MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–1_Июнь –2025
411
FUNKSIYA HOSILASI TA’RIFI, UNING GEOMETRIK VA
MEXANIK MA’NOLARI
Ergashev Akmal Panjiyevich – O‘zbekiston Respublikasi Ichki ishlar
vazirligi Qashqadaryo akademik litseyi matematika fani o‘qituvchisi
Annotatsiya:
ushbu
maqolada
akademik
litseylarda
o‘qiydigan
o‘quvchilarga funksiya hosilasi ta’rifi, uning geometrik va mexanik ma’nolari
yordamida hosilanini hisoblashni raqamli texnologiyalar yordamida o‘qitishni joriy
etish orqali ta’lim sifatini oshirish, matematik tasavvur, mantiqiy fikirlash haqida
so‘z yuritilgan.
Kalit so’zlar: Hosila tushunchasiga olib keladigan masalalar, Fuksiya
hosilasi, Hosila ta’rifi, Differensiallash, uning asosiy qoidalari va formulalari,
Hosilaning geometrik va fizik ma’nolari, Hosila hisoblash qoidalari, Ko‘paytmaning
hosilasi. Yig‘indining hosilasi. Bo‘linmaning hosilasi.
1. Hosila tushunchasiga olib keladigan masalalar.
Hosila tushunchasiga olib keladigan masalalar jumlasiga qattiq jismni to‘g‘ri
chiziqli harakatini, yuqoriga vertikal holda otilgan jismning harakatini yoki dvigatel
silindridagi porshen harakatini tekshirish kabi masalalarni kiritish mumkin. Bunday
harakatlarni tekshirganda jismning konkret o‘lchamlarini va shaklini e‘tiborga olmay,
uni harakat qiluvchi moddiy nuqta shaklida tasavvur qilamiz. Biz bitta masalani olib
qaraymiz.
Harakat tezligi masalasi. Aytaylik, M moddiy nuqtaning to‘g‘ri chiziqli
harakat qonuniga ko‘ra uning t=t
0
paytdagi tezligini (oniy tezligini) topish talab
qilinsin. Nuqtaning
vaqtlar orasidagi bosib o‘tgan yo‘li
bo‘ladi. Uning shu vaqtdagi o‘rtacha tezligi
ga teng.
0
0
0
t
t
t
ва
t
0
0
t
f
t
t
f
S
t
t
f
t
t
f
t
S
0
0
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–1_Июнь –2025
412
Ma‘lumki,
qanchalik kichik bo‘lsa,
o'rtacha
tezlik nuqtaning t
0
paytdagi tezligiga shunchalik yaqin bo‘ladi. Shuning uchun
nuqtaning t
0
paytdagi tezligi quyidagi limitdan iborat.
2. Fuksiya hosilasi.
Hosila ta’rifi.
Faraz qilaylik biz
chiziqning
nuqtasidagi urinmasini
topmoqchimiz.
-
nuqtada chiziqqa o’tkazilgan urinmaning burchak
koeffisienti bo’lsin. nuqtaga o’tkazilgan urinmaning ikkinchi
nuqtasini olaylik.
Hamda
vatarning gradientini
deb qaraylik. Yetalicha kichik uchun
Agar biz
nuqtani
ga yaqinlashtirsak
,
,
… nuqtalar ketma-ketligi
hosil bo’ladi. Bu nuqtalarga mos
,
,
…vatarlarni chiziqning
nuqtasidagi urinmasiga qadar yaqinlashtiraylik.
(*)
1
(*) tenglikka funksiyaning nuqtadagi hosilasi deyiladi.
Namunaviy misollar.
1.
funksiya limitini hisoblang.
Yechish.
Agar
bo’lsa u holda
bo’ladi. Bundan
Misollar:
t
t
S
lim
0
0
t
S
t
V
t
( )
y
f x
( , ( ))
A x f x
T
m
A
A
(
, (
))
B x
h f x
h
AB
AB
m
h
(
)
( )
B
A
AB
B
A
y
y
f x
h
f x
m
x
x
h
B
A
1
B
2
B
3
B
1
AB
2
AB
3
AB
A
0
(
)
( )
( )
lim
lim
n
n
AB
B
A
h
f x
h
f x
f x
m
h
x
2
( )
f x
x
2
( )
f x
x
2
(
)
(
)
f x
h
x
h
2
2
0
0
2
2
2
0
0
(
)
( )
(
)
( )
lim
lim
2
(2
)
lim
lim
2
h
h
h
h
f x
h
f x
x
h
x
f x
h
h
x
xh
h
x
h
x
h
x
h
h
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–1_Июнь –2025
413
Quyidagi funksiyalarning hosilalarini (*) formulasidan foydalanib toping.
