MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-28
Часть–4_Июнь –2025
3
RATISIONAL TENGLAMALAR VA TENGSIZLIKLAR
Namangan viloyati Toʻraqoʻrgʻon tuman
1-son politexnikumi matematika fani
oʻqituvchisi Tursunboyeva Maʼmura
Annotatsiya
Ushbu
maqola ratsional
tenglamalar
va
tengsizliklarning asosiy tushunchalarini, ularni yechish usullarini va xususiyatlarini
koʻrib chiqadi. Unda butun ratsional tenglamalar va kasr ratsional tenglamalar,
shuningdek, ratsional tengsizliklarni yechishda qoʻllaniladigan usullar, xususan,
umumiy maxrajga keltirish, koʻpaytuvchilarga ajratish va oraliqlar usuli batafsil
tahlil qilingan. Mavzuning algebra va matematik analizdagi ahamiyati hamda uning
amaliy tatbiqlari ham muhokama etilgan.
Kalit soʻzlar Ratsional tenglamalar, ratsional tengsizliklar, butun ratsional
tenglamalar, kasr ratsional tenglamalar, umumiy maxraj, oraliqlar usuli, algebra,
matematik analiz.
Abstract This article examines the basic concepts, solution methods, and
properties of rational equations and inequalities. It analyzes in detail the methods
used to solve integer rational equations and fractional rational equations, as well as
rational inequalities, particularly by bringing to a common denominator, factoring,
and the interval method. The significance of the topic in algebra and mathematical
analysis, as well as its practical applications, are also discussed.
Keywords:Rational equations, rational inequalities, integer rational
equations, fractional rational equations, common denominator, interval method,
algebra, mathematical analysis.
KIRISH
Matematikaning muhim boʻlimlaridan biri boʻlgan
algebra
da tenglamalar va
tengsizliklar nazariyasi markaziy oʻrinlardan birini egallaydi. Ayniqsa,
ratsional
tenglamalar va tengsizliklar
oʻrta maktab va oliy taʼlim matematikasining ajralmas
qismi hisoblanadi. Bu mavzu nafaqat fundamental nazariy bilimlarni talab qiladi,
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-28
Часть–4_Июнь –2025
4
balki fizika, iqtisodiyot, muhandislik va boshqa amaliy sohalarda ham keng
qoʻllaniladi, chunki koʻplab real hayot muammolari aynan ratsional ifodalar orqali
modellashtiriladi.
Ratsional tenglamalar va tengsizliklar oʻzgaruvchi nomaʼlum kasrning
maxrajida qatnashishi mumkin boʻlgan algebraik ifodalarni oʻz ichiga oladi. Ularni
yechishda alohida eʼtibor berish lozim, chunki maxrajning nolga aylanishi ifodaning
aniqlanmagan boʻlishiga olib keladi. Ushbu maqolada biz ratsional tenglamalar va
tengsizliklarning asosiy turlarini, ularni yechishning universal usullarini va amaliy
misollarni koʻrib chiqamiz.
ASOSIY QISM
Ratsional tenglamalar va tengsizliklar ikki asosiy turga boʻlinadi:
butun
ratsional
va
kasr ratsional
.
1.
Butun ratsional tenglamalar va tengsizliklar:
Bular faqat butun
ratsional ifodalarni, yaʼni oʻzgaruvchi maxrajda qatnashmaydigan ifodalarni oʻz
ichiga oladi. Ular koʻphadlar shaklida boʻladi. Masalan, 2x2−3x+1=0 butun ratsional
tenglama, x−5>2x+7 esa butun ratsional tengsizlikdir. Bularni yechish odatdagi
algebraik usullar, yaʼni koʻpaytuvchilarga ajratish, formulalar qoʻllash yoki
nomaʼlumni bir tomonga oʻtkazish orqali amalga oshiriladi.
2.
Kasr ratsional tenglamalar va tengsizliklar:
Bular maxrajida
oʻzgaruvchi qatnashgan ratsional ifodalarni oʻz ichiga oladi. Bu turdagi tenglamalar
va tengsizliklarni yechishda maxrajning nolga aylanmaslik shartini hisobga olish
muhimdir.
o
Kasr ratsional tenglamalarni yechish:
Umumiy koʻrinishi Q(x)P(x)
=0 boʻlgan tenglamani yechish uchun kasrning surati P(x)=0 shartni qanoatlantirishi
va shu bilan birga maxraji Q(x) =0 boʻlishi kerak. Yechish jarayonida quyidagi
qadamlar bajariladi:
1.
Tenglamaning barcha hadlari bir tomonga oʻtkaziladi va umumiy
maxrajga keltiriladi.
2.
Hosild boʻlgan kasrning surati nolga tenglashtiriladi: P(x)=0.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-28
Часть–4_Июнь –2025
5
3.
