ISSN:
2181-3906
2023
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 2 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
310
TRIGONOMETRIK TENGLAMALARNI YECHISH USULLARI HAQIDA
Jabborova Xurshida Raximberganovna
Toshkent shahar Yakkasaroy tumani 26-maktabning matematika fani o‘qituvchisi
https://doi.org/10.5281/zenodo.7789727
Annotatsiya.
Ushbu maqolada trigonometrik tenglamalarni yechish usullari haqida
ma’lumotlar berilgan. Trigonometrik tenglamalar haqida tushunchalar keltirilgan va misollar
yechish orqali tahlilqilingan.
Kalit so‘zlar:
Trigonometriya, funksiyaning chegaralanganlik xossasi, proporsiya.
О СПОСОБАХ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация.
В этой статье представлена информация о методах решения
тригонометрических уравнений. Даны понятия о тригонометрических уравнениях и
проанализированы на примерах решения.
Ключевые слова:
тригонометрия, свойство предела функции, пропорция.
ABOUT METHODS FOR SOLVING TRIGONOMETRIC EQUATIONS
Abstract.
This article provides information on methods for solving trigonometric equations.
Concepts about trigonometric equations are presented and analyzed by solving examples.
Keywords:
trigonometry, function delimitation property, proportion.
Uzluksiz ta’limning barcha bosqichlaridagi o’quvchi va talabalarni teran fikrlovchi bilimli
va mantiqiy xulosa chiqara oluvchi sifatida tarbiyalash bugungi kunda ta’lim beruvchilar oldidagi
eng muhim vazifa hisoblanadi. Kelajak uchun har tomonlama yetuk mutaxassis kadrlar
tayyorlashning mohiyati, zaruriyati, zamonaviy fan va texnikaning rivojlanish talablariga mos
barkamol avlodni tarbiyalash masalalarini izchillik bilan tashkil etish, bu boradagi dolzarb
masalalar va ularni amalga oshirish chora tadbiri milliy dasturda belgilab berilgan. Shu
ma’noda trigonometrik tengsizliklarni o’rganishning innavatsion usulini misol tariqasida
keltirishni lozim topdik.
Ma’lumki, trigonometriya matematikaning muhim bo’limlaridan biri
hisoblanib, geometriya va astronomiya fanlarining ham asosi hisoblanadi.
“Trigonometriya” atamasi grekcha “trigono” - uchburchak va “metrio” –
o‘lchayman so‘zlaridan olingan bo‘lib, birgalikda “uchburchakni o‘lchash” ma’nosini anglatadi.
O‘quvchilar eng sodda trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni yecha
oladilar; tenglamalar va tengsizliklar va ularning sistemalarini yechadi, yechimini tekshiradi.
Trigonometrik tenglamalarni ko‘rinishiga qarab yechishning bir qancha usullari mavjud.
Bularga o‘rniga qo‘yish, ratsionallashtiradigan o‘rniga qo‘yishlar, trigonometrik tenglamalarni
yechishning har xil xususiy hollari, sun’iy shakl almashtirishlardan foydalanib trigonometrik
tenglamalarni yechish va hokazo. Ba’zi hollarda berilgan tenglamalarni biz bilgan usullar
bilan
yechish
ancha
murakkab
bo‘ladi. Bunday tenglamalarni yechishning nostandart
ISSN:
2181-3906
2023
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 2 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
311
usullariga to‘xtab o‘tamiz. Sun’iy shakl almashtirish talab qiladigan trigonometrik tenglamalarni
yechishda quyidagi usullardan foydalaniladi.
I.Tenglamaning har ikki tomonini bir hil trigonometrik funksiyaga ko‘paytirish.
2
2
2
2
5
7
7
2
2
7
5
7
n
n
n
.
2
5
1-misol.
2 cos
x
(2 cos 4
x
1)
1
tenglamani yeching.
Yechish: Qavslarni ochib,
4 cos4
x
cos
x
2 cos
x
1
ni,
cos4
x
cos
x
ko‘paytmani shakl
almashtirib
2 cos5
x
2 cos3
x
2 cos
x
1
ni hosil qilamiz.
Tenglamaning har 2 tomonini
sin
x
ga ko‘paytiramiz.
x
n
,
n
Z
tenglamaning yechimi bo‘lmasligini ko‘ramiz.
2sin
x
cos5
x
2sin
x
cos3
x
2 cos
x
sin
x
sin
x
.
Tenglamaning chap tomonida turgan ko‘paytmani shakl almashtiramiz.
sin 6
x
sin 4
x
sin 4
x
sin 2
x
sin 2
x
sin
x
;
sin 6
x
sin
x
2 sin
5
x
cos
7
x
0
.
Bundan
2 sin
5
x
0
yoki
cos
7
x
0
.
