ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
51
SHTEYNER, PASKAL VA BRAINSHON TEOREMALARI VA ULARNING
MAKTAB GEOMETRIYA KURSIDAGI MASALALARNI YECHISHGA TATBIQI
Zaxriddinova Shaxlo Zaxriddin qizi
Matematika va taʼlimda axborot texnologiyasi kafedra oʻqtivchisi
Numonova Hulkar Naim qizi
Shahrisabz Davlat Pedagogika Instituti talabasi
Matematika va Informatika yo’nalishi 2-kurs talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15129045
Annotatsiya:
Ushbu maqolada Shteyner, Paskal va Brainshon teoremalari atroflicha
yoritiladi hamda ularning maktab geometriya kursidagi ahamiyati va tatbiqlari o‘rganiladi. Bu
teoremalar klassik va proyektiv geometriyaning muhim natijalari bo‘lib, ularning maktab
darajasidagi masalalarni yechishda qanday ishlatilishi izohlanadi. Maqolada har bir
teoremaning tarixi, bayoni, isboti va amaliy jihatlari muhokama qilinadi. Bu teoremalar o‘ziga
xos xususiyatlarga ega bo‘lib, ular yordamida murakkab geometriya masalalarini
soddalashtirish, yangi bog‘liqliklarni aniqlash va shakllar orasidagi munosabatlarni oson
tushunish mumkin. Maqolada ushbu teoremalar chuqur tahlil qilinib, ularning maktab
geometriya kursidagi tatbiqlari ko‘rib chiqiladi.
Kalit so‘zlar.
Geometriya, Shteyner teoremasi, Paskal teoremasi, Brainshon teoremasi,
proyektiv geometriya, konik kesmalar, uchburchak, radius, masala yechish, maktab
geometriyasi.
Abstract.
This article provides a detailed review of the theorems of Steiner, Pascal, and
Brainshon, and examines their significance and applications in the school geometry course.
These theorems are important results of classical and projective geometry, and how they are
used to solve problems at the school level is explained. The article discusses the history,
statement, proof, and practical aspects of each theorem. These theorems have unique
properties that make it possible to simplify complex geometry problems, identify new
relationships, and easily understand the relationships between shapes. The article provides
an in-depth analysis of these theorems and examines their applications in the school
geometry course.
Keywords.
Geometry, Steiner's theorem, Pascal's theorem, Brainshon's theorem,
projective geometry, conic sections, triangle, radius, problem solving, school geometry.
Абстрактный.
В этой статье будут подробно рассмотрены теоремы Штейнера,
Паскаля и Брейншона, а также изучено их значение и применение в школьном курсе
геометрии. Эти теоремы являются важными результатами классической и
проективной геометрии и объясняют, как их можно использовать для решения
школьных задач. В статье обсуждаются история, формулировка, доказательство и
практические аспекты каждой теоремы. Эти теоремы имеют свои особенности, с
помощью которых можно упростить сложные задачи геометрии, выявить новые связи
и легко понять связи между фигурами. В статье глубоко анализируются эти теоремы и
рассматривается их применение в школьном курсе геометрии.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
52
Ключевые слова.
Геометрия, теорема Штейнера, теорема Паскаля, теорема
Брейншона, проективная геометрия, конические сечения, треугольник, радиус,
решение задач, школьная геометрия.
Kirish.
Geometriya matematikaning eng qadimiy va rivojlangan tarmoqlaridan biri
bo‘lib, uning asosiy vazifasi fazoviy jismlar va shakllarning xossalarini o‘rganishdan iborat.
Evklid geometriyasi maktab kursida asosiy yo‘nalish bo‘lsa-da, undan tashqari boshqa ko‘plab
nazariyalar ham mavjud. Jumladan, proyektiv geometriya va uning fundamental natijalari
bo‘lmish Shteyner, Paskal va Brainshon teoremalari masalalarni yechishda keng qo‘llaniladi.
1. Shteyner teoremasi
Shteyner teoremasi proyektiv geometriyada muhim natijalardan biri bo‘lib, u
kesishuvchi koniklar bilan bog‘liq. Ushbu teorema konik kesmalar va ularning proyektiv
xossalarini o‘rganishda keng qo‘llaniladi.
Teorema bayoni
Shteyner teoremasi: Agar ikkita konik kesma to‘rtta umumiy nuqtaga ega bo‘lsa, unda
shu nuqtalar orqali o‘tuvchi yana ikkita yangi konik ham mavjud bo‘ladi.