Maxrajning nolga aylanadigan qiymatlari topiladi: Q(x)=0.
4.
P(x)=0 tenglamaning
yechimlaridan Q(x)=0 shartni
qanoatlantirmaydiganlari tanlab olinadi. Aynan shu yechimlar berilgan ratsional
tenglamaning yechimi hisoblanadi.
o
Kasr ratsional tengsizliklarni yechish:
Kasr ratsional tengsizliklar,
masalan, Q(x)P(x)>0 yoki Q(x)P(x)≤0 koʻrinishida
boʻladi. Ularni yechishda
odatda
oraliqlar usuli
dan foydalaniladi:
1.
Tengsizlikning oʻng tomoni nolga tenglashtiriladi.
2.
Surat P(x)=0 va maxraj Q(x)=0 tenglamalarning ildizlari topiladi.
Bu ildizlar son oʻqida belgilanadi.
3.
Son oʻqi bu ildizlar tomonidan oraliqlarga boʻlinadi.
4.
Har bir oraliqdan bitta sinov nuqtasi olinib, berilgan tengsizlikka
qoʻyiladi va uning ishorasi aniqlanadi.
5.
Tengsizlik shartini qanoatlantiradigan oraliqlar (musbat yoki
manfiy) yechim sifatida yoziladi.
6.
Maxrajni nolga aylantiruvchi nuqtalar yechimga kirmaydi, chunki
bu nuqtalarda ifoda aniqlanmagan boʻladi. Agar tengsizlikda "≥" yoki "≤" belgisi
boʻlsa, suratni nolga aylantiruvchi nuqtalar yechimga kiritiladi.
Misol
uchun, x+3x−2≤0 tengsizligini
yechishda x−2=0
⟹
x=2 va x+3=0
⟹
x=−3 nuqtalarini
topamiz.
Son
oʻqida −3 va 2 nuqtalarini belgilaymiz. Oraliqlar: (−∞,−3), (−3,2], [2,∞). Har bir
oraliqda sinov nuqtasi olib ishorasini tekshiramiz. Natijada yechim (−3,2] oraliq
boʻladi, bunda −3 nuqta maxrajni nolga aylantirgani uchun kirmaydi, 2 esa suratni
nolga aylantirganligi va ≤ belgisi borligi sababli kiradi.
XULOSA
Ratsional tenglamalar va tengsizliklar
matematik bilimlar tizimida muhim
oʻrin tutadi. Ularni yechish koʻnikmasi nafaqat nazariy masalalarni hal qilishda, balki
real dunyo muammolarini modellashtirish va yechishda ham asosiy vosita
hisoblanadi. Maxrajning nolga teng boʻlish holatlarini hisobga olish, oraliqlar usulini
toʻgʻri qoʻllash bu turdagi masalalarni samarali yechishning kalitidir.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-28
Часть–4_Июнь –2025
6
Ushbu mavzuni chuqur oʻrganish talabalarning analitik fikrlash qobiliyatini
rivojlantiradi va ularni murakkab matematik vazifalarni hal qilishga tayyorlaydi.
Kelgusida ratsional tenglamalar va tengsizliklarning grafik yechimlari, shuningdek,
ularning yuqori darajali tenglamalar tizimlarida tatbiqini oʻrganish muhim ahamiyat
kasb etadi.
ADABIYOTLAR ROʻYXATI
1.
Kurbonov G.G. Didactic possibilities of teaching general subjects on the basis
of digital educational technologies. Berlin Studies Transnational Journal of Science
and Humanities. Vol. 2, Issue 1.5 (2022), – P. 451-456.
2.
Rasulov T.H., Kurbonov G.G. Developing students' creative and scientific
skills with modern educational technologies. Berlin Studies Transnational Journal of
Science and Humanities. Vol. 2, Issue 1.5 (2022), – P. 485-492.
3.
U.U.Umarova. Forms and methods of assessment of student knowledge in
distance education // Berlin Studies Transnational Journal of Science and Humanities.
Vol. 2, Issue 1.5, 2022, pp. 517-527.
4.
Kurbonov G.G. Преимущества компьютерных образовательных
технологий при обучения темы скалярного произведения векторов. Вестник
наука и образавания. 2020. №16(94). Часть.2. стр 33-36
5.
Kurbonov G.G. Интерактивные методы обучения аналитической
геометрии: метод case stady. Наука, техника и образавания. 2020. №8(72). Стр-
47.
6.
Toʻlqin Rasulov, Tabassum Saleem, Umida Umarova. Didactic approach and
innovative methods in distance learning // Pedagogik akmeologiya. 2023, Tom 1, №3,
pp.16-19
7.
Kurbonov G.G. Информационные технологии в преподавании
аналитической геометрии. Проблемы педагогики. 2021. №2(53). стр. 11-14.
