ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
40
GEOMETIYA FANIDAN AMALIY MASHGʻULOTLARDA TALABALAR
MAKTABDA, AKADEMIK LITSEY VA KASB HUNAR KOLLEJLARDA
OʻRGANILMAGAN MAVZULARINI CHUQURROQ VA TADBIQIY
MASALALARNING OʻQITILISHI TAVSIYA ETILADI
Zaxriddinova Shaxlo Zaxriddin qizi
Matematika va taʼlimda axborot texnologiyasi kafedra oʻqtivchisi
Toʻrayeva Charos Jumanazar qizi
Shahrisabz Davlat Pedagogika instituti Pedagogika fakulteti Matematika va
Informatika yoʻnalishi 2-bosqich talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15129024
Annotatsiya:
Mazkur maqolada geometriya fanidan talabalar bilimini chuqurlashtirish
va ularning nazariy bilimlarini amaliy tadbiqiy masalalar orqali mustahkamlashga qaratilgan.
Maktab, akademik litsey va kasb-hunar kollejlarida yetarlicha o‘rganilmagan mavzular,
jumladan, fazoviy geometriya, trigonometriya, vektorlar geometriyasi hamda muhandislik
geometriyasi chuqur tahlil qilinadi. Talabalar real hayotdagi muammolarni yechishda
geometrik qonuniyatlardan foydalanishni o‘rganadilar hamda loyihalash, dizayn va texnologik
jarayonlarda geometriyaning ahamiyatini anglab yetadilar. Ushbu amaliy mashgʻulotlar orqali
talabalarning ijodiy fikrlashi, mantiqiy tahlil qilish ko‘nikmalari va muammolarni yechish
qobiliyatlari rivojlanadi.
Аннотация:
Целью данной статьи является углубление знаний учащихся по
геометрии и укрепление их теоретических знаний посредством практических
прикладных задач. В школе, академическом лицее и профессиональных колледжах
углубленно анализируются недостаточно изученные темы, в том числе
пространственная геометрия, тригонометрия, векторная геометрия и инженерная
геометрия. Студенты учатся использовать геометрические принципы для решения
реальных задач и понимают важность геометрии в планировании, проектировании и
технологических процессах. Благодаря этим практическим занятиям учащиеся
развивают творческое мышление, навыки логического анализа и навыки решения
проблем
Annotation:
This article aims to deepen students' knowledge of geometry and
strengthen their theoretical knowledge through practical problems. In-depth analysis of
topics that are not sufficiently studied in schools, academic lyceums and vocational colleges,
including spatial geometry, trigonometry, vector geometry and engineering geometry, is
provided. Students learn to use geometric laws to solve real-life problems and understand the
importance of geometry in design, engineering and technological processes. Through these
practical exercises, students' creative thinking, logical analysis skills and problem-solving
abilities are developed.
Kalit so‘zlar:
Geometriya, Amaliy mashg‘ulot, Tadbiqiy masalalar, Fazoviy geometriya,
Trigonometriya, Vektorlar geometriyasi, Koordinatalar usuli, Analitik geometriya, Muammoli
masalalar, Nazariy bilim, Amaliy qo‘llash, Mantiqiy tafakkur, Chuqur o‘rganish,
Ключевое слово
Геометрия, Практика, Задачи исследования, Пространственная
геометрия, Тригонометрия, Геометрия векторов, Метод координат, Аналитическая
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
41
геометрия, Проблемные задачи, Теоретические знания, Практическое применение,
Логическое мышление, Глубокое обучение.
Keywords:
Geometry, Practice, Research questions, Spatial geometry, Trigonometry,
Vector geometry, Coordinate method, Analytical geometry, Problematic issues, Theoretical
knowledge, Practical application, Logical thinking, Deep learning.
Kirish:
Geometriya fani nafaqat nazariy bilimlarni o‘zlashtirish, balki ularni amaliy
hayotda qo‘llash imkonini beradi. Biroq, umumta'lim maktablari, akademik litsey va kasb-
hunar kollejlarida geometriyaning ayrim murakkab mavzulari yuzaki o‘rganiladi yoki
umuman qamrab olinmaydi. Natijada, talabalar fazoviy geometriya, vektorlar geometriyasi,
trigon ometriya hamda analitik geometriya bo‘yicha chuqur bilim va ko‘nikmalarga ega
bo‘lmaydi. Ushbu muammoni bartaraf etish uchun amaliy mashg‘ulotlarda nazariy bilimlarni
chuqur o‘rganish hamda tadbiqiy masalalarni yechishga alohida e'tibor qaratish zarur. Bu esa
talabalarning mantiqiy tafakkurini rivojlantirish va kelajakda tanlagan sohasida samarali
faoliyat yuritishiga zamin yaratadi.
