MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-26
Часть–1_ Май –2025
65
DIFFERENSIAL TENGLAMALARNING MUHANDISLIKDA
QO’LLANILISHI
Ajiniyoz nomidagi NDPI Fizika va Matematika
fakulteti talabasi Dinora Sobirova
Annotatsiya: Mazkur maqolada differensial tenglamalarning muhandislik
sohalaridagi amaliy qo‘llanilishi tahlil qilingan. Harakat, elektr zanjirlari, issiqlik
uzatish va avtomatik boshqaruv tizimlari kabi yo‘nalishlarda differensial tenglamalar
asosida tuziladigan modellar muhandislik masalalarini hal etishda qanday yordam
berishi ko‘rsatib berilgan. Shuningdek, ularni yechishda foydalaniladigan zamonaviy
hisoblash vositalarining ahamiyati yoritilgan.
Kalit so‘zlar: differensial tenglama, muhandislik, matematik model, tizim
tahlili, hisoblash usullari, elektr zanjiri, tebranish, boshqaruv tizimi
Differensial tenglamalar – bu noma’lum funksiyaning hosilalari ishtirok
etadigan tenglamalardir. Ular real hayotdagi ko‘plab fizik, biologik va texnik
jarayonlarni ifodalovchi matematik modellarni tuzishda asosiy vosita hisoblanadi.
Differensial tenglamalar oddiy (bir nechta o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lmagan), chiziqli
(tenglama noma’lum funksiya va uning hosilalariga nisbatan chiziqli bo‘lsa), yuqori
tartibli (ikkinchi yoki undan yuqori darajadagi hosilalarni o‘z ichiga oluvchi),
shuningdek, murakkab fizik tizimlarni ifodalovchi qattiq (stiff) tenglamalar shaklida
bo‘lishi mumkin. Tabiiy fanlar va texnika sohalarida differensial tenglamalar
yordamida turli dinamik jarayonlar – masalan, mexanik harakat, tebranishlar, issiqlik
tarqalishi, elektr tokining o‘zgarishi, kimyoviy reaksiya tezligi va biologik o‘sish
jarayonlari modellashtiriladi. Ular matematikani amaliyotga bog‘lovchi asosiy
vositalardan biri sifatida, murakkab tizimlarning xatti-harakatini bashorat qilish,
optimallashtirish va boshqarishda muhim o‘rin egallaydi. Ayniqsa, muhandislikda
differensial tenglamalarning ahamiyati nihoyatda katta. Chunki zamonaviy
muhandislik masalalarining aksariyati vaqtga, holatga yoki tashqi ta’sirlarga bog‘liq
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-26
Часть–1_ Май –2025
66
bo‘lgan jarayonlar bilan bog‘liq. Muhandislikda turli tizimlarning harakatini, energiya
almashinuvini, issiqlik uzatishni, elektr signalini yoki materiallarning deformatsiyasini
modellashtirishda differensial tenglamalar keng qo‘llaniladi. Shu bois, ularni chuqur
o‘rganish va amaliy jihatdan qo‘llay bilish zamonaviy muhandis uchun zaruriy
ko‘nikmalardan biridir.
Differensial tenglamalar muhandislikda tizimlarning dinamik xatti-harakatini
modellashtirish, tahlil qilish va boshqarishda muhim o‘rin tutadi. Har bir muhandislik
sohasi o‘ziga xos fizik qonunlarga asoslangan bo‘lib, ularni ifodalashda vaqt va
fazodagi o‘zgarishlar muhim ahamiyatga ega. Bu o‘zgarishlarni matematik shaklda
ifodalash uchun aynan differensial tenglamalardan foydalaniladi.
1. Mexanika va dinamika sohasida qo‘llanilishi
Mexanik tizimlarning harakat qonuniyatlari Nyutonning ikkinchi qonuniga
asoslanadi: kuch – bu massaning tezlanishga ko‘paytmasi. Masalan, prujinali sistema
harakatini quyidagi oddiy differensial tenglama orqali ifodalash mumkin:
𝑚 ×
𝑑
2
𝑥
𝑑𝑡
2
+ 𝑘𝑥 = 0
Bu tebranishli harakat modelidir va uni muhandislikda qurilmalarning
vibratsion xatti-harakatini o‘rganishda keng qo‘llaniladi. Mashinasozlik, aviatsiya va
inshootlar qurilishi sohalarida bunday tenglamalar strukturaviy turg‘unlikni
baholashda yordam beradi.
