MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-24
Часть–4_ Апрель –2025
375
SHAR VA UNING BO’LAKLARI HAJMI
Asaka tuman 1 son politexnikumi
Karimova Salimaxon Sodiqjon qizi
Fan: Matematika
Anotatsiya: Ushbu maqola shar va uning bo‘laklari (shar qalpoqchasi, shar
segmenti, shar sektori) hajmini hisoblashning matematik asoslari, geometrik
xususiyatlari va amaliy qo‘llanilishiga bag‘ishlangan. Maqolada sharning hajmi
formulasi, uning bo‘laklari uchun maxsus hisoblash usullari, shuningdek, bu
masalalarning fizika, muhandislik, arxitektura va kompyuter grafikasi sohasidagi
ahamiyati tahlil qilinadi. Integral hisob, sferik koordinatalar va zamonaviy hisoblash
texnologiyalaridan foydalanish orqali shar bo‘laklari hajmini aniqlash usullari
muhokama qilinadi. Maqola matematika, fizika va muhandislik sohasidagi
tadqiqotchilar, talabalar va mutaxassislar uchun keng qamrovli manba sifatida xizmat
qiladi.
Kalit so‘zlar: shar, hajm, shar bo‘lagi, shar qalpoqchasi, shar segmenti, shar
sektori, geometriya, integral hisob, amaliy qo‘llanmalar, kompyuter grafikasi.
Kirish
Shar, geometriyadagi eng simmetrik va fundamental shakllardan biri bo‘lib,
uning xususiyatlari matematikaning turli sohalari, shuningdek, fizika, muhandislik va
tabiiy fanlarda keng qo‘llaniladi. Sharning hajmini hisoblash oddiy bo‘lsa-da, uning
bo‘laklari — masalan, shar qalpoqchasi, shar segmenti yoki shar sektori — hajmini
aniqlash murakkab matematik tahlilni talab qiladi. Ushbu maqola shar va uning
bo‘laklari hajmini hisoblashning matematik asoslarini tizimli ravishda tahlil qiladi,
ularning amaliy qo‘llanilishini muhokama qiladi va zamonaviy hisoblash
texnologiyalaridagi ahamiyatini ko‘rib chiqadi.
1. Sharning hajmi va uning matematik asoslari
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-24
Часть–4_ Апрель –2025
376
Sharning hajmi quyidagi klassik formula yordamida hisoblanadi: [ V =
\frac{4}{3} \pi r^3 ] Bu yerda ( r ) — sharning radiusi, ( \pi ) esa matematik doimiy
(taxminan 3,14159). Ushbu formula Arximed tomonidan kashf etilgan bo‘lib, sharning
simmetrik xususiyatlariga asoslanadi. Sharning sirt maydoni formulasi (( S = 4 \pi r^2
)) bilan bog‘liqligi uning geometrik o‘ziga xosligini yanada ta’kidlaydi.
1.1. Formulaning kelib chiqishi
Sharning hajmi integral hisob yordamida isbotlanadi. Shar, ( x^2 + y^2 = r^2 )
tenglamasiga ega bo‘lgan doiraning ( z )-o‘qi atrofida aylanishi natijasida hosil bo‘ladi.
Shuning uchun uning hajmini hisoblashda aylanish integralidan foydalaniladi: [ V =
\pi \int_{-r}^{r} (r^2 - x^2) , dx ] Ushbu integralni yechish orqali quyidagi natija
olinadi: [ V = \pi \left[ r^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^{r} = \pi \left( r^3 -
\frac{r^3}{3} - \left( -r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) = \frac{4}{3} \pi r^3 ] Bu
formula sharning hajmining radiusga kubik bog‘liqligini ko‘rsatadi.
1.2. Sferik koordinatalarda hajm
Sferik koordinatalar tizimida sharning hajmini hisoblash yanada qulay bo‘lishi
mumkin. Sferik koordinatalarda hajm integrali quyidagicha yoziladi: [ V =
\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^r \rho^2 \sin\phi , d\rho , d\phi , d\theta ] Bu integralni
yechish ham ( \frac{4}{3} \pi r^3 ) natijasini beradi, bu sharning simmetriyasi va sferik
koordinatalarning afzalligini tasdiqlaydi.
2. Shar bo‘laklari va ularning hajmi
Shar bo‘laklari shar sirtining yoki ichki qismining muayyan qismlarini
ifodalaydi. Ularning hajmini hisoblashda maxsus formulalar va matematik usullar
qo‘llaniladi. Quyida asosiy shar bo‘laklari va ularning hajmini aniqlash usullari
keltiriladi.