1.
2.
3.
y=f(x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan bo‘lsin (a,b) intervalga tegishli x
0
va x
0
+
nuqtalarni olamiz.
Argument biror (musbat yoki manfiy - bari bir)
orttirmasini olsin, u
vaqtda y funksiya biror
orttirmani oladi. Shunday qilib argumentning x
0
qiymatida y
0
=f(x
0
) ga, argumentning x
0
+
qiymatda
ga ega
bo‘lamiz. Funksiya orttirmasi
ni topamiz.
Funksiya orttirmasini argument orttirmasiga nisbatini tuzamiz.
Bu – nisbatning
0
dagi limitini topamiz.
Agar bu limit mavjud bo‘lsa, u berilgan f(x) funksiyaning x
0
nuqtadagi
hosilasi deyiladi va
bilan belgilanadi. Shunday qilib, ta'rifga ko‘ra
yoki
Demak, berilgan y=f(x) funksiyaning argument x bo‘yicha hosilasi deb,
argument orttirmasi
ixtiyoriy ravishda nolga intilganda funksiya orttirmasi
ning argument orttirmasi
ga nisbatining limitiga aytiladi.
Umumiy holda x ning har bir qiymati uchun
hosila ma'lum qiymatga
ega, ya’ni hosila ham x ning funksiyasi bo‘lishini qayd qilamiz. Hosilada
belgi
bilan birga boshqacha belgilar ham ishlatiladi.
2
Hosilaning x=a dagi konkret qiymati
yoki
bilan belgilanadi.
2
( )
f x
x
2
( )
3
f x
x
( )
f x
x
х
х
у
х
x
x
f
у
у
0
0
y
0
0
14.1
y
f x
x
f x
0
0
14.2
f x
x
f x
y
x
x
х
0
x
f
x
y
x
f
x
0
0
lim
0
0
0
0
lim
14.3
x
f x
x
f x
f
x
x
х
y
х
x
f
x
f
dx
dy
y
y
x
,
;
а
f
a
x
y
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–1_Июнь –2025
414
Funksiya hosilasini hosila ta'rifiga ko‘ra hisoblashni ko`ramiz.
3. Differensiallash, uning asosiy qoidalari va formulalari.
Berilgan f(x) funksiyadan hosila topish amali shu funksiyani
differensiallash deyiladi.
Differensiallashning asosiy qoidalari.
1. O‘zgarmas miqdorning hosilasi nolga teng, ya‘ni agar y=c bo‘lsa (c=const)
y'=0 bo‘ladi.
2. O‘zgarmas ko‘paytuvchini hosila ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin:
y=cu(x) bo‘lsa y'=cu'(x) bo‘ladi.
3. Chekli sondagi differensiallanuvchi funksiyalar yig‘indisining hosilasi shu
funksiyalar hosilalarining yig‘indisiga teng:
4. Ikkita differensiallanuvchi funksiyalar ko‘paytmasining hosilasi birinchi
funksiya hosilasining ikkinchi funksiya bilan ko‘paytmasi hamda birinchi
funksiyaning ikkinchi funksiya hosilasi bilan ko‘paytmasining yig‘indisiga teng:
y=u bo‘lsa
.
5. Ikkita differensiallanuvchi funksiyalar bo‘linmasining hosilasi (kasrda
ifodalanib) bo‘linuvchi funksiya hosilasini bo‘luvchi funksiya bilan ko‘paytmasi
hamda bo‘linuvchi funksiyani bo‘luvchi funksiya hosilasi bilan ko‘paytmasining
ayirmasini bo‘luvchi(maxrajdagi) funksiya kvadratining nisbatiga teng:
3
bo‘lsa
6. Aytaylik, y=F(u) murakkab funksiya bo‘lsin ya’ni y=F(u),
yoki
u - o‘zgaruvchi, oraliq argumenti deyiladi. y=F(u) va
differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsin.