2. Elektr muhandisligida differensial tenglamalar
Elektronika va elektrotexnika sohalarida elektr zanjirlarining vaqt bo‘yicha
o‘zgaruvchan holatini aniqlash uchun differensial tenglamalar ishlatiladi. Masalan,
RLC zanjiridagi tok va kuchlanish o‘zgarishini ifodalovchi tenglama quyidagicha
bo‘ladi:
𝐿 ×
𝑑
2
𝑞
𝑑𝑡
2
+ 𝑅 ×
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡)
Bu yerda L – induktivlik, R – qarshilik, C – sig‘im, q – zaryad, E(t) – tashqi
kuchlanish. Ushbu tenglama elektr signalini tahlil qilish, filtrlar loyihalash va signalni
barqarorlashtirish kabi muhim vazifalarni hal etishda qo‘llaniladi.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-26
Часть–1_ Май –2025
67
3. Issiqlik va suyuqliklar oqimi tahlilida
Muhandislikning termodinamika va gidrodinamika yo‘nalishlarida issiqlik
uzatish, gaz va suyuqliklar oqimini modellashtirish uchun differensial tenglamalarga
murojaat qilinadi. Masalan, issiqlik o‘tkazish jarayoni uchun Fourier qonuni asosida
quyidagi tenglama ishlatiladi:
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝛼 ∙
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
Bu tenglama issiqlikning vaqt va masofaga bog‘liq tarqalishini ifodalaydi.
Muhandislar uni issiqlik almashinuvi moslamalari, qurilish konstruksiyalari va
energiya tizimlarini loyihalashda qo‘llaydilar.
4. Avtomatika va boshqaruv tizimlarida
Avtomatik boshqaruv tizimlari dinamik obyektlarni nazorat qilish uchun
tuziladi va ularning xatti-harakatini aks ettirishda differensial tenglamalar ishlatiladi.
Bunday tizimlar matematik modellar orqali tavsiflanadi, ular asosida PID kontrollar,
transfer funksiyalar va holat bo‘yicha boshqaruv algoritmlari ishlab chiqiladi. Bu
yo‘nalish robototexnika, sanoat avtomatikasi va transport tizimlarida muhim
ahamiyatga ega.
5. Kompyuter yordamida yechimlar
Amaliy masalalarning ko‘pchiligi analitik tarzda yechilmaydi. Shu bois,
muhandislikda kompyuter yordamida differensial tenglamalarni raqamli usullar bilan
yechish keng tarqalgan. Bunda MATLAB, Python (SciPy, NumPy), Mathematica kabi
dasturlar muhandislarga murakkab tenglamalarni modellashtirish va grafik tahlil qilish
imkonini beradi. Bu vositalar amaliy tajribani sezilarli darajada soddalashtiradi va
optimallashtirishga xizmat qiladi.
1-misol: Oddiy chiziqli differensial tenglama
Tenglama:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟑𝒚 = 𝟔
Bu – birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama.
Yechim:
Bu tenglamani yechish uchun integral ko‘paytuvchi usulidan
foydalanamiz
.
1.
Tenglama ko‘rinishi:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝑷(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙), 𝑷(𝒙) = 𝟑, 𝑸(𝒙) = 𝟔
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-26
Часть–1_ Май –2025
68
2.
Integratsion ko‘paytuvchi:
𝜇(𝑥) = 𝑒
∫ 3𝑑𝑥
= 𝑒
3𝑥
3.
Tenglamaning ikkala tomonini
𝜇(𝑥)
ga ko‘paytiramiz:
𝑒
3𝑥
∙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
3𝑒
3𝑥
𝑦 = 6𝑒
3𝑥
4.
Chap tomon – hosilaning kengaytmasi:
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒
3𝑥
𝑦) = 6𝑒
3𝑥
5.
Har ikki tomonni integrallaymiz:
𝑒
3𝑥
𝑦 = ∫ 6𝑒
3𝑥
𝑑𝑥 = 2𝑒
3𝑥
+ 𝐶
6.
Yechim:
𝑦 = 2 + 𝐶𝑒
−3𝑥
+ 𝐶
Javob:
𝑦 = 2 + 𝐶𝑒
−3𝑥
+ 𝐶
2-misol: Ikkinchi tartibli gomogen differensial tenglama
Tenglama:
𝒅
𝟐
𝒚
𝒅𝒙
𝟐
− 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 0
Bu – chiziqli, gomogen, konstantali koeffitsiyentli ikkinchi tartibli differensial
tenglama.
Yechim:
1.
Xarakterni tenglama tuzamiz:
𝑟
2
− 5𝑟 + 6 = 0
2.
Tenglamani yechamiz: r = 3 r=2
3.