Bu tenglamalardan
x
2
x
;
k
Z
.
x
2
m
,
m
Z
.
Bu ildizlar orasidan
x
n
,
n
z
ko‘rinishdagi ildizlarni chiqarib tashlaymiz.
a)
2
5
k
n
,
n
Z
,
k
5
n
;
n
Z
.
n
= juft son ekanligi ma’lum.
n
2
l
,
l
Z
. Shuning uchun
k
5
l
,
l
Z
.
b)
(1
2
m
)
n
,
n
Z
,
m
7
n
1
,
n
Z
m
Z
bo‘lgani uchun
n
2
p
1,
Z
, u holda
m
7
p
3,
p
Z
Javob:
2
k
,
k
Z
,
k
5
l
,
l
Z
(1
2
m
)
;
m
Z
,
m
7
p
3,
p
Z
.
II.Tenglamaning har 2 tomoniga bir hil son yoki bir hil trigonometrik funksiyani
qo‘shish.
2-misol.
tgx
tg
2
x
tg
3
x
tg
4
x
tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamaning aniqlanish sohasi
x
2
n
,
x
4
2
;
x
6
3
;
x
8
4
;
n
Z
Tenglamaning har 2 tomoniga 1 ni qo‘shamiz.
tgxtg
2
x
1
tg
3
xtg
4
x
1
.
cos
x
cos
x
cos
x
cos2
x
cos3
x
cos4
x
tenglamaning har 2 tomonini
cos
x
0
ga bo‘lamiz.
cos
x
cos3
x
cos7
x
cos
x
cos7
x
cos3
x
0
sin 2
x
sin 5
x
0
; u holda
x
k
,
k
Z
yoki
x
t
,
t
Z
.
Birinchi
ildizlar to‘plamidan tenglamaning aniqlanish sohasiga faqat
x
m
,
m
Z
ISSN:
2181-3906
2023
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 2 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
312
2
5
4
5
1
2
2
4
4
4
1
2
1
a
c
;
;
;
.
c
d
b
a
c
b
tgx
sin10
1
0
0
tegishli, ammo bu ildizlar to‘plami
x
5
t
,
t
Z
da mavjud.
x
5
t
;
t
Z
tenglamaning aniqlanish sohasiga tegishli ekanligini ko‘rish qiyin emas.
Masalan,
t
n
,
4
t
5
10
n
;
4
t
10
n
5
.
Oxirgi tenglikning chap qismi juft, o‘ng qismi toq sondir.
Javob:
x
t
;
t
Z
.
III.Tenglamaning biror bir qismini ayniy shakl almashtirish. (Bir xil ifodani
qo‘shish yoki ayirish).
3-misol.
cos7
x
cos
3
x
tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamaning chap qismini shakl almashtiramiz.
(cos7
x
cos5
x
)
(cos5
x
cos3
x
)
(cos3
x
cos
x
)
cos
x
cos
3
x
;
2sin 6
x
sin
x
2sin 4
x
sin
x
2sin 2
x
sin
x
cos
x
cos
3
x
;
2 sin
x
(sin 6
x
sin 4
x
sin 2
x
)
cos
x
(cos
2
x
1)
;
2sin
x
(2sin 4
x
cos 2
x
sin 4
x
)
sin
2
x
cos
x
0;
8sin
2
x
cos
x
cos 2
x
(2 cos 2
x
1)
sin
2
x
cos
x
0;
bundan
sin
2
x
cos
x
0,
u holda
x
2
n
,
n
z
yoki
8 cos2
x
(2 cos2
x
1)
1
0
.
16 cos
2
2
x
8 cos2
x
1
0
.
cos2
x
1
2
;
x
1
arccos
k
,
k
Z
.
Javob:
2
n
,
n
Z
,
2
arccos
k
;
k
Z
.
IV.
b
d
proporsiyadan foydalanish.
a
b
c
d a
b
c
d
a
c
a
a
a
c
a
b
c
d
a
b
c
d
b
d
b
b
b
d
Bu tengliklardan foydalanish tenglamaning aniqlanish sohasining kengayishiga
olib keladi.
Agar
a
d
(
b
0;
d
0)
bo‘lsa,
a
b
c
d
;
bunda
a
b
va
c
d
.
4-misol.
2
2
3 cos10
1
tg
3
x
tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamaning aniqlanish sohasi
cos3
x
0, cos
x
0, sin
x
0
tengsizliklar bilan
aniqlanadi.
Proporsiya xossasiga ko‘ra
2 3 cos10
0
2sin10
0
2
tg
3
x
tgx
2 3 cos10
0
2sin10
0
tg
3
x
tgx
ISSN:
2181-3906
2023
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 2 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
313
2 cos 2
x
;
2 cos 2
x
;
3 cos10
0
sin10
0
1 sin 4
x
3 cos10
0
sin10
0
sin 2
x
2 cos 20
0
1
cos 20
0
cos 60
0
2 cos 40
0
cos 40
0
cos2
x
cos20
0
.
x
10
0
180
0
n
;
n
Z
.
