluvchi xususiyatlari ularni tahliliy va sonli metodlar yordamida

tadqiq etishda muhim ahamiyat kasb etadi.

Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati.

1.

A.Ya. Narmanov, O.Yu. Qosimov, J. Geom. Symmetry Phys.

55

, 39-49 (2020).

2.

A.Ya. Narmanov, S. Saitova, Differential Equations

53

(2017).

3.

A.V. Bolsinov, A.T. Fomenko, Integrable Hamiltonian systems (Udmurtskiy

universitet, Izhevsk, 1999).

4.

H. Sussman, Transactions of the AMS

180

, 171-188 (1973).

5.

K. Ramazanova, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat.

6,

137-143 (1966).

6.

P. Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations (Springer, New

York, 1993).

7.

S. Kadomcev, VINITI, Problems in geometry

7

, 267-278 (1975).