МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 7, 31 Июль
90
https://universalpublishings.com
Yensen tengsizligi va uning tadbiqlari.
Fayzullayev B.SH, Masharipov A.M., Atamurotova A.A.
Urganch davlat universiteti
1.Kirish.
Ma’lumki tengsizliklar matematikada katta o’rin egallaydi. Biz ushbu
maqolada tengsizliklarda katta o’rin tutgan Yensen tengsizligi haqida
yozdik.Shuningdek Yensen tengsizligidan foydalanib bir nechta mashhur
tengsizliklarni isbotlash va bir nechta misollarga tadbiqini kiritdik. Bu maqola
asosan matematika bilan shug’llanuvchi va xalqaro olimpiadalarga tayyorlanuvchi
o’quvchilar uchun mo’ljallangan. Biz daslab Yensen tengsizligiga kirishdan oldin
biz uchun muhim bo’lgan funkiyaning qavariqligi haqida biroz ma‘lumotlarni ko’rib
chiqamiz.
2.Funksiyaning qavariqligi va botiqligi.
Faraz qilaylik
f x
funksiya
,
a b
intervalda berilgan bo’lib,
1
2
,
,
x x
a b
uchun
1
2
x
x
bo’lsin.
f x
funskiya grafigining
1
1
,
x f x
,
2
2
,
x f x
nuqtalaridan
o’tuvchi to’g’ri chiziqni
y
l x
quyidagicha
bo’ladi.
1-ta‘rif.
Agar har qanday oraliq
1
2
,
,
x x
a b
intervalda
joylashgan
1
2
,
x
x x
uchun
f x
l x
bo’lsa,
f x
funksiya
,
a b
intervalda quyidan qavariq funksiya
deyiladi. Agar
f x
l x
tengsizlik bajarilsa
f x
funksiya
,
a b
intervalda quyidan qat‘iy qavariq funksiya deyiladi.
2-ta‘rif.
Agar har qanday oraliq
1
2
,
,
x x
a b
intervalda
joylashgan
1
2
,
x
x x
uchun
2
1
1
2
2
1
2
1
x
x
x
x
l x
f x
f x
x
x
x
x
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 7, 31 Июль
91
https://universalpublishings.com
f x
l x
bo’lsa,
f x
funksiya
,
a b
intervalda yuqoridan qavariq funksiya
deyiladi. Agar
f x
l x
tengsizlik
bajarilsa
f x
funksiya
,
a b
intervalda yuqoridan qat‘iy qavariq funksiya deyiladi.
Funksiyaning quyidan va yuqoridan qavaraqligini quyidagicha ham
ta‘riflash ham mumkin.
Aytaylik,
1
2
1
2
0,
0,
1
bo’lib,
1
2
,
,
x x
a b
bo’lsin.
3-ta‘rif.
Agar
1 1
2
2
1
1
2
2
(
)
f
x
x
f x
f x
bo’lsa,
f x
funksiya
,
a b
intervalda quyidan qavariq funksiya
deyiladi. Agar ishora qa‘tiy kichik bo’lsa
,
f x
funksiya
,
a b
intervalda
quyidan qat‘iy qavariq funksiya deyiladi.
4-ta‘rif.
Agar
1 1
2
2
1
1
2
2
f
x
x
f x
f x
bo’lsa,
f x
funksiya
,
a b
intervalda yuqorida qavariq funksiya
deyiladi. Agar ishora qat‘iy katta bo’lsa
,
f x
funksiya
,
a b
intervalda
yuqoridan qat‘iy qavariq funksiya deyiladi.
Endi bir nechta teoremani isbotsiz keltirib o’tamiz.
1-teorema.
Faraz qilaylik,
f x
funksiya
,
a b
intervalda
berilgan bo’lib, unda
f
x
hosilaga ega bo’lsin.
f x
funksiyaning
,
a b
intervalda quyidan qavariq bo’lishi uchun
f
x
ning
,
a b
intervalda o’suvchi bo’lishi zarur va yetarli.
2-teorema.
Faraz qilaylik,
f x
funksiya
,
a b
intervalda
berilgan bo’lib, unda
f
x
hosilaga ega bo’lsin.
f x
funksiyaning
,
a b
intervalda yuqoridan qavariq bo’lishi uchun
f
x
ning
,
a b
intervalda kamayuvchi bo’lishi zarur va yetarli.