Geometriya fanining nazariy asoslari.
Geometriya bu shakllar, figuralar, o‘lchamlar va
fazoviy munosabatlarni o‘rganadigan matematikaning asosiy yo‘nalishlaridan biridir. Uning
nazariy asoslari qadimgi davrlardan boshlab rivojlangan bo‘lib, bugungi kunda ham ilm-fan va
texnologiyada muhim o‘rin tutadi.
Geometriyaning tarixi va rivojlanishi
. Geometriya atamasi yunoncha “geo”- yer va
"metria" — o‘lchash degan ma'noni anglatadi. Qadimgi Misr va Vavilon madaniyatida yer
maydonlarini o‘lchash, binolarni loyihalash va astronomik kuzatishlar uchun
geometriyadan foydalangan. Yunon matematik olimi Evklid o‘zining "Elementlar" asarida
geometriyaning asosiy qonuniyatlarini tizimli ravishda bayon qilgan. Qadimgi Misr: Nil
daryosi toshqinlaridan keyin yer maydonlarini qayta taqsimlash uchun geometriya
ishlatilgan. Bobil madaniyati: Ilk geometrik formulalar va uchburchaklarni o‘rganish bilan
shug‘ullangan. Qadimgi Yunoniston: Geometriyaning ilmiy tamoyillari ishlab chiqilgan. Evklid
"Elementlar" asarida asosiy postulatlarni tizimlashtirgan. O‘rta asr va zamonaviy geometriya
O‘rta asr Islom olimlari: Al-Xorazmiy va Nasiriddin Tusiy geometriyaning rivojlanishiga hissa
qo‘shgan. Renessans davri: Dekart koordinatalar sistemasi orqali analitik geometriyaning
rivojlanishiga asos solgan. Hozirgi zamon: Differensial geometriya, topologiya va fraktal
geometriya kabi yangi yo‘nalishlar shakllangan. Evklid geometriyasi Evklid geometriyasi
parallel chiziqlar, burchaklar va shakllarning xususiyatlariga asoslanadi. Uning asosiy
postulatlari: 1. Har qanday ikkita nuqta orqali bitta to‘g‘ri chiziq o‘tadi. 2. Cheksiz uzunlikdagi
to‘g‘ri chiziqlar mavjud. 3. Doira har qanday markaz va radius bilan chizilishi mumkin. 4.
Barcha to‘g‘ri burchaklar teng. 5. Parallel chiziqlar hech qachon kesishmaydi.
Geometriyaning asosiy bo‘limlari. Yassi geometriya – ikki o‘lchovli figuralar
(uchburchak, to‘g‘ri to‘rtburchak, aylana bilan ishlash.
Fazoviy geometriya
– uch o‘lchovli jismlar kub, silindr, piramida, shar) xususiyatlarini
o‘rganish. Fazoviy geometriya uch o‘lchovli (3D) makonda joylashgan jismlarni o‘rganadigan
geometriya bo‘limidir. U tekislik va yassi figuralar bilan cheklanmay, uchinchi o‘lchamni –
chuqurlik yoki balandlikni ham hisobga oladi. Fazoviy geometriyaning asosiy tushunchalari:
Nuqta – fazodagi eng kichik o‘lchamsiz element. To‘g‘ri chiziq – fazoda ikkita nuqta orqali
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
42
o‘tadigan eng qisqa yo‘l. Tekislik – ikki o‘lchovli cheksiz sirt. Fazoviy jism – uch o‘lchovli
makondagi shakllar kub, prizma, silindr va boshqalar.