Bu teorema geometriyaning rivojlanishida muhim ahamiyat kasb etgan bo‘lib, konik
kesmalarning bir-biriga bog‘liqligini isbotlashga yordam beradi.
Isbot: Isbot proyektiv transformatsiyalar va homogen koordinatalar orqali olib boriladi.
Agar ikkita konik kesma umumiy to‘rtta nuqtaga ega bo‘lsa, bu nuqtalar proyektiv fazoda har
qanday o‘zgarishlarda ham saqlanadi. Koniklar orasidagi bu xususiyat ularning proyektiv
invariant ekanligini ko‘rsatadi.
Maktab geometriyasida tatbiqi: Shteyner teoremasi maktab geometriya kursida quyidagi
yo‘nalishlarda qo‘llaniladi:
1.
Konik kesmalarning umumiy nuqtalarini aniqlash,
2.
Fokus va direktrisalar orasidagi bog‘liqlikni tushuntirish,
3.
Ko‘pburchaklarning simmetriya xossalarini tadqiq qilish.
Paskal teoremasi
Paskal teoremasi konik kesmalarga oid muhim xossalarni o‘z ichiga oladi va u proyektiv
geometriyada muhim ahamiyatga ega.
Paskal teoremasi: Agar konik kesmada joylashgan olti nuqta tanlansa va ularni uchta juft
chiziq bilan bog‘lasak, u holda hosil bo‘lgan uchta kesishish nuqtasi bitta to‘g‘ri chiziqda
joylashadi.
Bu natija Paskal oltiligi deb ham nomlanadi va proyektiv geometriyaning fundamental
teoremalaridan biri hisoblanadi.
Isbot uchun proyektiv geometriyaning asosiy tamoyillari va homogen koordinatalar
ishlatiladi. Olti nuqta orqali o‘tuvchi uch juft to‘g‘ri chiziqning kesishish nuqtalari bir chiziqda
yotishini tasdiqlash proyektiv transformatsiyalar orqali isbotlanadi.
Paskal teoremasi maktab darajasidagi quyidagi masalalarni yechishda qo‘llaniladi:
1.
Uchburchaklar va ko‘pburchaklarning xossalarini aniqlash,
2.
Proyektiv transformatsiyalar yordamida murakkab figuralarni tahlil qilish,
3.
Konik kesmalar bilan bog‘liq masalalarni yechish.
Brainshon teoremasi: Brainshon teoremasi uchburchakning ichki aylana radiuslari va
tomonlari orasidagi bog‘liqlikni o‘rganishga asoslanadi.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
53
Brainshon teoremasi: Uchburchakning ichki aylana radiuslari va tomonlari orasida
ma’lum bog‘liqlik mavjud bo‘lib, bu nisbatlar uchburchakning boshqa geometrik
parametrlarini aniqlashga imkon beradi.
Isbot: Isbot trigonometriya va uchburchakning radiuslari orasidagi munosabatlarni
o‘rganish orqali amalga oshiriladi. Uchburchakning perimetri, yarim perimetri va ichki
radiuslarining nisbatlari maxsus formulalar orqali hosil qilinadi.
Brainshon teoremasi uchburchaklarning ichki radiuslarini hisoblash va masalalarni
soddalashtirishda muhim ahamiyatga ega. Ushbu teorema yordamida quyidagi muammolarni
yechish mumkin:
1.
Uchburchakning ichki radiuslari va perimetri orasidagi bog‘liqlikni aniqlash,
2.
Uchburchakning ichki va tashqi aylana radiuslari yordamida yuzani hisoblash,
3.
Sinus va kosinus qonunlari bilan bog‘liq masalalarni yechish.
Ushbu maqolada Shteyner, Paskal va Brainshon teoremalari atroflicha tahlil qilindi
hamda ularning maktab geometriya kursidagi tatbiqlari yoritildi. Bu teoremalar geometriyada
fundamental ahamiyatga ega bo‘lib, ularning nazariy va amaliy jihatlari maktab darajasidagi
murakkab masalalarni yechishda yordam beradi. Ushbu natijalar orqali o‘quvchilar
geometriya fanining chuqurroq xossalarini anglab, masalalarni yanada samarali hal qilishlari
mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
Coxeter, H.S.M. Projective Geometry – Springer, 2003.
2.
Kiselev, A.P. Planimetry – Moscow: Prosveshchenie, 1980.
3.
Yaglom, I.M. Geometric Transformations – Mathematical Association of America, 1962.
4.
Sharygin, I.F. Problems in Geometry – Moscow: Nauka, 1992.
5.
Hartshorne, R. Foundations of Projective Geometry – Springer, 2017.
