MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
334
BIR JINSLI TOR TEBRANISHI TENGLAMASI UCHUN KOSHI
MASALASINING YECHIMI. CHEKSIZ TOR UCHUN D’ALEMBER
FORMULASI
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ УЗКИХ
КОЛЕБАНИЙ ОДНОГО ПОЛА. ФОРМУЛА Д'АЛАМБЕРА ДЛЯ
БЕСКОНЕЧНОГО ТОРА
THE SOLUTION TO THE CAUCHY PROBLEM FOR THE SAME-
SEX NARROW OSCILLATION EQUATION. D'ALEMBER'S FORMULA
FOR INFINITE TOR
Azimjonova Mohinur Asiljon qizi
Farg’ona Davlat Universiteti 3-kurs talabasi
Gmail:
Yo’ldashev Nodirbek G’ayratjon o’g’li
Farg’ona Davlat Universiteti 3-kurs talabasi
Gmail:nodirbekyoldoshev19@gmail.com
Annotatsiya: Ushbu maqolada cheksiz uzunlikdagi bir jinsli torning
tebranishi bilan bog‘liq Koshi masalasi ko‘rib chiqiladi. Masala D’Alember usuli
yordamida yechilib, boshlang‘ich shartlarga asoslangan umumiy yechim topiladi.
Yechimning fizik ma’nosi tushuntirilib, o‘ng va chap tomonga harakatlanuvchi
to‘lqinlar sifatida talqin qilinadi. Misollar yordamida yechimlar amalda qanday
ko‘rinishda bo‘lishi ham ko‘rsatib berilgan.
Kalit so‘zlar:Koshi masalasi, to‘lqin tenglamasi, D’Alember formulasi,
cheksiz tor, boshlang‘ich shartlar, tebranish, matematik modellashtirish, to‘lqinlar,
analitik yechim.
Аннотация: В этой статье рассматривается проблема Коши,
связанная с колебанием однородной струны бесконечной длины. Задача
решается методом Д'Аламбера, и на основе начальных условий получается
общее решение. Объясняется физический смысл решения и интерпретируется
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
335
как волны, движущиеся вправо и влево. На примерах также показано, как
решения могут выглядеть на практике.
Ключевые слова: задача Коши, волновое уравнение, формула
Д'Аламбера, бесконечно узкий, начальные условия, колебание, математическое
моделирование, волны, аналитическое решение.
Annotation: This article deals with the question of Coshi in relation to the
oscillation of a monogamous string of infinite length. The problem is solved using the
D'alember method to find a general solution based on the initial conditions. The
physical meaning of the solution is explained and interpreted as waves moving to the
right and left. Examples also show how solutions look in practice.
Keywords: Cauchy question, wave equation, d'alember formula, infinitesimal
narrow, initial conditions, vibration, mathematical modeling, waves, analytical
solution.
Kirish(Введение.Introduction)
Bir jinsli tor tebranishlarini o‘rganish
mexanika va matematik fizika sohalarida muhim o‘rin tutadi. Ayniqsa, ikki uchi
mahkamlangan yoki bir uchi mahkamlangan tor tebranishi haqidagi masalani
yechishdan oldin osonroq bo‘lgan masalani, ya’ni cheksiz tor tebranishi haqidagi
masalani ko‘raylik. Quyidagi
2
2
2
2
2
u
u
a
t
x
(1)
bir jinsli tor tebranish tenglamasining
x
F
t
u
x
f
t
,
x
u
0
t
0
t
(2)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish kerak. Bundagi
f(x), F(x)lar (−∞,∞) oraliqda berilgan funksiyalardir. Noma’lum u(x,t) funksiyaga
hech qanday chegaraviy shart qo‘yilmagan. (1) tenglamaning (2) boshlang‘ich
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi
Koshi masalasi
deyiladi. Bu
masalani yechish usuli
D’Alember usuli
deyiladi. (1) ning umumiy yechimi
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
336
at
x
at
x
t
,
x
u
(3)
bo‘lishligini ko‘rsatamiz. Bunda φ,ψ funksiyalar ikki marta differensiallanuvchi
funksiyalardir.