Ikkita real va farqli ildiz bo‘lgani uchun umumiy yechim:
𝑦(𝑥) =
𝐶
1
𝑒
2𝑥
+ 𝐶
2
𝑒
3𝑥
Javob:
𝒚(𝒙) = 𝑪
𝟏
𝒆
𝟐𝒙
+ 𝑪
𝟐
𝒆
𝟑𝒙
Zamonaviy muhandislikda ko‘plab differensial tenglamalar murakkab bo‘lib,
ularni qo‘lda analitik tarzda yechish amaliy jihatdan qiyin yoki imkonsiz bo‘lishi
mumkin. Shu sababli,
kompyuter yordamida raqamli yechimlar
tobora keng
qo‘llanilmoqda. Bu jarayonda quyidagi dasturiy vositalar muhim o‘rin tutadi:
MATLAB – differensial tenglamalar, chiziqli algebra, signallar va tizimlar
tahlili uchun qulay muhit. Uning ode45, ode23 kabi funksiyalari orqali birinchi va
yuqori tartibli ODE (oddiy differensial tenglamalar) tizimlarini tez va ishonchli tarzda
yechish mumkin. Ko‘p hollarda muhandislar MATLAB’ni real vaqt tizimlari,
modellashtirish va simulyatsiya uchun ishlatadilar.
Python dasturlash tili ochiq manbali bo‘lib, SciPy kutubxonasi yordamida
differensial tenglamalarni raqamli usullar bilan yechish imkonini beradi.
scipy.integrate.odeint yoki solve_ivp funksiyalari muhandislarga fizik va texnik
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-26
Часть–1_ Май –2025
69
tizimlarni modellashtirishda samarali vosita bo‘ladi. Python’ning afzalligi – uni boshqa
kutubxonalar bilan birlashtirish qulayligi va bepul ekani.
Mathematica – analitik va raqamli hisoblashlarni birlashtiruvchi kuchli
matematik vosita. U murakkab differensial tenglamalarning umumiy va xususiy
yechimlarini chiqarib bera oladi, grafiklar chizadi va ifodalarni soddalashtiradi. Ilmiy
tadqiqotlar va akademik muhitda keng qo‘llaniladi.
Muhandislar uchun foydasi:
Murakkab tizimlarni
tez va ishonchli
modellashtirish imkonini beradi.
Vaqt va resurslarni tejaydi
, inson xatosini kamaytiradi.
Analitik va raqamli yechimlarni
bir vaqtning o‘zida
ko‘rish imkonini
yaratadi.
Vizualizatsiya (grafik ko‘rinish) orqali natijalarni
ko‘rgazmali tahlil
qilish
imkoniyatini beradi.
Amaliy muhandislik masalalarini
real vaqt rejimida
hal qilishni
soddalashtiradi.
Differensial tenglamalar muhandislikda turli fizik va texnik tizimlarning
dinamikasini tushunish, modellashtirish, tahlil qilish va optimallashtirishda asosiy
matematik vosita hisoblanadi. Harakat, tebranish, issiqlik almashinuvi, elektr signallar
va boshqaruv tizimlarining matematik modellarini yaratishda aynan differensial
tenglamalar asosiy rol o‘ynaydi. Bugungi raqamli texnologiyalar davrida ushbu
tenglamalarni zamonaviy dasturiy vositalar orqali raqamli yechish va amaliy natijalarni
olish imkoniyati muhandislik ishlarini samarali, aniq va tez bajarish imkonini
bermoqda. Shu bois, differensial tenglamalarni chuqur o‘rganish va amaliy muhitda,
jumladan MATLAB, Python, Mathematica kabi vositalar yordamida qo‘llay bilish har
qanday muhandis uchun zaruriy va zamonaviy ko‘nikmadir. Bu ko‘nikma nafaqat
ilmiy izlanishlarda, balki ishlab chiqarish, loyiha ishlab chiqish va muammolarni hal
qilishda ham muhim ahamiyatga ega.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1.
Karimov B., Akbarov X. –
Differensial tenglamalar
, O‘zbekiston Respublikasi Oliy
ta’limi uchun darslik. – Toshkent: O‘zbekiston milliy ensiklopediyasi, 2005.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-26
Часть–1_ Май –2025
70
2.
Boyce W.E., DiPrima R.C. –
Elementary Differential Equations and Boundary
Value Problems
, 10th Edition. – Wiley, 2012.
3.
Kreyszig E. –
Advanced Engineering Mathematics
, 10th Edition. – Wiley, 2011.
4.
Higham D.J. & Higham N.J. –
MATLAB Guide
, 2nd Edition. – SIAM, 2005.
5.
Virtanen P. et al. –
SciPy 1.0: Fundamental Algorithms for Scientific Computing in
Python
, Nature Methods, 2020.
