ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
54
TAQQOSLAMA VA UNING XOSSALARI. EYLER VA FERMA TEOREMALARI
Zaxriddinova Shaxlo Zaxriddin qizi
Matematika va taʼlimda axborot texnologiyasi kafedra oʻqtivchisi
Numonova Hulkar Naim qizi
Shahrisabz Davlat Pedagogika Instituti talabasi
Matematika va Informatika yo’nalishi 2-kurs talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15129050
Annotatsiya:
Ushbu maqolada taqqoslama, uning xossalari, sonning oxirgi ikkita va
uchta raqamini topish haqida ma’lumot berilgan. Taqqoslamalar yordamida bir nechta
misollar keltirilgan.
Kalit so’zlar.
Taqqoslama tushunchasi, teng qoldiqli sonlar, taqqoslamaning xossalari,
Eyler va Ferma teoremalar.
Абстрактный.
В этой статье содержится информация о сравнении, его свойствах
и нахождении последних двух и трех цифр числа. Приведено несколько примеров с
использованием сравнений.
Ключевые слова.
Понятие сравнения, числа с равными остатками, свойства
сравнения, теоремы Эйлера и Ферма.
Abstract.
This article provides information on the comparison, its properties, and
finding the last two and three digits of a number. Several examples are given using
comparisons.
Keywords.
The concept of comparison, numbers with equal remainders, properties of
comparison, Euler's and Fermat's theorems.
Kirish.
Hozirgi zamonaviy ta’limda o’quvchilarga matematik teoremalar, tasdiqlar,
matematik amallar, ba’zi tengliklar va tengsizliklarni o’rgatish katta ahamiyatga ega.
Ko’pchilik o’quvchilar matematik amallardan qoldiqli bo’lish amalini bajarishga
qiyinchiliklarga duch kelishadi. Qoldiqli bo’lishni yechishning bir nechta oson usullari mavjud.
Shunday usullardan biri Taqqoslama usuli hisoblanadi. Ma’lumki, qoldiqli bo`lish haqidagi
teoremaga asosan har qanday ikkita a, m>0 butun son uchun shunday yagona va r sonlar
topiladiki, ushbu
a = mq
1
+ r (1)
tenglik bajariladi, bu yerda 0 ≤ r < m.
Biror butun b butun son uchun
b = mq
2
+ r (2)
tenglik o`rinli bo`lgan b sonni olaylik. (1) va (2) tengliklar a va b sonlarini m ga
bo`lganda bir xil qoldiq qolishini bildiradi.
T a’ r i f.
Agar ikkita butun a va b sonni m natural songa bo`lganda hosil bo` lgan
qoldiqlar o`zaro teng bo`lsa, u holda a va b sonlarini m modul bo`yicha
teng qoldiqli sonlar
,
yoki m mo`dul bo`yicha
taqqoslanuvchi sonlar
deyiladi.
Agar a va b sonni m modul bo`yicha taqqoslansa, u holda quyidagicha belgilanadi:
a ≡ b (mod m) (3)
(3) ni a son b bilan m modul bo`yicha o`zaro taqqoslanadi deb o`qiladi.
Endi (1) dan (2) ni ayiraylik, u holda yoki a –b ≡ mt (q
1
- q
2
) yoki
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
55
a – b ≡ mt ( t= q
1
– q
2
) (4)
tenglik hosil bo`ladi.
Yuqoridagi xulosalarni yakunlab quyidagi xulosalarni chiqarish mumkin:
1. Agar a ≡ b (mod m) bo’lsa, u holda ( a – b ) ayirma m ga qoldiqsiz bo’linadi va
aksincha, agar a va b sonlar ayirmasi m ga bo’linsa, u holda a ≡ b (mod m) o’rinli bo’ladi.
2. Agar a = b + mt bo`lib b ni m ga b o`lgandagi qoldiq r ga teng bo`lsa, a ni ham m ga
bo`lgandagi qoldiq r ga teng bo`ladi. Haqiqatdan, b = mq
1
+ r ni a = b + mt ga qo`yamiz. U holda
a = mq
1
+ r + mt = m (q
1
+ t ) +r = mq
2
+ r
ya’ni a = mq
2
+ r bo`ladi.
Demak a = mq
2
+ r bo`lib, a ni m ga bo`lgandagi qoldiq ham r ga teng ekan . Shunday
qilib, a ≡ b ( mod m ) taqqoslamani a –b = mt va a = b + mt tengliklar bilan bir xil deyish
mumkin. Agar a = b + mt bo`lsa, u holda uni a ≡ r ( mod m ) kabi yozish ham mumkin.
3. Xususiy holda agar a/m bo`lsa, u holda a ≡ 0 ( mod m ) bo`ladi. Bu taqqoslama m soni
a ning bo’luvchisi ekanligini bildiradi.
Taqqoslama quyidagi xossalarga ega:
1
0
. Taqqoslama ekvivalent binar munasabat.
a) a ≡ a ( mod m ) , chunki a – a = 0 bo`lib, 0 son m ga bo`linadi. Demak, taqqoslama
refleksivlik xossasiga ega.
b) a ≡ b ( mod m ) yoki a –b = mt bo`lsin. Bundan b – a = m (-t) tenglikni yozish mumkin.