Murakkab funksiyaning differensiallash qoidasini keltirib chiqaramiz.
x
W
x
V
x
U
y
x
W
x
V
x
U
y
'
;
'
u
u
y
u
y
2
'
u
u
y
x
u
,
x
F
y
x
u
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–1_Июнь –2025
415
Teorema: Murakkab F(u) funksiyaning erkli o‘zgaruvchi x bo‘yicha hosilasi
bu funksiya oraliq argumenti bo‘yicha hosilasini oraliq argumentining erkli
o‘zgaruvchi x bo‘yicha hosilasining ko‘paytmasiga teng, ya’ni
Misol:
funksiyaning hosilasini toping.
Yechish: berilgan funksiyani murakkab funksiya deb qaraymiz ya’ni
(1) formulaga asosan
; Differensiallashning asosiy formulalari jadvali:
1) y=const ;
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Misollar.
1)
funksiyaning hosilasini toping.
Yechish:
Bu
yerda
va
U
holda
2)
3)
4)
– ?
1
........
x
u
u
F
y
x
u
x
5
2
4
5
2
3
4
x
x
x
y
2
3
4
;
2
4
5
5
x
x
x
u
u
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
u
y
y
x
u
x
6
16
5
2
3
4
5
)
2
3
4
(
3
4
4
2
4
5
5
2
4
5
0
y
1
;
x
y
x
y
x
y
x
y
2
1
;
2
1
;
1
x
y
x
y
a
a
y
a
y
x
x
ln
;
x
x
e
y
e
y
;
e
x
y
x
y
a
a
log
1
;
log
x
y
x
y
1
;
ln
x
y
x
y
cos
;
sin
x
y
x
y
sin
;
cos
x
y
tgx
y
2
cos
1
;
x
y
ctgx
y
2
sin
1
;
4
3
)
7
4
(
)
(
x
x
x
f
4
)
(
u
u
y
7
4
)
(
3
x
x
x
u
)
4
3
(
)
7
4
(
4
)
4
3
(
4
)
7
4
(
)
(
)
(
2
3
3
2
3
'
3
'
4
x
x
x
x
u
x
x
u
x
f
1
2
)
(
)
(
)
(
'
'
2
'
2
x
x
x
x
x
)
cos
(sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
)
(
2
)
(sin
2
sin
)
2
(
)
sin
2
(
'
'
'
'
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
3
sin
'
y
x
x
y
3
cos
3
)
3
(sin
'
'
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–1_Июнь –2025
416
1.
Hosilaning geometrik va mexanik ma‘nosi.
Bizga berilgan u=f(x) funksiya x nuqta va uning atrofida aniqlangan
bo’lsin. Argument x ning biror qiymatida u=f(x) funksiya aniq qiymatga ega bo’ladi,
biz uni M
0
(x, u) deb belgilaylik. Argumentga
x orttirma beramiz va natija
funksiyaning u+
u=f(x+
x) orttirilgan qiymati to’g’ri keladi. Bu nuqtani M
1
(x+
x,
u+
u) deb belgilaymiz va M
0
kesuvchi o’tkazib uning OX o’qining musbat yo’nalishi
bilan tashkil etgan burchagini
bilan belgilaymiz.
Endi
nisbatni qaraymiz. Rasmdan ko’rinadiki,
ga
teng.
Agar
x
0 ga, u holda M
1
nuqta egri chiziq bo’yicha harakatlanib, M
0
nuqtaga yaqinlasha boradi. M
0
M
1
kesuvchi ham
x
0 da o’z holatini o’zgartira
boradi, xususan
burchak ham o’zgaradi va natijada
burchak
burchakka intiladi.
M
0
M
1
kesuvchi esa M
0
nuqtadan o’tuvchi urinma holatiga intiladi. Urinmaning
burchak koeffitsienti quyidagicha topiladi
Demak,
, ya’ni, argument x ning berilgan qiymatida
hosilaning qiymati f(x) funksiyaning grafigiga uning M
0
(x, u) nuqtasidagi
urinmaning OX o’qining musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchak tangensiga
teng.
1.
Geometrik ma’nosi.
Faraz qilaylik bizga
funksiya grafiga va unga tegishli bo’lgan
nuqta berilgan bo’lsin.