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 7, 31 Июль
92
https://universalpublishings.com
⊂
Aytaylik,
f x
funksiya
,
a b
intervalda berilgan bo’lib, u shu
intevalda
f
x
hosilaga ega bo’lsin. Bundan tashqari, (
a, b
) intervalning
har qanay
,
,
,
a b
qismida
f
x
aynan nolga teng
bo’lmasin.
3-teorema.
f x
funksiyaning
,
a b
intervalda quyidan qavariq bo’lishi
uchun
,
a b
intevalda
0
f
x
bo’lishi zarur va yetarli.
4-teorema.
f x
funksiyaning
,
a b
intervalda yuqoridan qavariq
bo’lishi uchun
,
a b
intevalda
0
f
x
bo’lishi zarur va yetarli.
Biz Yensen tengsizligini ko’rganimizda asosan 3 va 4-teoremalardan
foydalanamiz.
3.Yensen tengsizligi.
Yensen tengsizligi.
:
,
f
a b
funsiya
,
a b
intervalda
quyidan qavariq bo’lsin. U holda
n
barcha
1
2
, , ...,
,
n
x x
x
a b
lar
va
1
2
...
1
n
shartni
qanoatlantiruvchi
ixtiyoriy
1
2
,
,...,
0,1
n
sonlar uchun
1 1
2
2
1
1
2
2
...
...
(
)
n
n
n
n
f
x
x
x
f x
f x
f x
tengsizlik o’rinli.
Isbot.
Biz bu tengsizlikni isbotlashda induksiya metodidan
foydalanamiz.
1
n
da
1
1
bo’ladi
va
1
1
f x
f x
ekanligida
biz
1 1
1
1
f
x
f x
tenglikka ega bo’lamiz. Shuning uchun tengsizlik
o’rinli.
Agar
2
n
bo’lsa tengsizlik qavariq funksiyaning ta‘rifiga to’g’ri
keladi.
Faraz
qilaylik
n
k
da
barcha
1
2
,
,...,
,
k
x x
x
a b
lar
va
1
2
...
1
k
shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy
1
2
,
,...,
0,1
k
sonlar uchun
1 1
2
2
1
1
2
2
...
...
(
)
k
k
k
k
f
x
x
x
f x
f x
f x
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 7, 31 Июль
93
https://universalpublishings.com
tengsizlik o’rinli bo’lsin.
1
n
k
da barcha
1
2
1
,
,...,
,
k
x x
x
a b
lar va
1
2
1
...
1
k
shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy
1
2
1
,
,...,
0,1
k
sonlar bo’lsin. U
holda
1 1
2
2
1
1
1 1
2
2
1
1
...
...
k
k
k
k
k
k
x
x
x
x
x
x
x
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
...
1
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
x
x
x
x
1
Agar
1
2
1
1
2
1
1
1
...
1-
1-
1-
k
k
k
k
k
k
y
x
x
x
deb belgilasak.U holda
1
2
,
,...,
,
k
x x
x
a b
ligidan
1
2
1
1
2
1
1
1
...
1-
1-
1-
k
k
k
k
k
k
y
x
x
x
1
2
1
2
1
1
1
1
...
...
1-
1-
1-
1-
k
k
k
k
k
k
a
a
a
a
a
Shunga o’xshash
1
k
y
b
ekanligi isbotlanadi. Demak
1
,
k
y
a b
bo’ladi. Quyidan qavariq funksiya ta‘rifi va
1 dan foydalansak, biz
quyidagiga ega bo’lamiz.
1 1
2
2
1
1
1
1
1
1
...
1
((
)
)
k
k
k
k
k
k
f
x
x
x
f
y
x
1
1
1
1
(1
)
k
k
k
k
f y
f x
2
bizga ma’lumki.
1
2
1
1
1
...
1
1-
1-
1-
k
k
k
k
tenglik o’rinli. U holda
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 7, 31 Июль
94
https://universalpublishings.com
1
2
1
1
2
1
1
1
(
)
(
...