2. Fazoviy jismlar va ularning xossalari :
1. Prizma Prizma – ikkita parallel asos va ular orasidagi yon qirralardan tashkil topgan
jism. To‘g‘ri prizma – yon qirralari asos tekisliklariga perpendikulyar. Egri prizma – yon
qirralari asos tekisligiga egri burchak ostida joylashgan. Piramida Piramida – asos tekisligi va
cho‘qqisi orasida joylashgan uchburchakli yon qirralardan tashkil topgan jism. To‘g‘ri
piramida – cho‘qqisi asosning markazida joylashgan. Yassi piramida – cho‘qqisi asosning
markazidan tashqarida joylashgan.
2. Silindr Silindr ikki parallel doira asos va yon sirtidan iborat jism. To‘g‘ri aylana silindr
– asoslari perpendikulyar bo‘lib, yon sirti to‘g‘ri chiziq shaklida bo‘ladi. Yon sirt – egri chiziqli
sirt bo‘lib, u asos radiusining uzunligi bo‘yicha cho‘zilgan. Fazoviy geometriyaning amaliy
qo‘llanilishi Fazoviy geometriya turli fanlar va sanoat sohalarida qo‘llaniladi: Arxitektura va
qurilish – binolar va inshootlar loyihalashda fazoviy jismlar ishlatiladi. Muhandislik va sanoat
– mexanik tizimlar va robototexnika sohalarida fazoviy modellardan foydalaniladi.
Aeronavtika va kosmonavtika – raketalar va sun’iy yo‘ldoshlarning harakat yo‘nalishlarini
hisoblash. Kompyuter grafikasi va animatsiya – 3D modellashtirishda fazoviy jismlar bilan
ishlash. Tibbiyot va biometrik tadqiqotlar – MRT va rentgen tasvirlarini fazoviy geometriya
yordamida tahlil qilish. Fazoviy geometriya uch o‘lchovli makonda joylashgan shakllarni
o‘rganadi va ularning xususiyatlarini tahlil qiladi. Bu fan muhandislik, texnologiya, fizikaviy
fanlar va san’at kabi ko‘plab sohalarda keng qo‘llaniladi. Uning asosiy jihatlari hajm, yuzalar,
koordinatalar va transformatsiyalar bilan bog‘liq bo‘lib, real dunyodagi ko‘plab masalalarni
yechishda muhim rol o‘ynaydi.
Analitik geometriya
koordinatalar usuli orqali shakllarni algebraik tahlil qilish.
Trigonometriya burchaklar va uchburchak tomonlari orasidagi munosabatlarni o‘rganish.
Analitik geometriya – geometriya va algebra o‘rtasidagi bog‘lanishni o‘rganadigan matematik
yo‘nalishdir. Ushbu fan, ko‘pincha Dekart geometriyasi sifatida tanilgan, chunki u geometrik
figuralarni koordinatalar tizimi yordamida ifodalash va algebraik tenglamalar orqali tahlil
qilishga asoslanadi. Analitik geometriya yordamida geometriya tushunchalari aniq matematik
ifodalarga keltiriladi, bu esa murakkab shakllarni tahlil qilish va ularning o‘zaro
munosabatlarini aniqlash imkonini beradi.
Tarixiy rivojlanish Analitik geometriya 17-asrda Fransua Dekart (René Descartes)
tomonidan asos solingan. Dekart geometriya va algebra o‘rtasidagi bog‘lanishni kashf etib,
geometrik figuralarni algebraik tenglamalar yordamida ifodalash imkoniyatini yaratdi. Uning
bu kashfiyoti nafaqat matematikani, balki ilm-fanning boshqa yo‘nalishlarini ham tubdan
o‘zgartirdi. Keyinchalik analitik geometriya rivojlanib, zamonaviy differensial geometriya,
topologiya va boshqa ilg‘or matematik sohalarning poydevorini tashkil etdi.