-
funksiyaning grafigiga
nuqtada o’tkazilgan
urinmaning burchak koeffisientiga teng. Bundan foydalanib biz urinma tenglamasini
keltirib chiqaramiz. Faraz qilaylik urinma tenglamasi
ko’rinishida
bo’lsin.
Bu
yerda
nuqta bu to’g’ri chiziqqa tegishli ekanidan
y
x
tg
x
y
x
f
x
y
tg
tg
x
x
0
0
lim
lim
tg
x
f
x
f
( )
y
f x
0
0
0
(
, (
))
P x
f x
0
(
)
f x
f
0
0
0
(
, (
))
P x
f x
y
kx
l
0
( )
k
f x
0
0
0
(
, (
))
P x
f x
0
0
0
(
)
(
)
f x
f x x
l
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–1_Июнь –2025
417
Bundan
,
2.
Fizik ma’nosi
(**)
(**) formula ,
qonun bo’yicha harakatlanayotgan
jismning
vaqtdagi oniy tezligini ifodalaydi.
3.
Hosilaning geometrik va fizik ma’nolari.
Hosilaning fizik ma’nosi.
Hosila tushunchasiga olib keladigan ikkinchi
masalada harakat qonuni
s=s(t)
funksiya bilan tavsiflanadigan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab
harakatlanayotgan moddiy nuqtaning
t
vaqt momentidagi oniy tezligi
v
oniy
=
ekanligini ko‘rgan edik. Bundan hosilaning fizik (mexanik) ma’nosi kelib chiqadi.
s=s(t)
funksiya bilan tavsiflanadigan to‘g‘ri chiziqli harakatda
t
vaqt
momentidagi harakat tezligining son qiymati hosilaga teng:
v
oniy
=s’(t).
Hosilaning mexanik ma’nosini qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:
yo‘ldan vaqt bo‘yicha olingan hosila tezlikka teng.
Hosila tushunchasi nafaqat to‘g‘ri chiziqli harakatning oniy tezligini, balki
boshqa jarayonlarning ham oniy tezligini aniqlashga imkon beradi. Masalan, faraz
qilaylik
y=Q(T)
jismni
T
tempyeraturaga qadar qizdirish uchun uzatilayotgan issiqlik
miqdorining o‘zgarishini tavsiflovchi funksiya bo‘lsin. U holda jismning issiqlik
sig‘imi issiqlik miqdoridan tempyeratura bo‘yicha olingan hosilaga teng bo‘ladi:
C=
.
Umuman olganda, hosilani
f(x)
funksiya bilan tavsiflanadigan jarayon oniy
tezligining
matematik modeli
deb aytish mumkin.
4.
Hosila hisoblash qoidalari
Quyida keltirilgan teoremalar isbotida hosila topish algoritmidan, limitga ega
bo‘lgan funksiyalar ustida arifmetik amallar haqidagi teoremalardan foydalanamiz.
0
0
0
(
)
(
)
l
f x
f x x
0
0
0
( )
(
)
(
)(
)
y
t x
f x
f x
x
x
x
R
0
0
0
( )
( )
lim
t
s
v t
s t
t
( )
s
s t
M
0
t
t
s
lim
t
0
T
Q
lim
dT
dQ
T
0
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–1_Июнь –2025
418
Shuningdek
u=u(x+
x)-u(x)
va
v=v(x+
x)-v(x)
ekanligini hisobga olgan holda,
u(x+
x)=u(x)+
u
,
v(x+
x)=v(x)+
v
tengliklardan foydalanamiz.
u(x)
va
v(x)
funksiyalar (
a,b
) intervalda aniqlangan bo‘lsin.
Yig‘indining hosilasi.
1-teorema
. Agar
u(x)
va
v(x)
funksiyalarning
x
(a,b)
nuqtada hosilalari
mavjud bo‘lsa,
u
holda
f(x)=u(x)+v(x)
funksiyaning ham
x
nuqtada hosilasi mavjud
va
f’(x)=u’(x)+v’(x)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Ko‘paytmaning hosilasi.
2-teorema
. Agar
u(x)
va
v(x)
funksiyalar
x
(a,b)
nuqtada hosilaga ega bo‘lsa,
u holda ularning
f(x)=u(x)
v(x)
ko‘paytmasi ham
x
(a,b)
nuqtada hosilaga ega va
f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Bo‘linmaning hosilasi.
