MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-29
Часть–1_Июль –2025
113
EHTIMOLLAR NAZARIYASI
Fayzullayeva Komola Shuxratbek qizi
Buloqboshi tumani 2-son politexnikumi
Annotatsiya: Mazkur maqolada ehtimollar nazariyasining nazariy asoslari,
tarixiy taraqqiyoti va hozirgi zamon amaliyotidagi ahamiyati tahlil qilinadi.
Ehtimollar nazariyasi tasodifiy hodisalarni o‘rganish va tahlil qilishda muhim
vosita bo‘lib, matematikaning muhim tarmog‘i hisoblanadi. Maqolada ushbu
nazariyaning asosiy tushunchalari, tarixiy rivojlanish yo‘li, asosiy metodlari, real
hayotdagi qo‘llanilishi va ilmiy-texnik jarayonlardagi o‘rni yoritilgan. Shuningdek,
ehtimollar nazariyasining pedagogik va ilmiy jihatdan o‘qitilishi yuzasidan
xulosalar va takliflar berilgan.
Kalit so‘zlar: Ehtimollar nazariyasi, tasodifiy hodisa, ehtimollik, statistik
tahlil, matematik model, ehtimollik funksiyasi, ehtimollik taqsimoti.
Zamonaviy
ilm-fan
va
texnologiyalarning
rivojlanishi
ehtimollar
nazariyasining keng ko‘lamda qo‘llanilishini taqozo etmoqda. Tasodifiy hodisalarni
tushunish, tahlil qilish va bashoratlash ehtiyoji nafaqat statistik tahlillar, balki
iqtisodiyot, fizika, informatika, tibbiyot kabi sohalarda ham mavjud. Ehtimollar
nazariyasi insoniyat tomonidan uzoq tarix davomida to‘plangan kuzatuvlar,
tajribalar va tahlillar natijasida shakllangan bo‘lib, bu nazariya hozirgi kunda ilmiy
tadqiqotlarning ajralmas qismiga aylangan.
Ehtimollar nazariyasi – tasodifiy hodisalarni matematik jihatdan
o'rganadigan va ularning yuzaga kelish ehtimolligini hisoblashga yordam beradigan
fan. U matematika, statistika, fizika, iqtisodiyot, informatika, sun’iy intellekt va
boshqa ko‘plab sohalarda muhim ahamiyatga ega. Quyida ehtimollar nazariyasining
asosiy tushunchalari, qoidalari, turlari va amaliy misollarni batafsil yoritaman.
1. Asosiy tushunchalar
a) Tasodifiy hodisa
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-29
Часть–1_Июль –2025
114
Tasodifiy hodisa – bu oldindan aniq natijasini bashorat qilib bo‘lmaydigan
hodisa. Masalan:
Tanga tashlashda "yozuv" yoki "raqam" chiqishi.
Zar tashlashda 1 dan 6 gacha bo‘lgan sonlardan biri chiqishi.
Ob-havo holati (yomg‘ir yoki quyoshli kun).
b) Namuna fazosi (Ω)
Namuna fazosi – tajribaning barcha mumkin bo‘lgan natijalar to‘plami.
Masalan:
Tanga tashlashda: Ω = {yozuv, raqam}.
Zar tashlashda: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Ikki tanga tashlashda: Ω = {(yozuv, yozuv), (yozuv, raqam), (raqam,
yozuv), (raqam, raqam)}.
c) Hodisa
Hodisa – namuna fazosining bir qismi bo‘lgan natijalar to‘plami. Masalan:
Zar tashlashda "juft son chiqishi" hodisasi: {2, 4, 6}.
Ikki tanga tashlashda "kamida bitta yozuv chiqishi" hodisasi: {(yozuv,
yozuv), (yozuv, raqam), (raqam, yozuv)}.
d) Ehtimollik
Ehtimollik – hodisaning yuzaga kelish imkoniyatini 0 dan 1 gacha bo‘lgan
son bilan ifodalaydi:
P(A)=0 P(A) = 0 P(A)=0: Hodisa yuz bermaydi (imkonsiz hodisa).
P(A)=1 P(A) = 1 P(A)=1: Hodisa albatta yuz beradi (aniq hodisa).
0<P(A)<1 0 < P(A) < 1 0<P(A)<1: Hodisa yuz berishi mumkin, lekin
aniq emas.
