ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
7
CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI YECHIMINI C++ DASTURI YORDAMIDA
KRAMER USULIDA TOPISH
Butaboyeva Durdona Olimjon qizi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15104381
Ma’lumki, kramer usuli (yoki Cramer's rule) - determinantlar yordamida chiziqli
tenglamalar sistemasini yechish usuli bo‘lib, kvadrat matritsaga ega bo‘lgan sistemalar uchun
qo‘llaniladi. Bu usul har bir noma'lumning qiymatini topish uchun asosiy matritsaning
determinantlari bilan ishlaydi. Asosan 2x2, 3x3 kabi kichik o‘lchamli tenglamalar
sistemalarida samarali bo‘ladi.
Kramer usuli odatda determenantlar usuli ham deb ataladi. Bu usulning algoritmi
quyidagicha. Dastlab quyidagi (n+1) ta n - tartibli
nn
n
n
n
n
a
...
a
a
.......
..........
a
...
a
a
a
...
a
a
2
1
2
22
21
1
12
11
nn
n
n
n
n
x
a
...
a
b
.......
..........
a
...
a
b
a
...
a
b
2
2
22
2
1
12
1
1
. . .
n
n
n
n
x
b
...
a
a
.......
..........
b
...
a
a
b
...
a
a
2
1
2
22
21
1
12
11
determinantlarning qiymatlari hisoblanadi va no‘malumlar
1
1
x
x
,
2
2
x
x
, . . . ,
n
x
n
x
formulalar yordamida topiladi [5].
Chiziqli tenglamalar sistemasi yechimini Oddiy iteratsiya usulida topish
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
а
х
а
х
а
b
x
a
х
а
х
а
b
x
a
х
а
х
а
...
....
..........
..........
..........
..........
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
(1)
(1) tenglamalar tizimi almashtirishlar va belgilashlar natijasida quyidagi tizimga olib
kelinadi:
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
...
...
..........
..........
..........
..........
...
...
3
3
2
2
1
1
2
3
23
1
22
1
21
2
2
1
3
13
2
12
1
11
1
1
(2)
Bu yerda
0
;
;
ii
ii
ij
ij
ii
i
i
a
a
a
a
b
.
Bu yangi olingan tizimni qulaylik uchun matritsa ko‘rinishida yozamiz
AX
B
X
Bu yerda –
X={x
j
}, B={β
j
}
vektor;
A
diagonal elementlari nolga teng matritsa
A={
ij
}
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
8
Bu tizimni ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechamiz.
B={β
j
}
vektorini boshlang‘ich
nolinchi yaqinlashish deb olib,
(k+1)
yaqinlashish hisoblash formulasini quyidagicha yozamiz
[3]
).
,...
2
,
1
,
0
(
)
(
)
1
(
n
k
AX
B
X
k
k
Bu ketma-ket yaqinlashish
x
(0)
, x
(1)
, x
(2)
, . . . , x
(k)
limitga ega bo‘lsa, u holda bu limit tizim
yechimi bo‘ladi. Iteratsiya usuli bo‘yicha hisoblash oldindan berilgan aniqlik
>0
son uchun
|X
k
– X
k-1
| ≤
tengsizlik bajarilgunga qadar davom etadi. Iteratsiya jarayoni yaqinlashuvchi bo‘lishi
uchun
A
matritsaning
1
|
|
max
1
1
n
j
ij
i
A
;
1
|
|
max
1
2
n
i
ij
j
A
;
1
|
|
1
1
2
3
n
i
n
j
ij
A
formulalaridan birortasi bajarilishi yetarlidir [4].
Kramer usuli (Cramer's rule) chiziqli tenglamalar sistemasining yechimlarini
determinantlar yordamida topishga asoslangan. Quyida C++ tilida n o'lchovli chiziqli
tenglamalar sistemasini Kramer usulida yechish uchun dastur algoritmini tuzamiz [1].
Dastur algoritmi:
1.
Matritsa determinantini hisoblash.
2.
Har bir o'zgaruvchi uchun determinantlarni o'zgartirilgan matritsa yordamida
hisoblash.