3-teorema
. Agar
u(x)
va
v(x)
funksiyalar
x
(a,b)
nuqtada hosilaga ega,
v(x)
0
bo‘lsa, u holda ularning
f(x)=u(x)/v(x)
bo‘linmasi
x
(a,b)
nuqtada hosilaga
ega va
f’(x)=
formula o‘rinli bo‘ladi.
Shunday qilib biz ushbu paragrafda hosilani hisoblashning quyidagi
qoidalarini keltirib chiqardik:
1.
Ikkita, umuman chekli sondagi funksiyalar yig‘indisining hosilasi
hosilalar yig‘indisiga teng.
2.
O‘zgarmas ko‘paytuvchini hosila belgisi oldiga chiqarish mumkin.
3.
Ikkita
u(x)
va
v(x)
funksiyalar ko‘paytmasining hosilasi
u’v+uv’
ga teng.
4.
Ikkita
u(x)
va
v(x)
funksiyalar bo‘linmasining hosilasi
(u’v-uv’)/v
2
ga
teng.
)
x
(
v
)
x
(
'
v
)
x
(
u
)
x
(
v
)
x
(
'
u
2
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–1_Июнь –2025
419
1- va 2-teorema natijalaridan foydalangan holda quyidagi qoidaning ham
o‘rinli ekanligini ko‘rish qiyin emas:
5.
Chekli
sondagi
differensiallanuvchi
funksiyalar
chiziqli
kombinatsiyasining hosilasi hosilalarning aynan shunday chiziqli kombinatsiyasiga
teng, ya’ni agar
f(x)=c
1
u
1
(x)+ c
2
u
2
(x)+...+ c
n
u
n
(x)
bo‘lsa, u holda
f’(x)=c
1
u’
1
(x)+
c
2
u’
2
(x)+...+ c
n
u’
n
(x
).
Bu qoidaning isbotini o‘quvchilarga havola qilamiz.
Eslatma. Yuqoridagi teoremalar funksiyalar yig‘indisi, ko‘paytmasi,
bo‘linmasining hosilaga ega bo‘lishining yetarli shartlarini ifodalaydi. Demak, ikki
funksiya yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi va nisbatidan iborat bo‘lgan funksiyaning
hosilaga ega bo‘lishidan bu funksiyalarning har biri hosilaga ega bo‘lishi har doim
kelib chiqavyermaydi. Masalan,
u(x)=|x
|,
v(x)=|x|
deb, ularning ko‘paytmasini
tuzsak,
y=x
2
ko‘rinishdagi funksiya hosil bo‘ladi. Bu funksiyaning
x
(-
;+
)
nuqtada, xususan,
x
=0 nuqtada hosilasi mavjud. Ammo, ma’lumki
y=|x
| funksiyaning
x=
0 nuqtada hosilasi mavjud emas.
ADABIYOTLAR:
1
. Ш.A. Алимов и др.
Алгебра и начала математического анализа, учебник для
10–11 класса. Учебник для базового и профильного образования, Москва,
“Просвещение”, 2016.
2.
А.Н. Колмогоров и др.
Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 10–11
классов. Москва, “Просвещение”, 2018.
3. Алгебра. Учебное пособие для 9–10 классов. Под ред. Н.Я. Виленкина.
Москва, “Просвещение”, 2004.
4.
Adilbek Zaitov, Baxtiyor Abdiyev, Kalmurza Sagidullayev
10-sinf uchun darslik
“Algebra va analiz asosolari”, O'z. Res. XTV yangi nashri Toshkent, 2022.
5.
M.A. Mirzaahmedov, Sh.N. Ismoilov.
10-sinf uchun “Algebra va analiz
asosolari”dan testlar, G‘.G‘ulom NMIU, Toshkent, 2005.
6. T.A. Azlarov, X. Mansurov
. Matematik analiz asoslari. 3-nashr, “Universitet”,
Toshkent, 2005.
7. M.A. Mirzaahmedov, Sh.N. Ismoilov, A.Q.Amanov
11-sinf uchun
“Algebra va analiz asosolari”dan sinif darsligi , Toshkent, 2018.
