MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-18
Часть–8_ Январь –2025
322
KVADRAT FUNKSIYALAR
Tojiddinov Eldorbek Abdulaziz o'g'li
Paxtaobod tuman 1-son politexnikumi
Fan;Matematika
Tel; +998 99 907 98 98
Annotatsiya: Ushbu maqola kvadrat funksiyalarning matematik asoslarini,
ularning xususiyatlarini, grafiklarini, hamda turli sohalardagi amaliy tatbiqlarini
chuqur oʻrganishga bagʻishlangan. Maqolada kvadrat funksiyaning taʼrifi, standart
va umumiy koʻrinishlari, uning koeffitsientlarining xususiyatlari va grafikiga taʼsiri,
kvadrat funksiyalarni turli usullar bilan yechish metodlari, shu bilan birga
parabolaning geometrik xususiyatlari, diskriminantning ahamiyati va kvadrat
funksiyalarning integrallashuvi koʻrib chiqiladi. Bundan tashqari, maqolada kvadrat
funksiyalarning fizika, injenerlik, iqtisodiyot, optika, va boshqa sohalardagi muhim
tatbiqlari misollar va tushuntirishlar bilan yoritiladi.
Kalit Soʻzlar: Kvadrat funksiya, parabola, koeffitsientlar, diskriminant,
ildizlar, simmetriya oʻqi, tepalik, amaliy tatbiqlar, grafik, kvadrat tenglama,
diskriminant, kvadrat integrali, geometrik xususiyatlar.
Kirish
Matematikada funksiyalar asosiy tushunchalardan biri hisoblanadi.
Funksiyalar ikkita toʻplam elementlari orasidagi bogʻlanishni ifodalaydi va ular orqali
turli xil jarayonlarni va hodisalarni matematik modelini tuzish mumkin. Kvadrat
funksiyalar esa funksiyalar ichida oʻziga xos oʻringa ega boʻlib, koʻplab amaliy
masalalarni yechishda muhim rol oʻynaydi. Ushbu maqola kvadrat funksiyalarning
fundamental xususiyatlarini, ularning grafigini, analitik va geometrik xususiyatlarini
hamda amaliy sohalardagi qoʻllanilishini oʻrganishga bagʻishlanadi.
Kvadrat Funksiyaning Taʼrifi va Koʻrinishlari
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-18
Часть–8_ Январь –2025
323
Kvadrat funksiya — bu umumiy koʻrinishda quyidagicha ifodalangan
funksiyadir:
f(x) = ax² + bx + c
Bu yerda:
x — argument (mustaqil oʻzgaruvchi);
f(x) — funksiyaning qiymati (bogʻliq oʻzgaruvchi);
a, b, c — koeffitsientlar boʻlib, a ≠ 0. a, b va c lar haqiqiy sonlardir.
Kvadrat funksiyaning standart (kanonik) koʻrinishi quyidagicha:
f(x) = a(x - h)² + k
Bu yerda:
(h, k) — parabolaning tepaligi (vertiqsi) koordinatalari.
a — kvadrat koeffitsient boʻlib, parabolaning yoʻnalishini va shaklini
belgilaydi.
Kvadrat Funksiyaning Xususiyatlari
1.
Grafik:
Kvadrat funksiyaning grafigi parabola deb ataladi. Parabola —
U shaklidagi egri chiziqdir. Parabola simmetrik shakl boʻlib, simmetriya oʻqiga ega.
2.
Koeffitsientlarning Taʼsiri:
o
a koeffitsienti: Parabolaning "yuqoriga" yoki "pastga" yoʻnalganligini
belgilaydi. Agar a > 0 boʻlsa, parabola "yuqoriga" (pastga qarab ochiladigan), agar a
< 0 boʻlsa, parabola "pastga" (yuqoriga qarab ochiladigan) yoʻnalgan boʻladi. Bundan
tashqari, |a| ning qiymati qanchalik katta boʻlsa, parabola shunchalik tor boʻladi.
o
b koeffitsienti:
Parabolaning simmetriya oʻqining joylashuvini
aniqlaydi. U x ning oʻzgarishiga qarab, parabolaning chapga yoki oʻngga siljishiga
taʼsir qiladi.
o
c koeffitsienti: Parabola y oʻqini kesib oʻtadigan nuqtani belgilaydi
(yaʼni, y kesmasi). Bu kesma nuqtaning ordinatasi (0, c) ga teng.