2.1. Shar qalpoqchasi
Shar qalpoqchasi shar sirtining tekislik bilan kesilishi natijasida hosil
bo‘ladigan qismdir. Uning hajmi quyidagi formula yordamida hisoblanadi: [
V_{\text{qalpoqcha}} = \frac{1}{3} \pi h^2 (3r - h) ] Bu yerda ( h ) — qalpoqchaning
balandligi, ( r ) — sharning radiusi. Ushbu formula shar qalpoqchasining hajmini
aniqlashda samarali bo‘lib, uning isboti integral hisobga asoslanadi.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-24
Часть–4_ Апрель –2025
377
Misol
: Radiusi 6 sm bo‘lgan sharning balandligi 2 sm bo‘lgan qalpoqchasining
hajmini toping. [ V_{\text{qalpoqcha}} = \frac{1}{3} \pi (2)^2 (3 \cdot 6 - 2) =
\frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 16 \approx 67,02 , \text{sm}^3 ]
2.2. Shar segmenti
Shar segmenti shar qalpoqchasi va uning asosiy tekisligi orasidagi qismni
ifodalaydi. Uning hajmi quyidagi formula bilan aniqlanadi: [ V_{\text{segment}} =
\pi h \left( \frac{h^2}{3} + a^2 \right) ] Bu yerda ( a ) — segment asosining radiusi, (
h ) — segmentning balandligi. Segmentning asosiy radiusi ( a = \sqrt{h(2r - h)} )
formula orqali topiladi.
Misol
: Radiusi 5 sm bo‘lgan sharda balandligi 3 sm bo‘lgan segmentning
hajmini toping. Avval ( a )-ni hisoblaymiz: [ a = \sqrt{3 (2 \cdot 5 - 3)} = \sqrt{3 \cdot
7} = \sqrt{21} \approx 4,58 , \text{sm} ] Keyin hajmni hisoblaymiz: [
V_{\text{segment}} = \pi \cdot 3 \left( \frac{3^2}{3} + 4,58^2 \right) = \pi \cdot 3
\left( 3 + 20,98 \right) \approx 226,08 , \text{sm}^3 ]
2.3. Shar sektori
Shar sektori shar qalpoqchasi va sharning markazidan uning asosiy
tekisligigacha bo‘lgan konus shaklidagi qismdir. Uning hajmi quyidagi formula bilan
hisoblanadi: [ V_{\text{sektor}} = \frac{2}{3} \pi r^2 h ] Bu yerda ( h ) — sektorni
tashkil etuvchi qalpoqchaning balandligi.
Misol
: Radiusi 4 sm bo‘lgan sharda balandligi 1,5 sm bo‘lgan sektorning
hajmini toping. [ V_{\text{sektor}} = \frac{2}{3} \pi (4)^2 \cdot 1,5 = \frac{2}{3} \pi
\cdot 16 \cdot 1,5 \approx 50,27 , \text{sm}^3 ]
3. Amaliy qo‘llanmalar
Shar va uning bo‘laklari hajmini hisoblash turli sohalarda keng qo‘llaniladi.
Quyida asosiy qo‘llanma sohalari va misollar keltiriladi:
Fizika
: Suyuqliklar dinamikasida shar shaklidagi idishlarning sig‘imi
hisoblanadi. Masalan, shar shaklidagi gaz ballonlarining hajmi aniqlanadi.
Muhandislik
: Sharikli podshipniklar, shar shaklidagi valflar yoki
rezervuarlar dizaynida shar va uning bo‘laklari hajmi muhim ahamiyatga ega.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-24
Часть–4_ Апрель –2025
378
Arxitektura
: Shar shaklidagi gumbazlar, dekorativ elementlar yoki
planetariy loyihalarida hajm hisob-kitoblari talab qilinadi.
Kompyuter grafikasi
: 3D modellashtirishda shar va uning bo‘laklari
hajmini hisoblash virtual ob’ektlarning fizik xususiyatlarini aniqlashda qo‘llaniladi.
Tibbiyot
: Tibbiy tasvirlashda (masalan, MRT yoki KT) shar shaklidagi
organlar yoki tuzilmalar hajmini aniqlash muhimdir.