)
1-
1-
1-
k
k
k
k
k
k
f y
f
x
x
x
1
2
1
2
1
1
1
( )
( ) ...
( )
1-
1-
1-
k
k
k
k
k
f x
f x
f x
3
va ninoyat,
2 va
3 dan biz isbotlayotgan
1 1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
...
...
k
k
k
k
f
x
x
x
f x
f x
f x
tengsizlik kelib chiqadi. Demak matematik induksiya metodidan
foydalanib Yensen tengsizligi isbotlandi.
Eslatma.
Agar
f
quyidan qa‘tiy qavariq funksiya bo’lsa, Yensen
tengsizligining tenglik holati faqat
1
2
...
n
x
x
x
bo’lganda
bajariladi.
Agar
f
funksiya yuqoridan qavariq bo’lsa, Yensen tengsizligida faqat
tengsizlik ishorasi o’zgaradi. Ya‘ni
1 1
2
2
1
1
2
2
...
...
(
)
n
n
n
n
f
x
x
x
f x
f x
f x
Yensen tengsizligini yana quyidagich ham yozish mumkin.
Agar
:
f I
funsiya
I
da quyidan qavariq,
1
2
,
,...,
n
x x
x
I
va
1
2
...
0
n
m
m
m
shartni qanoatlantiruvchi
1
2
,
,...,
0
n
m m
m
haqiqiy sonlar
uchun
1
1
2
2
1 1
2
2
1
2
1
2
...
...
...
...
n
n
n
n
n
n
m f x
m f x
m f x
m x
m x
m x
m
m
m
m
m
m
f
tengsizlik o’rinli.
4. Yensen tengsizligidan foydalanib mashhur tengsizliklarni
isbotlash.
AM-GM tengsizligi.
Agar
1
2
,
,...,
n
x x
x
musbat haqiqy sonlar uchun
1
2
1 2
...
...
n
n
n
x
x
x
x
x
n
x
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 7, 31 Июль
95
https://universalpublishings.com
Isbot.
Agar ( )
ln
f x
x
funsiya (0, )
intervalda qaraylik. Bu funsiyaningx
2-tartibli hosilasi
2
1
( )
0
f
x
x
bo’ladi, demak
( )
f x
quyidan qa‘tiy qavariq
funksiya (0, )
intervalda.
1
2
1
...
n
n
va
(0, ),
1,2,...,
i
x
i
n
ucun Yensen tengsizligini
qo’llaymiz.
1
2
1
2
...
ln( )
ln( ) ... ln( )
ln
n
n
x
x
x
x
x
x
n
n
1
2
1
2
ln( )
ln( ) ... ln( )
...
ln
n
n
x
x
x
x
x
x
n
n
1/
1
2
1
2
...
ln(
... )
ln
n
n
n
x
x
x
x x
x
n
bundan
1
2
1
2
...
...
n
n
n
x
x
x
x x
x
n
AM
GM
tengsizligi kelib chiqadi.
Teorema.
(Koshi-Bunyokovskiy tengsizligi) Agar
1
2
1
2
,
,...,
; , ,...,
n
n
a a
a b b
b
haqiqiy sonlar uchun
2
2
2
2
2
2
2
1 1
2 2
1
2
1
2
(
...
)
(
...
)(
...
)
n
n
n
n
a b
a b
a b
a
a
a
b
b
b
tengsizlik o’rinli va tenglik holati faqat va faqat
1
2
1
2
...
n
n
a
a
a
b
b
b
bo’lganda
bo’ladi.
Isbot.
Agar
2
( )
f x
x
funksiyani
sohada qarasak.
( )
2
0
f
x
bo’ladi.
Ya‘ni
( )
f x
funksiyau quyidan qavariq bo’ladi. U holda Yensen tengsizligidan
foydalansak
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 7, 31 Июль
96
https://universalpublishings.com
1 1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
...
( )
( ) ...
( )
...
...
n
n
n
n
n
n
m x
m x
m x
m f x
m f x
m f x
f
m
m
m
m
m
m
.
Biz quyidagini olamiz
2
2
2
2
1 1
2
2
1 1
2
2
1
2
1
2
...
...
...