3.
Diskriminant:
Kvadrat tenglama (ax² + bx + c = 0) ildizlarining soni va
xarakterini aniqlash uchun diskriminantdan foydalaniladi:
D = b² - 4ac
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-18
Часть–8_ Январь –2025
324
o
Agar D > 0 boʻlsa, kvadrat funksiyaning grafigi x oʻqini ikkita nuqtada
kesib oʻtadi (ikki xil haqiqiy ildizlar).
o
Agar D = 0 boʻlsa, kvadrat funksiyaning grafigi x oʻqiga bir nuqtada
urinadi (bitta haqiqiy ildiz).
o
Agar D < 0 boʻlsa, kvadrat funksiyaning grafigi x oʻqi bilan
kesishmaydi (haqiqiy ildizlari yoʻq).
4.
Ildizlar:
Kvadrat tenglamaning (ax² + bx + c = 0) ildizlari quyidagi
formula yordamida topiladi:
x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a
5.
Simmetriya oʻqi:
Parabolaning simmetriya oʻqi x = -b / 2a formula
bilan topiladi. Bu oʻq parabola tepaligidan oʻtadi. Parabola simmetrik shakl
boʻlganligi sababli, simmetriya oʻqi orqali parabola ikkita bir xil qismga ajraladi.
6.
Tepalik:
Parabolaning
tepaligi
(vertiqsi)
koordinatalari (h,
k) quyidagicha topiladi:
h
=
-b
/
2a
k
=
f(h)
=
a(-b
/
2a)²
+
b(-b
/
2a)
+
c
Tepalik parabolaning eng yuqori yoki eng past nuqtasi boʻlib, uni funksiyaning
maksimum yoki minimum qiymatini aniqlashda qoʻllash mumkin.
7.
Parabolaning Geometrik Xususiyatlari:
o
Fokus:
Parabolaning fokus nuqtasi simmetriya oʻqida joylashgan boʻlib,
uning xususiyati shundaki, parabolaning ixtiyoriy nuqtasidan fokusga va direktrisaga
tushirilgan perpendikulyar masofalar teng boʻladi.
o
Direktrisa:
Parabolaning direktrisasi — bu simmetriya oʻqiga
perpendikulyar boʻlgan toʻgʻri chiziq boʻlib, u parabolaning fokusidan bir xil
masofada joylashgan.
8.
Kvadrat Funksiyaning Integrali:
Kvadrat funksiyaning aniq integrali
(antiderivati)
kub
funksiya
boʻladi
va
quyidagicha
ifodalanadi:
∫(ax²
+
bx
+
c)dx
=
(a/3)x³
+
(b/2)x²
+
cx
+
C
Bu yerda C integrallash doimiysi. Integral kvadrat funksiyaning ostida hosil boʻlgan
yuzani hisoblash uchun muhim.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-18
Часть–8_ Январь –2025
325
Kvadrat Funksiyani Yechish Usullari
1.
Faktorlash (Koʻpaytuvchilarga Ajratish):
Agar kvadrat uchhad
koʻpaytuvchilarga ajratilsa, har bir koʻpaytuvchini nolga tenglashtirib ildizlar
topiladi.
2.
Kvadratni Ajratish (Toʻliq Kvadratga Ajratish):
Kvadrat uchhadni
toʻliq kvadratga keltirib, tenglama yechiladi. Bu usul standart shakldagi funksiyani
hosil qilish uchun qoʻllaniladi.
3.
Diskriminant Formula Yordamida Yechish:
Yuqorida keltirilgan
diskriminant va ildizlar formulalari yordamida tenglama yechiladi.
4.
Grafik Usul:
Parabola grafigi yordamida kvadrat tenglamaning ildizlari
grafikdan olinadi (x oʻqi bilan kesishgan nuqtalari). Bu usul koʻz bilan taxminiy
natijalarni aniqlash uchun qoʻllaniladi.
Kvadrat Funksiyalarning Amaliy Tatbiqlari
Kvadrat funksiyalar turli sohalarda keng qoʻllaniladi:
1.