Analitik geometriyaning qo‘llanilish sohalari Analitik geometriya nafaqat nazariy
matematikaning muhim yo‘nalishi, balki amaliy sohalarda ham keng qo‘llaniladi: Muhandislik
va arxitektura: Geometrik shakllarning aniqligi va algebraik ifodalanishi qurilish loyihalarida,
inshootlar konstruksiyasida va arxitektura dizaynida qo‘llaniladi. Fizika va mexanika: Harakat
trayektoriyalari, kuchlar va energiya muammolarini tahlil qilishda analitik geometriya asosiy
metod sifatida xizmat qiladi. Kompyuter grafikasi: 2D va 3D modellashtirish, animatsiya,
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
43
virtual reallik (VR) va kengaytirilgan reallik (AR) texnologiyalarida geometrik shakllarni
tasvirlash va ularning transformatsiyalarini hisoblashda qo‘llaniladi. Robototexnika va
avtomatlashtirish: Robotlarning harakat yo‘nalishini aniqlash, sensorlar yordamida
obyektlarni joylashuvini o‘lchash va navigatsiya tizimlarida analitik geometriya metodlari
asosiy rol o‘ynaydi. Kartografiya va geodeziya: Yer xaritalarini yaratishda, navigatsiya
tizimlarida va GPS texnologiyalarida nuqtalar va shakllarning koordinatalar asosida
aniqlanishi uchun analitik geometriya keng qo‘llaniladi.
Zamonaviy tendensiyalar va kengaytirilgan qo‘llanmalar Zamonaviy analitik geometriya
faqat ikki yoki uch o‘lchovli shakllarni emas, balki yuqori o‘lchovli fazoviy tizimlarni ham
o‘rganishga qaratilgan. Bu yo‘nalish differensial geometriya, algebraik geometriya va
topologiya kabi ilg‘or matematik sohalar bilan chambarchas bog‘liq. Ushbu sohalar zamonaviy
ilmiy tadqiqotlarda, shuningdek, statistik ma'lumotlarni tahlil qilish, ma'lumotlar
vizualizatsiyasi va kompyuter modellemesi kabi amaliy sohalarda qo‘llaniladi . Analitik
geometriya geometrik shakllarni algebraik tenglamalar orqali ifodalash va tahlil qilish
imkonini beradi. U nazariy jihatdan matematik tafakkurni rivojlantirishga yordam beradi
hamda amaliy masalalarni yechishda (muhandislik, fizika, kompyuter grafikasi, robototexnika
va kartografiya) keng qo‘llaniladi. Dekart koordinatalar tizimi va algebraik metodlar
yordamida murakkab geometrik masalalarni yechish analitik geometriyaning asosiy
yutuqlaridan biridir va uning amaliy qo‘llanilishi kundalik hayotimizdagi ko‘plab texnologik
va ilmiy jarayonlarni aniq hisoblash imkonini beradi.
Vektorlar geometriyasi
– yo‘nalishli kesmalar orqali fazoda harakat va kuchlarni
tahlil qilish.
Geometriyaning asosiy tushunchalari. Nuqta – geometriyaning asosiy elementi bo‘lib,
joylashuvni belgilaydi. To‘g‘ri chiziq – cheksiz uzunlikka ega bo‘lgan chiziq. Tekislik – ikki
o‘lchamli, cheksiz yuzaga ega bo‘lgan shakl. Burchak – ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi o‘lcham.
Vektor – uzunlik va yo‘nalishga ega bo‘lgan matematik obyekt. Oddiy sonlar faqat kattalik
bilan ifodalanadi (skalyar miqdor), vektor esa modul (uzunlik) va yo‘nalish bilan aniqlanadi.
Vektorlar nuqtalar orasidagi yo‘nalgan kesma sifatida ko‘rinishi mumkin. Masalan, va
nuqtalar orasidagi vektor quyidagicha yoziladi:
Vektorlar geometriyasining amaliy qo‘llanilishi Fizika va mexanika: Kuchlarning ta’siri,
tezlik va tezlanish vektorlari tahlil qilinadi. Muhandislik: Qurilish va mexanik tizimlarning
dinamikasi vektor usullari bilan modellashtiriladi. Kompyuter grafikasi: 3D modellashtirish,
animatsiya va o‘yin grafikalarida vektor transformatsiyalari ishlatiladi. Navigatsiya: GPS
tizimlarida nuqtalar orasidagi masofa va yo‘nalish vektor yordamida hisoblanadi.
Aeronavtika: Kosmik va aviatsiya texnologiyalarida harakat yo‘nalishlarini aniqlashda
qo‘llaniladi.
Vektorlar geometriyasi algebra va geometriyaning muhim bo‘limi bo‘lib, fazoviy
figuralarni tahlil qilish va amaliy masalalarni yechishda juda samarali vosita hisoblanadi.
Vektor amallari fizikadan tortib dasturlash va muhandislikka qadar ko‘plab sohalarda
qo‘llaniladi.