...
n
n
n
n
n
n
m x
m x
m x
m x
m x
m x
m
m
m
m
m
m
yoki
2
2
2
2
1 1
2
2
1 1
2
2
1
2
(
...
)
(
...
)(
...
)
n
n
n
n
n
m x
m x
m x
m x
m x
m x
m
m
m
Agar
1,2,...
i
n
uchun
i
i
i
a
x
b
,
2
i
i
m
b
deb belgilash kiritsak.
U holda biz quyidagi
2
2
2
2
2
2
2
1 1
2 2
1
2
1
2
(
...
)
(
...
)(
...
)
n
n
n
n
a b
a b
a b
a
a
a
b
b
b
Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga ega bo’lamiz.
Teorema.
(Gyuygens tengsizligi) Agar
1
2
,
,...,
n
a a
a
musbat haqiqiy sonlar
uchun
1
2
1
2
(1
)(1
)...(1
)
(1
...
)
n
n
n
n
a
a
a
a a
a
tengsizlik o’rinli.
Isbot.
Agar
:
f
,
( )
ln(1
)
x
f x
e
funksiyani qarasak. Barcha
x
uchun
2
( )
0
(1
)
x
x
e
f
x
e
tenglik o’rinli bo’ladi. Demak ( )
f x
funksiya quyidan
qavariq bo’ladi.Yensen tengsizligidan foydalanamiz.
1 1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
...
( )
( ) ...
( )
...
...
n
n
n
n
n
n
m x
m x
m x
m f x
m f x
m f x
f
m
m
m
m
m
m
.
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 7, 31 Июль
97
https://universalpublishings.com
Agar
1,2,...
i
n
uchun
1
i
m
n
va
ln
i
i
x
a
deb almashtirish bajarsak,
1
2
1
2
ln
ln
... ln
(ln )
(ln
) ...
(ln
)
n
n
a
a
a
f
a
f
a
f
a
f
n
n
1
2
1
2
ln
...
ln(1
)
ln(1
) ... ln(1
)
ln 1 exp
n
n
a a
a
a
a
a
n
n
1
2
1
2
ln(1
...
)
ln(1
)(1
...(1
))
n
n
n
n
a a
a
a
a
a
1
2
1
2
(1
)(1
)...(1
)
(1
...
)
n
n
n
n
a
a
a
a a
a
bu esa Gyuygens tengsizligi.
Teorema
.(Yung tengsizligi) Agar ,
1
p q
haqiqiy sonlar
1
1
1
p
q
tenglikni
qanoatlantirsa. u holda ixtiyoriy
,
0
a b
uchun
p
q
a
b
ab
p
q
tengsizli o’rinli va
tenglik holati faqat va faqat
p
q
a
b
bo’ladi.
Isbot.
Agar ( )
x
f x
e
funksiyani (0, )
sohada qarasak
( )
0
x
f
x
e
bo’ladi
ixtiyoriy
x
. Demak
( )
f x
funksiya (0, )
sohada quyidan qavariq. Yensen
tengsizligidan
2
n
bo’lgan holidan foydalanamiz.
1 1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
( )
( )
m x
m x
m f x
m f x
f
m
m
m
m
tengsizlikda
1
2
1
1
1
,
,
ln
m
m
x
p
a
p
q
va
2
ln
x
q
b
belgilask kiritsak.
1
2
1
2
1
2
1
1
( )
( )
x
x
x
y
p
q
x
x
e
e
f
f x
f x
e
p
q
p
q
p
q
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 7, 31 Июль
98
https://universalpublishings.com
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
p
q
p
a
q
b
a
b
a
b
ab
e
e
e
e
e
e
p
q
p
q
p
q
a
b
ab
p
q
tensizlikga ega bo’lamiz. Tenglik holati
1
2
x
x
bo’lganda,ya‘ni,
p
q
a
b
holda
bo’ladi. Yung tengsizligi isbotlandi.
Teorema.
(Gyolder tengsizligi) Agar
1
2
1
2
,
,...,
; , ,...,
n
n
a a
a b b
b
musbat haqiqiy
sonlar va
1
1
1
p
q
sharni qanoatlantiruvchi ,
1
p q
sonlar uchun
1
1
1
1
1
n
n
n
p
q
p
q
i
i
i
i
i
i
i
a b
a
b
tengsizlik o’rinli va tenglik holati faqat va faqat
1
2
1
2
...
p
p
p
n
q
q
q
n
a
a
a
b
b
b
da o’rinli.