3.1. Kompyuter modellashtirishdagi ahamiyati
Zamonaviy kompyuter grafikasi va simulyatsiya dasturlarida (masalan,
Blender, AutoCAD) shar bo‘laklari hajmini hisoblash ob’ektlarning fizik
xususiyatlarini aniqlashda muhim rol o‘ynaydi. Masalan, shar qalpoqchasi yoki
segmentining hajmini hisoblash virtual muhitda materiallarning og‘irligini yoki
sig‘imini aniqlashda qo‘llaniladi.
4. Matematik tahlil va zamonaviy usullar
Shar bo‘laklari hajmini hisoblashda integral hisob va koordinatalar tizimidan
foydalanish keng tarqalgan. Sferik koordinatalar tizimi bu jarayonni soddalashtiradi,
chunki shar simmetrik shaklga ega. Quyida sferik koordinatalarda shar
qalpoqchasining hajmini hisoblash misoli keltiriladi:
Misol
: Balandligi ( h ) bo‘lgan shar qalpoqchasining hajmini sferik
koordinatalarda hisoblang. Sferik koordinatalarda hajm integrali quyidagicha bo‘ladi:
[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\cos^{-1}(1-h/r)} \int_0^r \rho^2 \sin\phi , d\rho , d\phi ,
d\theta ] Bu integralni yechish yuqoridagi ( \frac{1}{3} \pi h^2 (3r - h) ) formulasini
tasdiqlaydi.
4.1. Hisoblash dasturlari
Zamonaviy hisoblash dasturlari (MATLAB, Mathematica, Python) shar
bo‘laklari hajmini aniqlashda keng qo‘llaniladi. Masalan, Python-ning SymPy
kutubxonasi yordamida shar qalpoqchasi hajmini hisoblash mumkin:
from sympy import symbols, pi, integrate
r, h = symbols('r h')
V = (1/3) * pi * h**2 * (3*r - h)
print(V.subs({r: 5, h: 2})) # Radiusi 5, balandligi 2 bo‘lgan qalpoqcha
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-24
Часть–4_ Апрель –2025
379
Xulosa
Shar va uning bo‘laklari hajmini hisoblash geometriya, matematika va amaliy
fanlarning muhim yo‘nalishlaridan biridir. Ushbu maqolada sharning hajmi, shar
qalpoqchasi, segmenti va sektori kabi bo‘laklarning hajmini hisoblash formulalari,
ularning matematik asoslari va amaliy qo‘llanilishi tahlil qilindi. Integral hisob, sferik
koordinatalar va zamonaviy hisoblash texnologiyalari ushbu masalalarni yechishda
muhim vosita sifatida xizmat qiladi. Ushbu formulalar fizika, muhandislik, arxitektura,
kompyuter grafikasi va tibbiyot kabi sohalarda keng qo‘llaniladi. Kelajakda shar
bo‘laklari hajmini hisoblashning yangi algoritmlari va ularning sun’iy intellekt bilan
integratsiyasi tadqiqot uchun istiqbolli yo‘nalish bo‘lib qolmoqda.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1.
Toʻrayev, A., & Xudoyberganov, M. (2015). Matematik tahlil asoslari .
Toshkent:
O'zbekiston
Milliy
Universiteti
nashriyoti.
Ushbu darslikda, shu narsa shar va uning bo'laklari hajminiga oid fikr qiyofasi
ma'lumotlari. Sferik ko'rsatkichlar va geometrik shakllarning hajmini aniqlash usullari
tahlil.
2.
Safarov, IS (2010). Geometriya: Analitik va differensial geometriya .
Toshkent:
Fan
va
texnologiya
nashriyoti.
Bu kitobda shar, uning qismlari va bo'laklari (shar qalpoqchasi, segmenti) hajmini
baholashning geometrik usullari yoritilgan. Amaliy misollar va isbotlar.
3.
4.
Korn, G. A., & Korn, T. M. (2000).
Mathematical Handbook for Scientists and
Engineers
. Dover Publications.
5.
Arfken, G. B., & Weber, H. J. (2012).
Mathematical Methods for Physicists
.
Academic Press.
6.
Stewart, J. (2015).
Calculus: Early Transcendentals
. Cengage Learning.
7.
Thomas, G. B., & Finney, R. L. (2009).
Calculus and Analytic Geometry
.
Addison-Wesley.
8.
Courant, R., & John, F. (1999).
Introduction to Calculus and Analysis
. Springer.
9.
Anton, H., Bivens, I., & Davis, S. (2012).
Calculus: Multivariable
. Wiley.
