ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
121
AYQASH TO’G’RI CHIZIQLAR ORASIDAGI MASOFA
BUXOROVA IRODA TUFLI QIZI
Shahrisabz Davlat Pedagogika instituti
Matematika va Informatika yo’nalishi 2-kurs talabasi
RAHIMOVA HOSILA MUSTAFO QIZI
Shahrisabz Davlat Pedagogika Instituti
Matematika va Informatika yo’nalishi 2-kurs talabasi
ZAXRIDDINOVA SHAXLO ZAXRIDDIN QIZI
Shahrisabz Davlat Pedagogika Instituti, ilmiy rahbar
https://doi.org/10.5281/zenodo.15130380
Annotatsiya:
Ushbu maqolada ayqash toʻgʻri chiziqlar orasidagi masofani hisoblashga
oid masalalar muhokama qilinadi. Ayqash chiziqlar deganda, o'zaro paralel bo'lmagan va bir-
biriga burchakli boʻlgan toʻgʻri chiziqlar tushuniladi. Maqola, geometriya fanining asosiy
tushunchalariga tayangan holda, ayqash toʻgʻri chiziqlar orasidagi masofani aniqlashning
matematika va geometriya usullari orqali qanday amalga oshirilishini tushuntiradi. Bu
masala, o'zaro parallel yoki burchakli joylashgan toʻgʻri chiziqlar orasidagi eng qisqa masofani
aniqlash uchun murakkab algebraik va geometrik yechimlarni talab qiladi. Annotatsiya,
ayniqsa, bu masalalarni chuqurroq o'rganishga va turli geometrik vaziyatlarni aniqlashga
qiziqadigan talabalar va ilmiy izlanish olib borayotganlar uchun foydalidir. Maqola, bunday
masalalar bilan bog'liq ko'plab amaliy ilovalar va amaliy muammolarni yoritadi.
Kalit so’zlar:
Ayqash to’g’ri chiziqlar, to’g’ri chiziqlar orasidagi masofa, geometriya,
matematik formulalar, burchakli chiziqlar, parallel chiziqlar, masofani hisoblash, vektorlar,
eng qisqa masofa.
Аннотация:
В статье рассматриваются вопросы, связанные с вычислением
расстояния между пересекающимися прямыми. Смещенные линии — это прямые
линии, которые не параллельны и расположены под прямым углом друг к другу. В
статье на основе основных понятий геометрии объясняется, как определить
расстояние между пересекающимися прямыми, используя математические и
геометрические методы. Эта задача требует сложных алгебраических и
геометрических решений для определения кратчайшего расстояния между прямыми,
которые параллельны или расположены под прямым углом друг к другу. Аннотация
особенно полезна для студентов и исследователей, заинтересованных в более
глубоком изучении этих вопросов и выявлении различных геометрических ситуаций. В
статье освещаются многочисленные практические приложения и практические
проблемы, связанные с такими вопросами.
Ключевые слова:
Пересекающиеся прямые, расстояние между прямыми,
геометрия, математические формулы, наклонные прямые, параллельные прямые,
вычисление расстояния, векторы, кратчайшее расстояние.
Abstract:
This article discusses the issues of calculating the distance between
intersecting straight lines. By intersecting straight lines are meant straight lines that are not
parallel to each other and are at an angle to each other. The article, based on the basic
concepts of geometry, explains how to determine the distance between intersecting straight
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
122
lines using mathematical and geometric methods. This issue requires complex algebraic and
geometric solutions to determine the shortest distance between straight lines that are parallel
or at an angle to each other. The abstract is especially useful for students and researchers who
are interested in studying these issues in more depth and determining various geometric
situations. The article covers many practical applications and practical problems related to
such issues.
Keywords:
intersecting straight lines, distance between straight lines, geometry,
mathematical formulas, angled lines, parallel lines, distance calculation, vectors, shortest
distance.
