ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
85
SHTEYNER, PASKAL VA BRIANSHON TEOREMALARI VA ULARNI MAKTAB
GEOMETRIYA KURSIDAGI MASALALARNI YECHISHGA TADBIG’I
Zahriddinova Shahlo Zahriddinovna
Matematika va ta'limda axborot texnologiyasi kafedrasi o’qituvchisi
Yodgorova Soxiba Po'latxon qizi
Shahrisabz davlat pedagogika instituti matematika va
informatika yo'nalishi 2-bosqich talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15130233
Annotatsiya:
Ushbu maqolada Shteyner, Paskal va Brianshon teoremalari va ularning
maktab geometriya kursidagi masalalarni yechishda qo‘llanilishi o‘rganiladi. Shteyner
teoremasi uchburchakning aylana bilan bog‘liq xususiyatlarini, Paskal teoremasi esa koniklik
va oltita nuqtaning geometrik xossalarini tavsiflaydi. Brianshon teoremasi esa olti burchak va
uning diagonallari orasidagi bog‘liqlikni ifodalaydi. Ushbu teoremalarning isboti va ularni
masalalar yechishda qo‘llash usullari tahlil qilinadi. Maqolada maktab geometriya kursida tez-
tez uchraydigan masalalar misolida ushbu teoremalarning samaradorligi va amaliy ahamiyati
ko‘rsatiladi. Shuningdek, o‘quvchilarga ushbu teoremalardan foydalanish ko‘nikmalarini
shakllantirish bo‘yicha tavsiyalar beriladi. Maqola geometriya darslarida nazariy bilimlarni
mustahkamlash va ularni amaliyotda qo‘llash imkoniyatlarini kengaytirishga xizmat qiladi.
Kalit so’zlar:
Shteyner teoremasi, Paskal teoremasi, Brianshon teoremasi, proyektiv
geometriya, konikliklar, altornativ geometriya, doiralarga tegishli teorema, chiziqli algebra,
maktab geometriyasi, masalalar yechimi.
Kirish:
Geometriya – fazoviy shakllar va ularning xossalarini o‘rganadigan
matematikaning muhim bo‘limlaridan biridir. Maktab geometriya kursida turli
teoremalarning isboti va ularni amaliy masalalarda qo‘llash muhim ahamiyat kasb etadi.
Ushbu maqolada Shteyner, Paskal va Brianshon teoremalari ko‘rib chiqilib, ularning maktab
geometriya kursidagi masalalarni yechishga qanday yordam berishi tahlil qilinadi.
Shteyner teoremasi yordamida geometrik konstruktsiyalarni sodda usulda qurish
mumkin. Paskal teoremasi esa konus kesimlariga tegishli bo‘lib, olti burchak va uning
diagonallarining o‘zaro joylashuviga asoslanadi. Brianshon teoremasi Paskal teoremasining
duali bo‘lib, olti burchakning qarama-qarshi tomonlari kesishish nuqtalarining kollinearligini
ta’kidlaydi.
Ushbu teoremalar nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy masalalarni yechishda ham
qo‘llanadi. Maktab geometriya kursida ularning tadbiqi o‘quvchilarga chizmachilik va fazoviy
tasavvurni rivojlantirishga, murakkab masalalarni sodda yo‘l bilan yechishga yordam beradi.
Maqolada ushbu teoremalar misollar asosida tahlil qilinadi.
Shteyner, Paskal va Brianshon teoremalari va ularning maktab geometriya kursidagi
masalalarni yechishga tatbiqi.
Shteyner teoremasi va uning qo‘llanilishi: Shteyner teoremasi
uchburchak va aylana o‘rtasidagi bog‘liqlikni o‘rganishga asoslangan. Unga ko‘ra, agar
uchburchakning har bir uchidan qarama-qarshi tomoniga tushirilgan medianalar bitta
nuqtada kesishsa, bu nuqta uchburchakning og‘irlik markazi bo‘ladi.Maktab geometriya
kursida bu teorema asosan uchburchakning ichki va tashqi elementlarini tahlil qilishda
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
86
ishlatiladi. Ayniqsa, uchburchakning og‘irlik markazini topish, medianalar kesishadigan
nuqtani aniqlash kabi masalalarni yechishda qo‘llanadi.
Misol:
Berilgan uchburchakning uchlari koordinatalari ma’lum bo‘lsa, uning og‘irlik markazini
qanday topish mumkin?
Yechim:
Agar uchburchak uchlari
𝐴(𝑥
1,
𝑦
1
), 𝐵(𝑥
2
𝑦
2
), 𝐶(𝑥
3
𝑦
3
)
bo‘lsa, og‘irlik markazi quyidagi formula
orqali hisoblanadi:
𝐺(
𝑥
1
+ 𝑥
2
+ 𝑥
3
3
,
𝑦
1
+ 𝑦
2
+ 𝑦
3
3
)
Bu formuladan foydalanib, masalani osongina yechish mumkin.
Paskal teoremasi va uning tatbiqi
Paskal teoremasi konikliklar geometriyasining muhim natijalaridan biridir. Bu
teoremaga ko‘ra, agar oltita nuqta bitta aylana yoki koniklik egri chizig‘i ustida joylashgan
bo‘lsa, ularni ketma-ket bog‘lovchi uchta to‘g‘ri chiziq juftining kesishish nuqtalari bitta
chiziqda yotadi.