Geometriyaning asosiy qonunlari.
Uchburchaklar tenglik teoremalari. Pifagor
teoremasi. Sinus va kosinus teoremalari, Parallellik va perpendikulyarlik qoidalari.
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
44
Zamonaviy geometriya yo‘nalishlari
. Diferensial geometriya – egri chiziqli yuzalar
xususiyatlarini tahlil qilish. Fraktal geometriya murakkab shakllarning o‘z-o‘zini
takrorlovchi tuzilishini o‘rganish. Topologiya figuralarning shakli va o‘lchamidan qat'i nazar,
ularning asosiy xossalarini tahlil qilish. Geometriya fanining nazariy asoslari nafaqat
matematik tafakkurni rivojlantiradi, balki amaliy sohalarda – qurilish, muhandislik, fizika va
texnologiyada ham keng qo‘llaniladi.
Koordinatalar usuli va analitik geometriya.
Analitik geometriya – bu algebraic
usullar yordamida geometrik shakllarni tahlil qilish va ularning o‘zaro munosabatlarini
o‘rganadigan matematik yo‘nalishdir. Ushbu usulda koordinatalar tizimi orqali nuqta,
chiziq, parabola, aylana va boshqa geometrik figuralarning tenglamalari ifodalanadi.
1. Koordinatalar usuli Koordinatalar usuli geometriyada nuqta va figuralarning
joylashuvini aniq belgilash uchun ishlatiladi. Asosiy tushunchalar: Dekart koordinatalari: ikki
o‘lchamli tekislikda (x,y) nuqta koordinatalari orqali aniqlanadi. Uch o‘lchamli fazoda esa (x, y,
z) koordinatalari ishlatiladi. Koordinatalar o‘qi gorizontal o‘q – x, vertikal o‘q – y, fazoviy
o‘qda esa z o‘qi mavjud.
2. Tenglamalari Geometrik figuralarni algebraik tenglamalar orqali ifodalash analitik
geometriyaning asosiy tamoyilidir. To‘g‘ri chiziq tenglamasi: y = kx + b parabola tenglamasi:
y=kx
2
+bx+c va shu kabilar nazarda tutiladi.
Endi Koordinatalar usulining amaliy qo‘llanilishini ko‘rib chiqsak Muhandislikda:
Inshootlar loyihasini chizish va tahlil qilishda. Fizikada: Harakat trayektoriyasini aniqlashda.
Dizaynda: Grafik modellashtirishda. Robototexnikada: Robotlarning harakat yo‘nalishini
aniqlashda
1. Inshootlarni loyihalash Muhandislar binolar, ko‘priklar va inshootlarning aniq
koordinatalarini hisoblash uchun koordinatalar usulidan foydalanadilar. Qurilish chizmalari
koordinatalar sistemasida tuziladi. Balans va barqarorlikni ta'minlash uchun to‘g‘ri chiziqlar
va burchaklar aniqlanadi. Koordinatalar orqali og‘irlik markazi hisoblanadi.
2. Qurilish maydonlarini rejalashtirish Yer maydonlarining koordinatalari GPS va
geodeziya usullari yordamida aniqlanadi. Qurilish materiallarining to‘g‘ri taqsimlanishi uchun
koordinatalar tizimi ishlatiladi. Balandlik va chuqurlik o‘lchovlari koordinatalar orqali
hisoblanadi. Geodeziya va kartografiyada qo‘llanilishi. Yer xaritalarini yaratish Xaritalarda
har bir nuqta aniq koordinatalar orqali belgilanadi. Geografik koordinatalar kenglik va uzunlik
orqali shaharlar, daryolar, tog‘lar joylashuvi aniqlanadi. Sun'iy yo‘ldosh tasvirlari
koordinatalar tizimi asosida chizmalarga aylantiriladi.
Navigatsiya va GPS tizimlari GPS tizimi nuqtalar koordinatalarini aniqlab, ularni xaritada
ko‘rsatadi. Navigatsiya dasturlari avtomobillar va samolyotlar harakat yo‘nalishini aniqlash
uchun koordinatalardan foydalanadi. Harakat trayektoriyasini kuzatish va optimal yo‘lni
aniqlash uchun algoritmlar ishlab chiqiladi.