Fizika:
o
Jismning erkin tushishi yoki otilgan jismning trayektoriyasi kvadrat
funksiya bilan ifodalanadi. Masalan, jismning harakatlanish masofasi va vaqt
orasidagi bogʻliqlik kvadratik ifodaga ega (s = ut + (1/2)gt²).
o
Jismning harakat davomida energiya oʻzgarishini hisoblash kvadratik
tenglamalar orqali amalga oshiriladi (E = (1/2)mv²).
o
Yarim oʻtkazgichlar fizikasida va elektronika sohasida tok va kuchlanish
orasidagi munosabatlar kvadratik funksiyalardan foydalanadi (P = I²R).
2.
Injenerlik:
o
Koʻpriklar va kamarlar qurilishida parabola shakli mustahkamlikni
taʼminlash uchun ishlatiladi. Parabolik shakl yukning teng taqsimlanishiga yordam
beradi.
o
Antennalar va reflektorlar parabola shaklida boʻladi. Bu shakl signallarni
toʻplash va ularni fokuslashda samarali hisoblanadi.
o
Turli xil mexanizmlarning dinamik analizida kvadratik bogʻliqliklar
qoʻllaniladi.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-18
Часть–8_ Январь –2025
326
3.
Iqtisodiyot:
o
Xarajat va daromad munosabatlarini modellashtirishda kvadrat
funksiyalardan foydalaniladi. Masalan, mahsulot sotish hajmi va daromad orasidagi
munosabatni ifodalashda kvadratik funksiya orqali optimal daromad nuqtasini topish
mumkin.
o
Foydani optimallashtirish masalalarida kvadrat funksiyalar qoʻllaniladi.
Iqtisodiy modellarda ishlab chiqarish hajmi, narx va xarajatlar orasidagi munosabatni
hisoblashda kvadrat tenglamalar muhim.
4.
Biologiya:
o
Baʼzi organizmlarning oʻsish surʼati kvadratik funksiya bilan
modellashtirilishi mumkin. Misol uchun, bakteriyalarning koʻpayish sur’ati dastlab
tez boʻlib, soʻngra sekinlashadi, bu esa kvadratik modelga yaqin boʻlishi mumkin.
5.
Optika:
o
Linzalar va nometallar optikasida parabola shakli yorugʻlikni fokuslash
uchun muhim rol oʻynaydi. Parabolik nometallar yorugʻlikni bir nuqtaga toʻplab,
yoritish va kuzatishda samaradorlikni oshiradi.
6.
Xulosa
7.
Kvadrat funksiyalar — bu matematika, fizika, injenerlik, iqtisodiyot va
boshqa koʻplab sohalarda muhim ahamiyatga ega boʻlgan fundamental matematik
tushunchadir. Ularning xususiyatlarini, grafiklarini, yechish usullarini, va geometrik
jihatlarini oʻrganish turli xil amaliy masalalarni yechishda, jarayonlarni
modellashtirishda va muammolarni tahlil qilishda zaruriy bilimlarni beradi. Ushbu
maqola kvadrat funksiyalarning asosiy jihatlarini va tatbiqlarini yoritishga qaratilgan
boʻlib, kelajakda bu mavzuni chuqurroq oʻrganish uchun zamin yaratadi.
Foydalanilgan Adabiyotlar:
1.
Stewart, J. (2012).
Calculus
. Brooks/Cole.
2.
Larson, R., & Hostetler, R. P. (2007).
Precalculus with Limits: A Graphing
Approach
. Houghton Mifflin.
3.
Zill, D. G., & Wright, W. S. (2011).
Calculus: Early Transcendentals
. Jones &
Bartlett Learning.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-18
Часть–8_ Январь –2025
327
4.
Thomas, G. B., Weir, M. D., & Hass, J. (2010).
Thomas' Calculus
. Pearson.
5.
Anton, H., Bivens, I., & Davis, S. (2012).
Calculus
. John Wiley & Sons.
6.
Swokowski, E. W., & Cole, J. A. (2011).
Algebra and Trigonometry with
Analytic Geometry
. Brooks/Cole.
7.
Aufmann, R. N., Barker, V. C., & Nation, R. D. (2010).
College Algebra
.
Brooks/Cole.
8.
Blitzer, R. (2014).
Algebra and Trigonometry
. Pearson.