Isbot.
:
, ( )
p
f
f x
x
funsiya
1
p
uchun qaraymiz.
( )
f x
funksiya
quyidan qavariq chunki
2
( )
(
1)
0
p
f
x
p p
x
bo’ladi. U xolda Yensen
tengsizligigni qo’llasak.
1 1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
...
( )
( ) ...
( )
...
...
n
n
n
n
n
n
m x
m x
m x
m f x
m f x
m f x
f
m
m
m
m
m
m
1 1
2
2
1 1
2
2
1
2
1
2
...
...
...
...
p
p
p
p
n
n
n
n
n
n
m x
m x
m x
m x
m x
m x
m
m
m
m
m
m
.
yoki
1
1 1
2
2
1
2
1 1
2
2
(
...
)
(
...
)
(
...
)
p
p
p
p
p
n
n
n
n
n
m x
m x
m x
m
m
m
m x
m x
m x
1
1
1 1
2
2
1
2
1 1
2
2
...
(
...
)
(
...
)
p
p
p
p
p
q
n
n
n
n
n
m x
m x
m x
m
m
m
m x
m x
m x
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 7, 31 Июль
99
https://universalpublishings.com
1
1
1
p
q
tenglikdan
1
1
p
p
q
tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikni
yuqoridagi tengsizlikga qo’ysak.
1
1
1
1
1
n
n
n
q
p
p
i
i
i
i
i
i
i
i
m x
m
m x
1,2,...,
i
n
uchun
q
i
i
m
b
va
1
q
i
i
i
x
a b
deb belgilash kiritsak. Biz
1
1
1
1
1
.
n
n
n
p
q
p
q
i
i
i
i
i
i
i
a b
a
b
Gyolder tengsizligiga ega bo’lamiz.
Eslatma.
Agar
2
p
q
bo’lsa Gyolder tengsizligidan Koshi-Bunyokovskiy
tengsizligi kelib chiqadi.
Teorema.
(Minkovskiyning ikkinchi tengsizligi) Agar
1
2
1
2
,
,...,
; , ,...,
n
n
a a
a b b
b
musbat haqiqiy sonlar va
1
p
sonlar uchun
1
1
1
1
1
(
)
p
p
q
n
n
n
p
q
q
i
i
i
i
i
i
i
a
b
a
b
tensizli o’rinli va tenglik holadi faqat va faqat
1
2
1
2
...
n
n
a
a
a
b
b
b
bo’lganda
bo’ladi.
Isbot.
Agar
1
:
, ( )
(1
)
p
p
f
f x
x
funksiya
1
p
da quyidan qa‘tiy
qavariq chunki
1 2
1
( )
(
1)(
1)
0
p
p
p
p
f
x
p
x
x
ixtiyoriy
x
va
1
p
lar
uchun.Yensen tengsizligidan foydalansak.
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 7, 31 Июль
100
https://universalpublishings.com
1
1 1
2
2
1
2
...
1
...
p
p
n
n
n
m x
m x
m x
m
m
m
1
1
1
1
1
2
2
1
2
(
(1
)
(1
)
...
(1
)
...
p
p
p
p
p
p
n
n
n
m
x
m
x
m
x
m
m
m
1
1
1
1
1
(( )
(
) )
p
p
p
n
n
n
p
p
p
i
i
i
i
i
i
i
i
i
m
m x
m
m x
Agar biz
1,2,...,
i
n
uchun
i
i
m
a
va
i
i
i
b
x
a
almashtirish bajarsak
1
1
1
1
1
(
)
p
p
q
n
n
n
p
q
q
i
i
i
i
i
i
i
a
b
a
b
tegsizliga ega bo’lamiz. Tengsizlik isbotlandi.
Teorema.
(Minkoviskiyning uchinchi tengsizligi)
Agar
1
2
1
2
,
,...,
; , ,...,
n
n
a a
a b b
b
musbat haqiqiy sonlar uchun
1
2
1 2
1
1
2
2
...
