MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-29
Часть–1_Июль –2025
219
KVADRATIK FORMALARNI KANONIK KO‘RINISHGA KELTIRISH VA
ULARNING TA’LIMDAGI O‘RNI
Qurbonqulova Saodat Burxon qizi
saodatqurbonqulova691@gmail.com
Chirchiq davlat pedagogika universiteti 3-bosqich talabasi
Annotatsiya: Ushbu maqolada kvadratik formalarni kanonik ko‘rinishga
keltirishning matematik usullari, xususan, to‘la kvadratga ajratish va xos son-xos
vektorlar usullari tahlil qilinadi. Kvadratik formalarning ta’lim jarayonidagi
ahamiyati, ularni vizualizatsiya qilishda GeoGebra kabi dasturlardan foydalanish
imkoniyatlari muhokama qilinadi. Maqola yangi misollar va matematik formulalar
asosida kvadratik formalarni o‘rganishning amaliy va nazariy jihatlarini yoritadi.
Shuningdek, kvadratik formalarni iqtisodiyot va muhandislikda qo'llanilishi haqida
qisqacha ma’lumot beriladi.
Kalit so‘zlar: kvadratik formalar, kanonik ko‘rinish, chiziqli almashtirish,
xos sonlar, xos vektorlar, to‘la kvadratga ajratish, ortogonal almashtirish,
GeoGebra, matematik ta’lim.
Kirish.
Kvadratik formalarni o‘rganish chiziqli algebra va matematik
analizning muhim bo‘limlaridan biridir. Ular iqtisodiyotda optimallashtirish,
fizikada energiya funksiyalarini modellashtirish va muhandislikda tizimlar
barqarorligini tahlil qilishda keng qo‘llaniladi. Ushbu maqolada kvadratik
formalarni kanonik ko‘rinishga keltirishning ikki asosiy usuli — to‘la kvadratga
ajratish va xos son-xos vektorlar usuli — yangi misollar orqali tahlil qilinadi.
Shuningdek, GeoGebra dasturidan foydalanish orqali ushbu jarayonlarni talabalarga
tushunarli qilish imkoniyatlari ko‘rib chiqiladi.
Kvadratik forma deb,
n
ta o‘zgaruvchining kvadratlari va ularning
ko‘paytmalaridan tashkil topgan funksiyaga aytiladi:
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-29
Часть–1_Июль –2025
220
(
)
T
f X
X AX
,
1
1
( )
n
n
ij
i
j
i
j
f X
a x x
bu yerda
(
)
ij
A
a
-simmetrik matritsa,
1
2
( ,
,........ )
T
n
X
x x
x
- o‘zgaruvchilar
vektori. Kanonik ko'rinishda kvadratik forma faqat kvadrat hadlardan iborat bo‘ladi.
2
2
2
1
2
1 1
2
2
( ,
...... )
.....
n
n
n
f y y
y
b y
b y
b y
Endilikda yangi misollar asosida kvadratik formalarni kanonik ko‘rinishga
keltirishning to‘la kvadratga ajratish va xos xon-xos vektor usullarini va ularning
ta’limdagi o‘rnini muhokama qilinadi.
1. To‘la kvadratga ajratish usuli
To‘la kvadratga ajratish usuli kvadratik formalarni kanonik ko‘rinishga
keltirishning sodda usullaridan biridir. Bu usulda kvadratik forma kvadrat hadlar
shaklida qayta yoziladi va yangi o‘zgaruvchilar kiritiladi. Buning uchun avvalo
kvadratik formani o‘zgaruvchilarga qarab guruhlanadi va har bir o‘zgaruvchiga
bog‘liq hadlarni to‘la kvadrat shaklida yoziladi.Yangi o‘zgaruvchilarni kiritish
orqali aralash hadlarni yo‘qotiladi va kanonik ko‘rinishni aniqlanadi.
Misol.
Quyidagi kvadratik formani kanonik shaklga keltiring.