U holda b – a ≡ 0 ( mod m ) yoki b ≡ a ( mod m ). Demak, taqqoslama simmetriklik xossasiga
ega.
c) Agar a ≡ b ( mod m ) va b ≡ c ( mod m ) bo`lsa, u holda a ≡ c ( mod m ) bo`ladi.
Haqiqatan, a = b + mt
1
, b = c + mt
2
tengliklarni hadlab qo`shsak, a –c = mt tenglik hosil bo`ladi.
Bunda t = t
1
+ t
2.
U holda a ≡ c ( mod m ) bo`ladi. Demak taqqoslama tranzitivlik xossasiga ega.
Ekvivalentlik va binar munosabatlari tarifiga ko`ra, taqqoslama ekvivalent binar munosabat
ekan.
2
o
. Bir xil modulli taqqoslamalarni xadlab qo`shish (ayirish) mumkin.
Haqiqatan ham,
a
1
≡ b
1
( mod m ),
a
2
≡ b
2
( mod m ),
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
k
≡ b
k
( mod m )
bo`lsa, u holda ularni
a
1
≡ b
1
+ mt
1
,
a
2
≡ b
2
+ mt
2
,
. . . . . . . . . . . .
a
k
≡ b
k
+ mt
k
(5)
kabi yozish mumkin. Bu tengliklarni hadlab qo`shib (ayirib)
a
1
± a
2
± a
3
± . . . ± a
k
= b
1
± b
2
± b
3
± . . . ± b
k
± m (t
1
+ t
2
+ t
3
+ . . . + t
k
)
yoki
a
1
± a
2
± a
3
± . . . ± a
k
= b
1
± b
2
± b
3
± . . . ± b
k
± mt (6)
tenglikka ega bo`lamiz. (4) ni
a
1
± a
2
± a
3
± . . . ± a
k
=b
1
± b
2
± b
3
± . . . ±b
k
(mod m)
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
56
ko`rinishda ham yozish mumkin.
3
0
. Bir xil modulli taqqoslamalarni hadlab ko`paytirish mumkin. Haqiqatan, (5) dagi
tengliklarni hadlab ko`paytirib,
a
1
·a
2
· a
3
· . . . · a
k
=b
1
· b
2
· b
3
· . . . · b
k
+mA
tenglikga ega bo`lamiz. Bunda
A= b
1
b
2
b
4
. . . b
k
t
2
+ b
1
b
3
b
4
. . . b
k
t
1
+ . . .
bo`lib
a
1
a
2
a
3
. . . a
k
=b
1
b
2
b
3
. . . b
k
( mod m ) (8)
taqqoslama o`rinli.
4
0
. Modulni o`zgartirmagan holda taqqoslamaning ikkala qismini bir xil butun songa
ko`paytirish mumkin.
Haqiqatan, a ≡ b ( mod m ) taqqoslamani k ≡ k (mod m) taqqoslama bilan hadlab
ko`paytirish natijasida ak ≡ bk ( mod m ) ga ega bo`lamiz.
5
0
. Agar x ≡ y ( mod m ) bo`lsa, u holda ixtiyoriy butun koeffitsiyentli f (x) va f (y)
ko`phadlar uchun f (x) ≡ f (y) ( mod m ), ya’ni
a
0
x
n
+a
1
x
n-1
+ . . . + a
n
= a
0
y
n
+ a
1
y
n-1
+ . . . + a
n
(mod m) (a
i
ϵ Z)
6
0
. Agar bir vaqtda a
i
≡ b
i
( mod m ) ( I ≠ 1, n ) va x ≡ y ( mod m ) taqqoslamalar o`rinli
bo`lsa, u holda
a
0
x
n
+a
1
x
n-1
+ . . . + a
n
= b
0
y
n
+ b
1
y
n-1
+ . . . + b
n
(mod m)
taqqoslama o`rinli bo`ladi.
Taqqoslamani darajaga nisbstan qo`llash mumkin emas. Masalan, 3≡8(mod 5) uchun 2
3
≠2
8
(mod 5) bo`ladi. Chunki 2
3
≡ 3 (mod 5) va 2
8
≡ 1 (mod 5), ammo 1≡ 3 (mod 5).
7
0
. Taqqoslamaning ikkala qismini modul bilan o`zaro tub bo`lgan ko`paytuvchiga
qisqartirish mumkin.
ad ≡ bd (mod m ) (11)
bo`lib, (d; m) = 1 bo`lsin. (11) taqqoslama (ad - bd)/m munosabatga teng kuchli. U
holda ( a – b )d/m dan ( d; m ) = 1 bo`lgani ( a – b )/m yoki a ≡ b ( mod m ) bo`ladi.
Agar ( m; d) = k bo`lib, k >1 bo`lsa, u holda bu xossa o`rinli emas.
M i s o l. 5·4 ≡ 7·5 ( mod 15), (5; 15) = 5 ≠ 1 bo`lgani uchun bu taqqoslamaning xar
ikkala tamonini 5 ga bo`lib, 4 ≡ 7 ( mod 15), (5; 15) = 5 ≠ 1 bo`lgani uchun bu taqqoslamaning
xar ikkala tomonini 5 ga bo`lib, 4 ≡ 7 (mod 15) xulosaga kelamiz
8
0 .