...
(
)(
)...(
)
n
n
n
n
n
n
n
a a
a
b b
b
a
b a
b
a
b
tengsizlik o’rinli va tenglik holati faqat va faqat
1
2
1
2
...
n
n
a
a
a
b
b
b
bo’lganda
barajiriladi.
Isbot.
Agar
( )
ln(1
)
x
f x
e
funksiyani
da quyidan qavariq chunki
2
( )
0
(1
)
x
x
e
f
x
e
ixtiyoriy
x
uchun. Yensin tensizligidan foydalansak
1 1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
...
( )
( ) ...
( )
...
...
n
n
n
n
n
n
m x
m x
m x
m f x
m f x
m f x
f
m
m
m
m
m
m
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 7, 31 Июль
101
https://universalpublishings.com
tengsizlikda
1,2,...,
i
n
uchun
1
i
m
n
va
ln
i
i
i
b
x
a
almashtirish bajaramiz.
1
1
1
1
ln 1 exp(
ln
)
ln 1 exp(ln
)
n
n
i
i
i
i
i
i
b
b
n
a
n
a
1
1
1
ln 1
ln
(1
)
n
n
i
i
n
i
i
i
i
b
b
a
n
a
1 2
1
2
1
2
1
2
...
1
(1
)(1
)...(1
)
...
n
n
n
n
n
n
b b
b
b
b
b
a a
a
a
a
a
tengsizlikning ikkala tomonini
1
2
...
n
n
a a
a
ga ko’paytirsak
1
2
1 2
1
1
2
2
...
...
(
)(
)...(
)
n
n
n
n
n
n
n
a a
a
b b
b
a
b a
b
a
b
tengsizlik kelib chiqadi. Minkovskiy tengsizligi isbotlandi.
5.Yensen tengsizligining tadbiqlari.
1-misol.
ABC uchburchakning
,
va
burchaklari uchun quyidagi
tengsizlikni isbotlang.
3 3
sin sin sin
8
Isbot.
Bizga
malumki
, ,
(0, )
va
sin ,sin ,sin
0
bo’ladi. U holda
AM
GM
tengsizligidan foydalanib
3
sin
sin
sin
sin sin sin
3
ga ega bo’lamiz.
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 7, 31 Июль
102
https://universalpublishings.com
Endi
( )
sin
f x
x
funksiya
(0, )
da
yuqoridan qavariq chunki
( )
sin
0
f
x
x
bo’ladi barcha
(0, )
x
uchun. Yensin tengsizligidan
foydalanamiz.
sin
sin
sin
3
sin
3
3
2
U holda
3
sin
sin
sin
3
sin sin sin
3
2
3 3
sin sin sin
8
tengsizlik hosil bo’ladi.Tengsizlik isbotlandi.
2-misol.
Agar
0,
0,
0
x
y
z
va
1
x
y
z
bo’lsa quyidagi tengsizlikni
isbotlang.
1
1
1
1
1
1
64
x
y
z
Isbot.
Agar
1
( )
ln(1
)
f t
t
funksiyani (0, )
sohada qarasak.
f
funksiya
quyidan qavariq chunki
2
2
1
1
( )
0
(1
)
f t
t
t
bo’ladi ixtiyoriy
(0, )
x
uchun.
3
n
holida Yensen tengsizlikini qo’llasak.
1 1
2
2
3
1
1
2
2
3
3
(
)
( )
( )
( ).
f
x
x
x
f x
f x
f x
Agar
1
2
3
1
2
3
1
,
,
,
3
x
x x
y x
z
deb belgilash kiritamiz
1
( ( )
( )
( ))
3
3
3
3
x
y
z
f
f x
f y
f z
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 7, 31 Июль
103
https://universalpublishings.com
1
1
1
3
ln(1
)
ln(1
)
ln(1
)
3ln(1
)
x
y
z
x
y
z
1
1
1
ln(1
)(1
)(1
)
3ln 4
x
y
z
1
1
1
(1
)(1
)(1
)
64
x
y
z
kelib chiqadi.Tengsizlik isbotlandi.
3-misol.
1
2
,
,...,
1
n
a a
a
haqiqiy sonlar uchun
1 2
1
2
...