Haqiqatan ham
xx
2
tt
xx
2
2
2
2
tt
2
2
tt
t
xx
x
u
a
u
u
a
a
a
a
u
at
x
a
at
x
a
u
,
at
x
a
at
x
a
u
at
x
at
x
u
,
at
x
at
x
u
Tenglik
o‘rinli
bo‘ladi.
Demak, (3) (1) ning umumiy yechimi bo‘ladi.
Endi (2) boshlang‘ich shartlardan foydalanib, noma’lum φ,ψ funksiyalarni
topamiz. (2), (3) dan:
t=o
bo‘lganda
(x)+
(x)=f(x)
(4)
xosil bo’ladi
at
x
a
at
x
a
u
t
(5)
(5) ni 0 dan x gacha integrallasak,
x
x
x
x
0
dx
)
x
(
F
0
x
a
0
x
a
0
dx
)
x
(
F
dx
x
0
a
dx
x
0
a
c
0
dx
)
x
(
F
a
1
x
x
x
0
0
c
(6)
(4) va (6) dan:
x
x
x
0
dx
)
x
(
F
a
2
1
x
f
2
1
x
0
dx
)
x
(
F
a
2
1
x
f
2
1
x
0
dx
)
x
(
F
a
1
x
x
x
f
x
x
(7)
(7) dagi o‘rniga x−at va x+at qo‘ysak,
at
x
at
x
0
dx
)
x
(
F
a
2
1
at
x
f
2
1
at
x
0
dx
)
x
(
F
a
2
1
at
x
f
2
1
at
x
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
337
(3) ga asoslan
at
x
at
x
0
dx
)
x
(
F
a
2
1
at
x
f
2
1
0
dx
)
x
(
F
a
2
1
at
x
f
2
1
t
,
x
u
Ma’lumki,
at
x
at
x
0
at
x
at
x
at
x
dx
)
x
(
F
0
dx
)
x
(
F
at
x
dx
)
x
(
F
0
dx
)
x
(
F
0
dx
)
x
(
F
u
holda
.
at
x
dx
)
x
(
F
a
2
1
2
at
x
f
at
x
f
t
,
x
u
at
x
(8)
(8) formula — tor tebranishi tenglamasi uchun Koshi masalasining
D’Alember yechimi deyiladi.
Misollar: 1)
xx
tt
u
u
tenglamaning
0
u
,
x
u
0
t
t
2
0
t
boshlang‘ich shartlarini qanoatlantiruvchi yechimini
toping.
2
2
2
2
2
2
2
t
x
t
,
x
u
,
t
x
2
t
x
t
x
t
,
x
u
.
0
)
x
(
F
,
x
x
f
,
1
a
2)
xx
tt
u
9
u
x
0
t
t
0
t
e
u
,
0
u
t
3
t
3
x
t
3
x
t
3
x
x
t
3
x
t
3
x
x
x
2
e
e
6
e
e
6
1
dz
e
6
1
t
,
x
u
e
)
x
(
F
,
x
x
f
,
3
a
Xulosa
Ushbu maqolada bir jinsli cheksiz tor tebranish tenglamasi uchun Koshi
masalasining D’Alember usuli yordamida yechimi ko‘rib chiqildi. Boshlang‘ich
shartlarga asoslangan umumiy analitik yechim topildi va uning fizik ma’nosi
tushuntirildi. Bu yechim torning tebranishlarini tahlil qilishda asosiy vosita bo‘lib,
keyingi murakkab chegaraviy shartlar bilan ishlash uchun mustahkam nazariy
poydevor yaratadi.
Ush bu maqola mustaqil ta’lim topshirig‘i asosida bajarish davomida
tayyorlandi.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-27
Часть–4_Июнь –2025
338
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
Н.С.Пискунов Дифференциал ва интеграл ҳисоб. II том. Ўқитувчи, 1974 й.
[400-401 бетлар].
2.
Т.Н.Нуримов. Математик физика методлари. Ўқитувчи, 1988 й. [86-98
бетлар].
3.
И.Г.Араманович и В.И.Левин. Уравнения математической физики. Наука,
Москва 1969 г. [33-46 бетлар].
4.