3. Fizika va mexanikada qo‘llanilishi. Jism harakatini tahlil qilish Harakatlanuvchi
jismlarning koordinatalari vaqtga bog‘liq ravishda o‘zgaradi. Mashina va robot harakati
koordinatalar orqali kuzatiladi. Sportda futbol to‘pi yoki basketbol to‘pining trayektoriyasi
koordinatalar usuli bilan hisoblanadi.. Kuch va momentlarni hisoblash Fizikada jismlarga
ta’sir etuvchi kuchlar koordinatalar tizimida ifodalanadi. Tortishish kuchi, inersiya va
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
45
barqarorlik hisob-kitoblarida koordinatalar muhim rol o‘ynaydi. Qurilishda yuk taqsimoti va
bosim kuchlarini aniqlash uchun ishlatiladi.
4. Aviatsiya va kosmonavtikada qo‘llanilishi. Samolyot va raketalar harakatini aniqlash
Samolyotlarning harakat yo‘nalishi koordinatalar orqali boshqariladi. Uchish va qo‘nish
jarayonida aniq hisob-kitoblar koordinatalar asosida amalga oshiriladi. Harakat tenglamalari
koordinatalar usuli yordamida ishlab chiqiladi. Sun’iy yo‘ldosh va koinot tadqiqotlari Sun’iy
yo‘ldoshlarning orbiti koordinatalar tizimi orqali belgilanadi. Xalqaro kosmik stansiya va
raketalar harakati koordinatalar yordamida boshqariladi. Mars va Oyga uchiriladigan
apparatlar yo‘nalishini aniqlash uchun analitik geometriya va koordinatalar usulidan
foydalaniladi.
Xulosa.
Geometriya matematikaning eng muhim bo‘limlaridan biri bo‘lib, uning turli
yo‘nalishlari – analitik geometriya, fazoviy geometriya va vektorlar geometriyasi – ilmiy va
amaliy sohalarda keng qo‘llaniladi. Analitik geometriya algebra va geometriya o‘rtasidagi
bog‘lanishni o‘rganib, shakllarni algebraik tenglamalar orqali ifodalash imkonini beradi.
Fazoviy geometriya uch o‘lchamli jism va figuralarning xususiyatlarini o‘rganishga
yo‘naltirilgan bo‘lsa, vektorlar geometriyasi harakat, kuchlar va boshqa dinamik jarayonlarni
matematik jihatdan tahlil qilish imkonini beradi. Ushbu geometriya bo‘limlari muhandislik,
fizikaviy modellashtirish, kompyuter grafikasi, aeronavtika, navigatsiya va qurilish sohalarida
keng qo‘llanadi. Ayniqsa, koordinatalar usuli va vektor amallari yordamida murakkab
masalalarni algebraik usullar bilan yechish mumkin. Geometriyaning rivojlanishi ilm-fanning
turli tarmoqlarida yangi innovatsion texnologiyalarni yaratishga katta hissa qo‘shmoqda. Shu
sababli, bu fanni chuqur o‘rganish nafaqat nazariy bilimlarni mustahkamlashga, balki
zamonaviy muhandislik va texnologiya sohalarida muvaffaqiyatli ishlashga ham imkon beradi.
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
J.Qodirov,H.Qodirov Geometriya, Toshkent, 2005.
2.
S.Q.Salohiddinov – Geometriya kursi, Toshkent, 2010.
3.
T. F. Xudoyberganov, G. A. Matkarimov – Geometriya nazariy asoslari, Toshkent,2015.
4.
B. K. Muminov, Sh. M. Mamatov – Analitik geometriya va chiziqli algebra, Toshkent,2013.
5.
T. Karimov, M. Abdullayev – Analitik geometriya asoslari, Toshkent, 2008.
6.
G‘. G‘aniyev, A. Xo‘jayev – Analitik geometriya va koordinatalar usuli, Toshkent,2016.
7.
A. Sodiqov – Fazoviy geometriya asoslari, Toshkent, 2009.
8.
H. Nurmatov, S. Ortiqov – Fazoviy shakllar va ularning xususiyatlari, Toshkent, 2014.
9.
O. R. Abdurahmonov – Geometriya va uning amaliy qo‘llanilishi, Toshkent, 2017.
10.
B. Qo‘chqorov – Vektorlar geometriyasi va uning qo‘llanilishi, Toshkent, 2012.