Klassik ehtimollikda ehtimollik quyidagicha hisoblanadi:
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-29
Часть–1_Июль –2025
115
2. Ehtimollar nazariyasining asosiy qoidalari
a) Qo‘shish qoidasi
Agar A va B hodisalari
bir-biriga mos kelmaydigan
bo‘lsa (ya’ni bir
vaqtning o‘zida yuz bera olmasa), ularning birlashmasining ehtimolligi quyidagicha:
Masalan, zar tashlashda "1 chiqishi" (A A A) yoki "2 chiqishi" (B B B)
ehtimolligi:
b) Ko‘paytirish qoidasi
Agar A Ava B hodisalari
mustaqil
bo‘lsa (birining yuz berishi ikkinchisiga
ta’sir qilmasa):
Masalan, ikki tanga tashlashda ikkalasida ham "yozuv" chiqishi:
Agar hodisalar mustaqil bo‘lmasa, shartli ehtimollikdan foydalaniladi.
c) Shartli ehtimollik
B hodisasi yuz bergan sharoitda A hodisasining ehtimolligi:
Masalan, bir quti ichida 3 qizil va 2 ko‘k shar bor. Birinchi shar qizil bo‘lsa,
ikkinchi shar ham qizil bo‘lish ehtimolligi:
d) Beyes teoremasi
Beyes teoremasi shartli ehtimolliklarni bog‘laydi:
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-29
Часть–1_Июль –2025
116
Bu teorema, masalan, tibbiy diagnostika yoki mashinaviy o‘qitishda keng
qo‘llaniladi. Misol:
Bir kasallik 1% aholida uchraydi (P(A)=0.01 P(A) = 0.01 P(A)=0.01).
Testning ijobiy natija berish ehtimolligi, agar kasallik bo‘lsa, 95%
(P(B
∣
A)=0.95 P(B|A) = 0.95 P(B
∣
A)=0.95).
Testning ijobiy natija berish ehtimolligi, agar kasallik bo‘lmasa, 2%
(P(B
∣
Ac)=0.02 P(B|A^c) = 0.02 P(B
∣
Ac)=0.02).
Test ijobiy bo‘lsa, kasallik ehtimolligi (P(A
∣
B) P(A|B) P(A
∣
B))
qanday?
Ya’ni, test ijobiy bo‘lsa, kasallik ehtimolligi taxminan 32.4%.
Ehtimollar nazariyasi amaliyotda keng qo‘llanilayotgan bo‘lsa-da, uni
o‘rganishda ba’zi muammolar mavjud. Jumladan, o‘quvchilarning tasodifiylikni
tushunishida qiyinchiliklar bo‘lishi mumkin. Bundan tashqari, ehtimollikni intuitiv
tarzda noto‘g‘ri baholash holatlari kuzatiladi. Masalan, “Gambler's fallacy” yoki
“Tasodifda ketma-ketlik bo‘lmaydi” degan noto‘g‘ri tushunchalar mavjud.
Shuningdek, ehtimollar nazariyasining zamonaviy texnologiyalar – sun’iy intellekt,
mashinaviy o‘rganish, kriptografiya kabi sohalarda qo‘llanishi katta imkoniyatlarni
ochib bermoqda, lekin bu sohaga doir yangi usullarni o‘rganishga ehtiyoj ortib
bormoqda.
Xulosa
Ehtimollar nazariyasi tasodifiylikni tahlil qilish va boshqarish imkonini
beruvchi qudratli matematik vosita. U turli fanlarda qo‘llanilib, ilmiy-texnik
taraqqiyotga katta hissa qo‘shmoqda. Ushbu nazariyaning o‘quv jarayonida to‘g‘ri
va samarali o‘rgatilishi kelajakda zamonaviy mutaxassislarni tayyorlashda muhim
ahamiyatga ega.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-29
Часть–1_Июль –2025
117
Oliy va umumiy ta’lim tizimida ehtimollar nazariyasiga ko‘proq amaliy
yo‘naltirilgan darsliklar va mashqlar kiritilishi lozim.
Pedagoglar uchun ehtimollar nazariyasini zamonaviy texnologiyalar bilan
integratsiyalab o‘rgatish bo‘yicha maxsus treninglar tashkil etilishi kerak.
Ehtimollar nazariyasining real hayotdagi amaliy ilovalarini yorituvchi loyiha
va topshiriqlardan foydalanish tavsiya etiladi.
Sun’iy intellekt, tibbiyot va iqtisodiyot kabi sohalar uchun maxsus
ehtimollik modellarini ishlab chiqish va sinovdan o‘tkazish zarur.
ADABIYOTLAR.
1.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.; Наука. 1987.
2. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.; Наука. 1986.
3. Сираждинов С.Х., Маматов М.М. Эхтимоллар назарияси ва математик
статистика.
Тошкент.; Укитувчи, 1980.
4. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики.
М.;
Наука. 1982.
5. Абдушукуров А.А., Азларов Т.А., Джомирзаев А.А. Эхтимоллар назарияси
ва
математик статистикадан масалалар тыплами. Т. 2003.
6. Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. Из-во МГУ. 1982