Kirish:
Geometriya fani turli shakllar, chiziqlar va ularning o‘zaro joylashuvi haqida
chuqur bilimlarni o‘z ichiga oladi. Bu sohada bir qator muammolar mavjud bo'lib, ular amaliy
va nazariy jihatdan katta ahamiyatga ega. Ayqash toʻgʻri chiziqlar orasidagi masofa hisoblash –
geometriyaning asosiy masalalaridan biri bo'lib, ayniqsa matematikada va muhandislikda
keng qo‘llaniladi. Ayqash toʻgʻri chiziqlar – o'zaro burchakli joylashgan va paralel bo'lmagan
toʻgʻri chiziqlar bo‘lib, ularning orasidagi masofa ba’zan murakkab algebraik va geometrik
metodlar yordamida aniqlanadi. Bu masalaning yechimi matematikada oddiy ko‘rinadigan
bo‘lsa-da, ko‘plab omillarni hisobga olishni talab qiladi. To‘g‘ri chiziqlar orasidagi masofani
topish, ayniqsa, koordinatalar tizimi yordamida, vektorlar va matematik formulalar orqali
amalga oshiriladi. Ushbu maqolada ayqash toʻgʻri chiziqlar orasidagi masofani hisoblashda
ishlatiladigan asosiy metodlar va usullar ko‘rib chiqiladi. Maqola, shuningdek, bu masalaning
amaliy ahamiyatini va uning boshqa matematik masalalar bilan aloqasini yoritadi.
To’g’ri chiziqlar bir tekislikda yotmasa, ular ayqash to’g’ri chiziqlar deyiladi.
Bu holda
𝑟̅
2
-
𝑟̅
1
=
𝑀
̅
1
𝑀
̅
2
𝑎̅
, va
𝑏̅
vektorlar komplanar bo’lmaganligi uchun
0
3
2
1
3
2
1
1
2
1
2
1
2
b
b
b
a
a
a
z
z
y
y
x
x
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
To’g’ri chiziqlar parallel bo’lmaganligi uchun va vektorlar o’zaro kolleniar emas.
x
O
y
z
1
l
2
l
x
O
y
z
1
l
2
l
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
123
Teorema. Agar bir to’g’ri chiziq berilgan tekislikda yotsa, ikkinchi to’g’ri chiziq esa bu
tekislikni birinchi to’g’ri chiziqqa tegishli bo’lmagan nuqtada kesib o’tsa, u holda bu ikki to’g’ri
chiziqlar ayqash bo’ladi.
Bizga ikkita
𝑟̅
=
𝑟̅
1
+
𝑎̅
t va
𝑟̅
=
𝑟̅
2
+
𝑏̅
s
tenglamalar bilan berilgan
l
1
, l
2
ayqash to'g'ri chiziqlar orsadagi masofani hisoblash
formulasini keltirib chiqarmoqchimiz. Ikkita
l
1
, l
2
to'g'ri chiziqlar orasidagi masofa
d
= inf
d ( j , B ) , A
∈
l
1
, B
∈
l
2
formula bo'yicha aniqlanadi. Bu yerda
d(A,B)- A
va
В
nuqtalar orasidagi masofadir. Agar
to‘g‘ri chiziqlar kesishsa ular orasidagi masofa nolga teng bo'ladi. Parallel to'g'ri chiziqlar
orasidagi masofani hisoblash uchun bitta
A
∈
l
, nuqtani olib undan
I
, to‘g‘ri chiziqqacha bo'lgan
masofani hisoblash yetarlidir. To'g'ri chiziqlar ayqash bo'lgan holda biz awalo mos ravishda
l
1,
l
2
to'g'ri chiziqlarga tegishli bo'lgan
A
0
va
B
0
nuqtalar mavjud bo'lib, bu nuqtalardan o'tuvchi
to'g'ri chiziqning
l
1,
l
2
to'g'ri chiziqlarga perpendikulyar ekanligini ko'rsatamiz. Buning
uchun biz
𝐴
0
𝐵
0
̅̅̅̅̅̅̅
vektorni
𝐴
0
𝐵
0
̅̅̅̅̅̅̅
= (
𝑟̅
2
+
𝑏̅
s
0
) -(
𝑟̅
1
+
𝑎̅
t
0
)
ko'rinishda yozib, uning
𝑎
̅
va
𝑏̅
vektorlarga perpendikulvarlik shartlarini yozamiz. Bu
shartlarni skalyar ko'paytma orqali yozsak,ular
(5)
ko'rinishga keladi. Bu tengliklar
s
0,
t
0
noma’lumlarga nisbatan chiziqli
tenglamalar sistemasidan iboratdir. Bu sistemaning asosiy determinanti д
noldan farqli, chunki
munosabat o'rinlidir. Demak, (5) sistema yagona yechimga ega,ya’ni
(
A
0
,B
0
) juftlik yagonadir. Endi
A
0
B
0
kesma uzunligi to'g'ri chiziqlar
orasidagi masofaga tengligini ko'rsatamiz. Buning uchun mos ravishda
l
1,
l
2
to'g'ri chiziqlarga tegishli va radius — vektorlari
vektorlardan iborat
A, В
nuqtalar uchun
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
124
tengsizlikni isbotlaymiz.