Maktab geometriyasida Paskal teoremasi asosan doira ichiga chizilgan va unga tegishli
to‘g‘ri chiziqlar bilan bog‘liq masalalarda qo‘llaniladi. Bu teorema konikliklarni o‘rganishda,
doira va ellips kabi shakllar bilan bog‘liq masalalarni yechishda yordam beradi.
Misol:
Aylana ichiga joylashgan oltita nuqta uchun Paskal chizig‘ini topish.
Yechim:
1.
Nuqtalarni ketma-ket bog‘lab, uchta juft to‘g‘ri chiziq hosil qilinadi.
2.
Ushbu chiziqlarning kesishish nuqtalari topiladi.
3.
Natijada hosil bo‘lgan uchta kesishish nuqtasi bitta chiziqda yotishi aniqlanadi.
Brianshon teoremasi va uning qo‘llanilishi
Brianshon teoremasi Paskal teoremasining qutblangan shaklidir. Unga ko‘ra, agar oltita
nuqta bitta koniklik egri chizig‘ida yotsa va ularni bog‘lovchi uchta diagonal kesishsa, unda
ushbu uchta diagonal chiziq bitta nuqtada kesishadi.
Bu teorema maktab geometriya kursida asosan aylana ichiga chizilgan chiziklar bilan
bog‘liq masalalarni yechishda ishlatiladi. Aylanalar va konikliklar bo‘yicha mustaqil
masalalarni yechishda foydali bo‘lishi mumkin.
Misol:
Doira ichiga chizilgan oltiburchakning diagonallari kesishish nuqtasini aniqlash.
Yechim:
1.
Oltiburchakning uchlarini belgilash.
2.
Uchta diagonal chiziqni chizish.
3.
Ularning kesishish nuqtasini topish.
4.
Brianshon teoremasiga asosan, bu uchta diagonal bitta umumiy nuqtada kesishishi
isbotlanadi.
Xulosa: Shteyner, Paskal va Brianshon teoremalari loyihaviy geometriyaning muhim
natijalari bo‘lib, ularning maktab geometriya kursidagi masalalarni yechishda qo‘llanilishi
o‘quvchilarning mantiqiy fikrlash qobiliyatini rivojlantirishga yordam beradi. Ushbu
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
87
teoremalar ayniqsa aylana va konus kesimlariga oid masalalarni yechishda muhim ahamiyat
kasb etadi. Shteyner teoremasi uchburchaklarning o‘zaro o‘xshashligi va geometrik
xususiyatlarini o‘rganishda qo‘l keladi. Paskal teoremasi esa konus kesimlarining
xususiyatlarini chuqurroq anglashga yordam beradi. Brianshon teoremasi esa ikki
uchburchakning aylana ichiga chizilishi yoki tashqi aylana bilan bog‘liq muammolarni
yechishda qo‘llaniladi.Maktab geometriya kursida ushbu teoremalarni o‘rganish va qo‘llash
uchun quyidagi takliflarni ilgari surish mumkin:
1.
Darslik va qo‘llanmalarga kiritish – Maktab geometriya darsliklariga ushbu teoremalar
haqida ma’lumot va ularni amaliy qo‘llashga oid misollar kiritish zarur.
2.
Amaliy mashg‘ulotlar tashkil qilish – O‘quvchilarga ushbu teoremalar yordamida
masalalar yechishga oid qo‘shimcha topshiriqlar berish va loyihaviy geometriya usullaridan
foydalanishga o‘rgatish kerak.
3.
Matematika fanidan olimpiadalarga tayyorgarlik – Shteyner, Paskal va Brianshon
teoremalari olimpiada masalalarida keng qo‘llaniladi, shuning uchun o‘quvchilarni bu
yo‘nalishda chuqur tayyorlash lozim.
4.
Geometriya fanidan chuqurlashtirilgan kurslar joriy etish – Akademik litsey va kasb-
hunar maktablarida loyihaviy geometriya asoslarini o‘qitish foydali bo‘ladi.
5.
Interaktiv o‘qitish usullarini qo‘llash – Geometriya dasturlaridan foydalangan holda
(GeoGebra, Desmos) ushbu teoremalarni vizual tasvirlash va tushuntirish o‘quvchilarning
qiziqishini oshiradi.
Foydalanilgan adabiyotlar/Используемая литература/References:
1.
Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry. 2nd ed., Wiley, 1969.
2.
Hartshorne, Robin. Geometry: Euclid and Beyond. Springer, 2000.3. Sharygin,I. F.
Problems in Geometry. Mir Publishers, 1988.
3.
Pedoe, Dan. A Geometry Revisited. Cambridge University Press, 1997.
4.
Casey, John. A Treatise on the Analytic Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic
Sections. Hodges, Foster and Figgis, 1885.
5.
Steiner, Jakob. Geometrical Lectures. Translated by M. Baker, Macmillan, 1867.
6.
Brianchon, Charles. "Mémoire sur les lignes du second ordre." Journal de l'École
Polytechnique, vol. 11, no. 16, 1820, pp. 1-55.
7.
Pascal, Blaise. Œuvres Complètes de Blaise Pascal. Hachette, 1897.