Javob:
10
0
180
0
n
;
n
Z
.
Trigonometrik tenglamalarni yechishda matematik tahlil elementlaridan
foydalanish.
I. Funksiyaning aniqlanish sohasidan foydalanish.
Ba’zi hollarda tenglamaning aniqlanish sohasini bilish tenglamaning ildizi
yо‘qligini isbotlashni, ba’zida esa tenglamaning yechimini aniqlanish sohasidan son
qо‘yib kо‘rib topishni taqozo qiladi.
1-misol.
sin
x
4
sin
x
tgx
(1) tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasi
sin
x
0
sin
x
0
x
2
n
;
n
z
dan iborat. Bundan
x
k
,
k
z
.
x
ning bu qiymatini (1) tenglamaga qо‘yib uning о‘ng
va chap tomonlari 0 ga tengligini kо‘ramiz. Demak, hamma
x
k
;
k
z
lar
tenglamaning ildizi bо‘lar ekan.
J:
x
k
;
k
z
.
II.Funksiyaning chegaralanganlik xossasidan foydalanish.
Tenglamalarni yechishda funksiyaning biror tо‘plamda quyidan yoki yuqoridan
chegaralanganligi xossasi kо‘p hollarda katta rol о‘ynaydi. Masalan, biror
M
tо‘plamdagi
barcha
x
lar uchun
f
(
x
)
A
va
g
(
x
)
A
(
A
biror son) tengsizliklar о‘rinli bо‘lsa, u holda
M
tо‘plamda
f
(
x
)
g
(
x
)
tenglama yechimga ega emas.
A
soni о‘rnida kо‘p hollarda nol bо‘ladi, bu esa
f
(
x
)
va
g
(
x
)
funksiyalarning
M
tо‘plamda ishorasi saqlanishini bildiradi.
2-misol.
sin(
x
3
2
x
2
1)
x
2
2
x
3
tenglamani yeching.
Yechish: Ixtiyoriy
x
haqiqiy soni uchun
sin(
x
3
2
x
2
1)
1
.
x
2
2
x
3
(
x
1)
2
2
2
.
Bundan esa ixtiyoriy
x
haqiqiy soni uchun tenglamaning chap tomoni 1 dan oshmaydi,
о‘ng tomoni har doim 2 dan kichik emasligini kо‘ramiz. Demak, tenglamaning yechimi
yо‘q ekan.
J:
.
3-misol. 2sin
x
5
x
2
2
x
3
tenglamani yeching.
Yechish: Ma`lumki,
y
5
x
2
2
x
3 funksiyaning grafigi
y
2sin
x
funksiyaning
grafigidan yuqorida yotadi.U holda 5
x
2
2
x
3
2sin
x
Javob:
.
Ushbu maqolada trigonometrik tenglamalarning yechimidan innovatsion foydalanib
ishlash. Bu o‘quvchilarda trigonometriyaga va umuman olganda, matematikaga
qiziqishini oshiradi, degan xulosaga kelish mumkin.
ISSN:
2181-3906
2023
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 2 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
314
REFERENCES
1.
Jumaniyozov, Q., Muhammedova, G.(2014). Matematikadan misol va masalalar yechish
metodikasi.
Oʻquv qoʻllanma T: Brok class servis.
2.
Mamatova, Z. M., Tolibov, I. S., & Nishonov, F. M. (2019). To the question of science
approach to the construction of outsourcing business model of modern enterprise
structure.
Достижения науки и образования
, 22.
3.
Nishonov, F. M., Shaev, A. K., (2021). Some questions of the organization of
individual works of students in mathematics in the conditions of credit
training.
Theoretical & Applied Science
, (4), 1-7.
4.
4.
Nishonov, F.M. (2018). Some questions of design of tasks in mathematics.
ISJ
Theoretical
&
Applied
Science,
09
(65):
41-
44.
Doi: https://dx.doi.org/10.15863/TAS.2018.09.65.7
5.
Говорова, К. Ф. (2018). Формирование базисных компетенций по решению
тригонометрических уравнений и неравенств.
Научный электронный журнал
Меридиан
, (4), 15-17.
6.
6.Груздева,
Е.
А.
(2020).
О
нестандартных
способах
решения тригонометрических уравнений.
Некоторые вопросы анализа, алгебры,
геометрии и математического образования
, (10), 59-60.
7.
7.Набиева,
Д.
Г.
(2021).
Методика
решения нестандартных
тригонометрических уравнений в курсе начала математического анализа.
Научные
исследования XXI века
, (1), 16-19.