Bu tengsizlikni isbotlash uchun
𝐴𝐵
̅̅̅̅
vektorni
𝐴𝐵
̅̅̅̅
=
(
𝑟̅
2
-
𝑟̅
1
)+(
𝑏̅
s-
𝑎̅
t) = (
𝑟̅
2
-
𝑟̅
1
+
𝑏̅
s
0
-
𝑎̅
t
0
) + ( s - s
0
)
𝑏̅
+ ( t - t
0
)
𝑎̅
ko'rinishda yozamiz. Bu ifodada
𝐴
0
𝐵
0
̅̅̅̅̅̅̅
=
𝑟̅
2
-
𝑟̅
1
+
𝑏̅
s
0
-
𝑎̅
t
0
tenglik o'rinli. Ikkita o'zaro perpendikulyar
𝑝̅
,
𝑞̅
vektorlar uchun
(
𝑝̅
+
𝑞̅
)
2
=
𝑝̅
2
+
𝑞̅
2
tenglik o'rinlidir. Bu tenglik umumlashgan Pifagor teoremasi deyiladi.
Bu tenglikni
𝑝̅
=
𝐴
0
𝐵
0
̅̅̅̅̅̅̅
,
𝑞̅
=
( s - s
0
)
𝑏̅
+ ( t - t
0
)
𝑎̅
vektorlar uchun yozsak,
𝐴𝐵
̅̅̅̅
2
=
(
𝑟̅
2
-
𝑟̅
1
+
𝑏̅
s
0
-
𝑎̅
t
0
)
2
+ [
( s - s
0
)
𝑏̅
+ ( t - t
0
)
𝑎̅
]
2
tenglikni olamiz. Bu tenglikdan esa
𝐴𝐵
̅̅̅̅
2
≥
(
𝑟̅
2
-
𝑟̅
1
+
𝑏̅
s
0
-
𝑎̅
t
0
)' =
𝐴
0
𝐵
0
̅̅̅̅̅̅̅
2
tengsizlikni hosil qilamiz. Endi
A
0
B
0
kesma uzunligini hisoblash uchun
formulani keltirib chiqaramiz. Shu maqsadda
𝐴
0
𝐵
0
̅̅̅̅̅̅̅
,
𝑎̅
,
𝑏̅
vektorlarning
aralash ko'paytmasini tekshiramiz. Aralash ko'paytma moduli uchun
tenglik o'rinli ekanligini bilamiz. Bundan esa
munosabatni olamiz. Aralash ko'paytmadagi
A
0
B
0
vektorni
ko'rinishda yozamiz. Bu yerda
Ax
∈
l
1,
Ax
∈
l
2
va
𝑂𝐴
̅̅̅̅
1
, =
𝑟̅
1
𝑂𝐴
̅̅̅̅
2
,
=
𝑟̅
2
Shuning uchun
𝐴̅
0
𝐴̅
1
,
vektor
𝑎̅
vektorga,
𝐵̅
0
𝐵̅
1
,
vektor esa
𝑏̅
vektorga
paralleldir. Bularni hisobga olsak
formula kelib chiqadi. Bu formulani koordinatalar yordamida yozsak ,u
ko'rinishga keladi.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
125
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
A.Y. NARMANOV O‘ZBEKISTON FAYLASUFLARI MILLIY JAMIYATI NASHR1YOTI
TOSHKENT 2008
2.
Baxvalov S. V., Modenov P. S., Parxomenko A. S. Analitik geometriyadan masalalar
to‘plami. Toshkent, 2006, 546 bet.
3.
Ильин В. А. Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. М., Наука, 1981, с. 232.
4.
Pogorelov А. V. Analitik geometriya. Toshkent, 0 ‘qituvchi, 1983, 206-bet.
5.
Постников М. М. Аналитическая геометрия. М., Наука, 1979. с. 336.
6.
Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. Санкт-
Петербург — Москва, Изд. Лан’, 2003 г. стр. 336.
7.
Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. М. Наука. 1998.