1
2
1
2
(
... )
...
n
n
n
a a
a
a
a
a
n
n
a a
a
a a
a
tengsizlikni isbotlang.
Isbot.
Agar ( )
x
f x
xe
funksiya (0, )
sohada qaraymiz.
f
funksiya quyidan
qavariq chunki
( )
2
0
x
x
f
x
e
xe
bo’ladi ixtiyoriy
(0, )
x
uchun. Yensen
tengsizligini qo’llaymiz.
1 1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
...
( )
( ) ...
( )
...
...
n
n
n
n
n
n
m x
m x
m x
m f x
m f x
m f x
f
m
m
m
m
m
m
Agar
1
2
...
1
n
m
m
m
deb belgilasak
1
2
1
2
...
( )
( ) ...
( )
n
n
x
x
x
f x
f x
f x
f
n
n
.
1
2
1
2
...
1
2
1
2
(
...
)
...
n
n
x
x
x
x
x
x
n
n
n
x
x
x e
x e
x e
x e
Agar
1,2,...,
i
n
uchun
i
i
x
lna
deb belgilsh kiritsak va soddalashtirsak.
1 2
ln(
...
)
1
2
1
1
2
2
ln(
... )
ln
ln
...
ln
n
a a
a
n
n
n
n
a a
a e
a
a
a
a
a
a
2
1
1
...
1
2
1
2
1
2
ln(
... )(
... )
ln(
)
an
n
a
a
a
n
n
n
a a
a
a a
a
a a
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 7, 31 Июль
104
https://universalpublishings.com
1 2
1
2
...
1
2
1
2
(
... )
...
n
n
n
a a
a
a
a
a
n
n
a a
a
a a
a
tengsizlik kelib chiqadi. Tengsizlik isbotlandi.
4-misol.
Agar
1
2
,
,...,
n
a a
a
musbat haqiqiy sonlar bo’lsin u holda k ning qanday
qiymatida quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi.(bu yerda k soni n ga bog'liq)
1
2
1
2
...
...
n
n
n
n
n
n
a
a
a
k a
a
a
Yechish.
Agar
:
, ( )
p
f
f x
x
funsiya 0
1
p
uchun qaraymiz.
( )
f x
funksiya yuqoridan qavariq chunki
2
( )
(
1)
0
p
f
x
p p
x
bo’ladi. U xolda
Yensen tengsizligigni qo’llasak.
1 1
2
2
1 1
2
2
1
2
1
2
...
...
...
...
p
p
p
p
n
n
n
n
n
n
m x
m x
m x
m x
m x
m x
m
m
m
m
m
m
.
yoki biroz soddalashtirsak
1
1 1
2
2
1
2
1 1
2
2
(
...
)
(
...
)
(
...
)
p
p
p
p
p
n
n
n
n
n
m x
m x
m x
m
m
m
m x
m x
m x
ko’rinishga keladi. Agar
1,2,...,
i
n
uchun
i
i
x
a
,
1
2
1
...
,
n
m
m
m
n
va
1
p
n
deb belgilash kiritsak
1
1
1
1
1
2
1
2
...
...
(
)
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
n
n
1
1
2
1
2
...
...
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
n
a
a
a
bo’ladi. Demak
1
n
n
k
n
ekan.
ADABIYOTLAR:
МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Researchbib Impact factor: 11.79/2023
SJIF 2024 = 5.444
Том 2, Выпуск 7, 31 Июль
105
https://universalpublishings.com
1. G.Xudayberganov, A.K.Vorisov, X.T.Mansurov, B.A.Shoimqulov.
Matematika analiz
fanidan ma’ruzalar, 1-qism. “Voris-nashriyoti” , Toshkent -2010.
2. T.Azlarov, X.Mansurov. Matematika analiz, 1-qism. Toshkent-1995.
3. Zdravko Cvetkovski,"Inequalities",Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012.
4. Sh. Ismailov, O. Ibrogimov. Tengsizliklar-II. Isbotlashning zamonaviy
usullari,
Toshkent, 2008 y.
5.
Hayk
Sedrakyan,Nairi
Sedrakyan,Algebraic
Inequalities,Springer
International Publishing AG, part of Springer Nature 2018.