2
2
1
2
1
1 2
2
( ,
)
4
4
2
f x x
x
x x
x
Buning uchun avvalo
1
x
ga bog‘liq hadlarni guruhlaymiz.
2
2
2
2
1
2
1
1 2
2
1
2
2
1
( ,
)
4(
)
2
4(
)
2
f x x
x
x x
x
x
x
x
1
1
2
1
2
y
x
x
,
2
2
y
x
2
2
1
2
1
2
,
4
f y y
y
y
Ushbu usul 2 yoki 3 o‘zgaruvchili kvadratik formalarni kanonik shaklga
keltirishda hisoblash uchun maxsus bilim talab qilmasligi va kichik masalalarda tez
yechim berishiga qaramasdan bir qator kamchiliklarga ham ega.Bu usul 4 toki undan
ortiq ko‘p o‘zgaruvchili formalarda murakkablashadi va almashtirishlar doim ham
ortogonal bo‘lmaydi.
Kvadratik formalarning ta’limdagi o‘rni.
Kvadratik formalarni o‘rganish
nafaqat nazariy matematikada, balki amaliy sohalarda ham muhim ahamiyatga ega.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-29
Часть–1_Июль –2025
221
Masalan, talabalar kvadratik formalar orqali ellips, giperbola kabi egri chiziqlarning
shakllarini tahlil qiladilar. Bu geometrik tushunchalar GeoGebra kabi dasturlar
orqali interaktiv vizual tarzda ko‘rsatilganda o‘quvchilarda mavzuga bo‘lgan
qiziqish oshadi.
GeoGebra dasturidan foydalangan holda kvadratik forma grafigi
quyidagicha qurilishi mumkin:
Matritsa va uning xos sonlari orqali asosiy yo‘nalishlar aniqlanadi;
Ularning asosida ellips yoki paraboloidning orientatsiyasi belgilanadi;
O‘zgaruvchi almashtirishlar orqali talaba kvadratik formaning
shakllanishini dinamik kuzatadi.
Bu yondashuv kvadratik formalarni nafaqat algebraik, balki vizual jihatdan
ham chuqur tushunishga yordam beradi.
Xulosa.Kvadratik formalarni kanonik ko‘rinishga keltirish matematikada
muhim o‘rin tutadi. To‘la kvadratga ajratish usuli oddiy masalalarda tezkor va qulay
bo‘lsa, xos son–xos vektorlar usuli murakkab va umumiy holatlar uchun
qo‘llaniladi. Ta’limdabu mavzuni tushuntirishda grafik dasturlardan foydalanish
samaradorlikni oshiradi. Natijada, talabalar nafaqat nazariy bilimlarni egallaydi,
balki amaliy yechim topish malakasini ham rivojlantiradi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1.
Shoimqulov B.A., Tuychiyev T.T., Djumaboyev D.H. Matematik analiz. I
qism. – Toshkent: “O‘zbekiston”, 2018.
2.
Abdullayev A.A., G‘ulomov A.G‘. Chiziqli algebra va analitik geometriya. –
Toshkent: “O‘qituvchi”, 2021.
3.
Karimov I.I. Yuqori matematika. I qism. – Toshkent: “Fan va texnologiya”,
2017.
4.
Golub G., Van Loan C. Matrix Computations
.
– Baltimore: The Johns
Hopkins University Press, 2013.
5.
Axmedov A.A. Chiziqli algebra asoslari. – Samarqand: Samarqand davlat
universiteti nashriyoti, 2019.
6.
Tursunov I.A. Matematikadan masalalar to‘plami. – Toshkent: “Sharq”, 2020.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-29
Часть–1_Июль –2025
222
7.
Anton H., Rorres C. Elementary Linear Algebra with Applications. – Wiley,
2010.
8.
GeoGebra – Dynamic Mathematics for Everyone. https://www.geogebra.org
9.
Qodirov O. Chiziqli algebra va uning amaliy qo‘llanilishi. – Toshkent:
“Iqtisod-moliya”, 2016.
10.
Strang G. Introduction to Linear Algebra. – Wellesley-Cambridge Press,
2016.