3.
Kramer usuliga ko'ra o'zgaruvchilarning qiymatlarini topish.
Dastur uchta tenglama va uchta noma'lum uchun yozildi [6].
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
// Matritsa determinantini hisoblaydigan funksiya (3x3 matritsa uchun)
double determinant3x3(vector<vector<double>> mat) {
double det = mat[0][0] * (mat[1][1] * mat[2][2] - mat[1][2] * mat[2][1])
- mat[0][1] * (mat[1][0] * mat[2][2] - mat[1][2] * mat[2][0])
+ mat[0][2] * (mat[1][0] * mat[2][1] - mat[1][1] * mat[2][0]);
return det;
}
// Kramer usuli bilan tenglamalar sistemasini yechish funksiyasi [2]
void kramerMethod(vector<vector<double>> A, vector<double> B) {
// Asosiy matritsaning determinantini hisoblash
double detA = determinant3x3(A);
if (detA == 0) {
cout << "Tizimning yechimi yo'q yoki cheksiz ko'p yechimga ega." << endl;
return;
}
// X1 o'zgaruvchisi uchun determinantni hisoblash
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
9
vector<vector<double>> A1 = A;
for (int i = 0; i < 3; i++) {
A1[i][0] = B[i]; // 1-ustunni B vektori bilan almashtiramiz
}
double detA1 = determinant3x3(A1);
// X2 o'zgaruvchisi uchun determinantni hisoblash
vector<vector<double>> A2 = A;
for (int i = 0; i < 3; i++) {
A2[i][1] = B[i]; // 2-ustunni B vektori bilan almashtiramiz
}
double detA2 = determinant3x3(A2);
// X3 o'zgaruvchisi uchun determinantni hisoblash
vector<vector<double>> A3 = A;
for (int i = 0; i < 3; i++) {
A3[i][2] = B[i]; // 3-ustunni B vektori bilan almashtiramiz
}
double detA3 = determinant3x3(A3);
// Kramer usuli bo'yicha yechimlarni hisoblash
double x1 = detA1 / detA;
double x2 = detA2 / detA;
double x3 = detA3 / detA;
// Yechimlarni ekranga chiqaramiz
cout << "Tenglamalar sistemasining yechimlari:" << endl;
cout << "x1 = " << x1 << endl;
cout << "x2 = " << x2 << endl;
cout << "x3 = " << x3 << endl;
}
int main() {
// 3x3 matritsa (tenglamalar sistemasining koeffitsientlari)
vector<vector<double>> A = {
{2, -1, 3},
{4, 1, 2},
{3, 2, -4}
};
// B vektori (tenglamalarning o'ng tomoni)
vector<double> B = {5, 9, -6};
// Kramer usuli orqali yechishni chaqiramiz
kramerMethod(A, B);
return 0;}
determinant3x3 funksiyasi 3x3 matritsaning determinantini hisoblaydi.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
10
kramerMethod funksiyasi Kramer usuliga ko'ra x1, x2 va x3 o'zgaruvchilarining
qiymatlarini topadi.
Dasturdagi matritsa va vektorlarni xohlaganingizcha o'zgartirishingiz mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
Shohamidov Sh. Amaliy matematika unsurlari. O‘quv qo‘llanma. Toshkent, “Fan va
tehnologiya”, 2016, 212 b.
2.
Raisov M. Matematik programmalash. Darslik. “Cho‘lpon nomidagi” NMIU Tashkent:
2013, 208 b.
3.
Xabibullayeva I. Iqtisodiy matematik usullar va modellar. O‘quv qo‘llanma. Toshkent,
“Tafakkur bo‘stoni”, 2012, 112 b.
4.
Isroilov M. Hisoblash usullari. Darslik.Toshkent, “Iqtisod-Moliya”, 2008, 320 b
5.
Mo‘minov Sh. Matematik modellar va usullar. Darslik.Toshkent, “Turon-Istiqbol”, 2006,
272 b.
6.
Safoeva M. Matematik programmalash. O‘quv qo‘llanma. Toshkent, “UAJBHT”, 2004, 240
b.