Taqqoslamaning ikkala qismini va modulini bir xil butun musbat songa ko`paytirsh,
taqqoslamaning ikkala qismi va modul umumiy ko`paytuvchiga ega bo`lsa, u holda bu
taqqoslamaning ikkala qismi va modulini umumiy ko`paytuvchiga bo`lish mumkin.
9
0
. Agar taqqoslama bir necha modul bo`yicha o`rinli bo`lsa, u holda bu taqqoslama shu
modullarning eng kichik umumiy karralisi bo`yicha ham o`rinli bo`ladi.
10
0
. Agar taqqoslama biror m modul bo`yicha o`rinli bo`lsa, u holda shu taqqoslama
modulning ixtiyoriy bo`luvchisi bo`yicha ham o`rinli bo`ladi.
Haqiqatan, agar a ≡ b(mod m ) yoki a - b = mt bo`lib m = m
1
d bo`lsa, u holda a - b =
m
1
dt deyish mumkin. Bundan a - b = m
1
(dt) bo`ladi. Demak, a≡b(mod m
1
) ekan.
11
0
. Taqqoslamaning bir qismi va modulining eng katta umumiy bo`luvchisi bilan uning
ikkinchi qismi va modulining eng katta umumiy bo`luvchisi o`zaro teng bo`ladi. Haqiqatan, a ≡
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
57
b (mod m ) dan a = b + mt yoki a– mt=b tengliklarni yozish mumkin. (a; m) =d va (b; m)=d
1
bo`lsin. Aytaylik, a=da
1
va m=dm
1
bo`lsin.
a
1
d – m
1
dt = b ning chap qismi d ga bo` linganidan b ham d ga bo`linadi. d son b va m
sonlarning umumiy bo`luvchisi ekan va
d
1
/ d (12)
b = db
1
bo`lsin. U holda a = b
1
d
1
+ m
2
d
1
t tenglikdan a/d
1
va d
1
son a va m sonlarning
umumiy bo`luvchisi bo`lgani uchun
d
1
/ d (13)
bo`ladi. (12) va (13) larga ko`ra d
1
= d bo`ladi.
Eyler funksiyasi
ᵩ(a)=a( 1- 1/p
1
)( 1- 1/p
2
)…( 1- 1/p
n
)
Eyler funksiyasi a sonidan kichik va a soni bilan o’zaro tub sonlar soni.
Eyler teoremasi:
m>1 va ( a; m )=1 bo’lganda quyidagi taqqoslama o’rinli:
a
ᵩ(m)
≡1 ( mod m )
Bu yerda ᵩ( m ) – Eyler funksiyasi
Misol: 3
4n+2
ning oxirgi raqamini toping.
3
4n+2
=(3
2
)
2n+1
=9
2n+1
3≡ 3 ( mod 10)
9≡ 9 ( mod 10)
9≡ -1 ( mod 10)
9
2n+1
≡ 9 ( mod 10)
Javob: 9
Ferma teoremasi
p tub son va ( a; p )=1 bo’lganda quyidagi taqqoslama o’rinli
a
p-1
≡ 1 ( mod n)
Misol: p tub son bo’lsa, a
p
+a(p-1)!≡ 0 (mod p) bo’lishini isbotlang.
a
p
+a(p-1)!=a
p
+a(p-1)!+a-a=a((p-1)!+1)+a
p
-a
Vilson teoremasiga ko’ra, (p-1)!+1 p ga qoldiqsiz bo’linadi.
a
p
-a sonini qoldiqsiz bo’linishini isbotlash yetarli.
p=2 a
2
-a=a(a-1)
p=3 a
3
-a=a(a-1)(a+1)
p=5 a
5
-a=a(a
4
-1)=a(a-1)(a+1)(a
2
+1)
p=7 a(a
6
-1)=a(a
3
-1)(a
3
+1)=a(a-1)(a+1)(a
2
+a+1)(a
2
-a+1)
p=n-1 a(a
n-2
-1) soni n-1 ga qoldiqsiz bo’linadi
p=n a(a
n-1
-1) soni n ga qoldiqsiz bo’linadi, bunda n tub son.
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
Sharipova, M. P., & Latipova, S. S. (2024). Taqqoslamalar. Eyler funksiyasi. Yangi
O'zbekiston talabalari axborotnomasi, 2(2), 23–33.
2.
Averbux, K. Ya. (2004). Obshchaya teoriya termina. Ivanovo.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
58
3.
Litovchenko, V. I. Klassifikatsiya i sistematizatsiya terminov. Vestnik Sibirskogo
gosudarstvennogo aerokosmicheskogo universiteta im. Akademika M. F. Reshetnyova, 156–
159.
4.
Madrakhimov, I. S., & Abdullayev, S. (2022). Yuklama. Galaxy International
Interdisciplinary Research Journal, 10(12), 1754–1760.
5.
Taqqoslamalarni yechish. Arxiv.uz
