SYNAPSES:
Insights Across the Disciplines
ISSN: 3060-4737 Volume 2, Issue 5 IF(Impact Factor) 10.92 / 2024
119
Synapses:
Insights Across the Disciplines
IKKINCHI TARTIBLI EGRI CHIZIQLARNI MODELLASHTIRISH
Zaitov Samandar Ravshanbekovich
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi
TATU Televizion va media texnologiyalar kafedrasi asissenti
ANNOTATSIYA
Mazkur maqolada hozirgi kunda sirtlarni loyihalash amaliyotida, asosan,
hisoblash geometriyasining mashhur usullariga asoslangan, geometriya axborotini
shakllantirishning diskret raqamli usullarini amalga oshiruvchi zamonaviy CAD
texnologiyasi keltirilgan. Xususan, ikkinchi tartibli egri chiziqlardan asosiy formativ
elementlar sifatida foydalanishga qaratilgan.
KALIT SOZLAR
Egri chiziq, ikkinchi tartibli egri chiziq, modellashtirish, dekart koordinatalar
tizimi, kinematik, geometrik modellashtirish.
Rejada to‘g‘ri to‘rtburchak shaklida bo‘lgan fazoviy yopiq kontur ABCD
berilgan, uning frontal bo‘g‘inlari AB va CD-ikkinchi tartibli egri chiziqlarning
yoylari, yon bo‘g‘inlari AD va BC esa-ixtiyoriy silliq egri chiziqlar (1-rasm). Berilgan
konturga tayanadigan uzluksiz silliq sirt qurish talab etiladi. Masalani yechishda
kinematik usul qo‘llaniladi.
m
egri chizig‘i, u hosil qiluvchi deb ataladi, yo‘naltiruvchilar AD va BC bo‘ylab
sirg‘anadi va o‘z shaklini AB yoyidan CD yoyigacha silliq o‘zgartiradi shart qilib
qo‘yamiz.
1-rasm
SYNAPSES:
Insights Across the Disciplines
ISSN: 3060-4737 Volume 2, Issue 5 IF(Impact Factor) 10.92 / 2024
120
Synapses:
Insights Across the Disciplines
Hosil qiluvchi m egri chizig‘i ikkinchi tartibli egri chiziqning bir bo‘lagi
bo‘lsin. Tekislikdagi ikkinchi tartibli egri chiziq beshta erkinlik darajasiga ega, shuning
uchun hosil qiluvchining shaklini boshqarish uchun, ba’zi mustaqil parametr bilan
aniqlanuvchi beshta shartni ko‘rsatish kerak bo‘ladi.
Modellashayotgan sirt dekart koordinatalar tizimidagi
x
va
y
o‘qlari bo‘yicha
yo‘naltirilgan to‘g‘ri to‘rtburchak asosga ega bo‘lib, bu bizga mustaqil parametr
sifatida
y
koordinatasini qabul qilish imkonini beradi. Ushbu
y
parametrining har bir
qiymatiga tayanch konturining yon bo‘g‘inlari bo‘ylab yotuvchi ikkita nuqta mos
keladi, va hosil qiluvchi
m
shu nuqtalardan o‘tishi kerak. Bu shart hosil qiluvchining
erkinlik darajasini ikki birlikka kamaytiradi. Ushbu nuqtalarda hosil qiluvchiga
tangensial (tegishli) yo‘nalishlarni belgilash orqali yana ikki erkinlik darajasini
belgilaymiz.
Berilgan
y
parametrining qiymatida hosil qiluvchi
m
ning shakli va joylashuvini
to‘liq aniqlash uchun, konstruktsiyalanayotgan sirtga qo‘yilgan texnik talablar asosida
qo‘shimcha yo‘naltiruvchi ko‘rsatish kerak bo‘ladi.
Masalan, sirt qavariq bo‘lgan
n
hosil qiluvchi orqali o‘tishi talab etilsin, bu hosil
qiluvchining tekisligi kontur yon bo‘g‘inlari tekisliklariga parallel bo‘lsin (2-rasm).
Keling,
xz
tekisligiga parallel bo‘lgan va AD, a va BC, b yo‘naltiruvchilariga ega
bo‘lgan ikki yordamchi chiziqli sirt η va ψ ni ko‘rsatamiz.
Agar a-to‘g‘ri chiziq, b esa-silliq egri chiziq bo‘lsa, u holda η (AD, a) chiziqli sirt-
konoid, ψ (BC, b) esa-silindroid bo‘ladi. Modellashayotgan sirt AD bo‘g‘inidagi
nuqtalarda konoid η ga va BC bo‘g‘inidagi nuqtalarda tsilindroid ψ ga tegib turishini
talab qilamiz. Bu talab hosil qiluvchi
m
sirtining tayanch konturdagi barcha nuqtalarida
aniq tangensial yo‘nalishni ko‘rsatish imkonini beradi.
2-rasm
SYNAPSES:
Insights Across the Disciplines
ISSN: 3060-4737 Volume 2, Issue 5 IF(Impact Factor) 10.92 / 2024
121
Synapses:
Insights Across the Disciplines
Berilgan konturda yo‘naltiruvchi
a
chizig‘i frontal qismlar AB va CD
tekisliklari bilan kesishgan joyda, tugun nuqtalaridagi (A va D) tegishli tangensial
chiziqlarga mos kelishi kerak. Xuddi shunday, yo‘naltiruvchi
b
chizig‘i B va C
tugunlarida mos tangensial chiziqlarga mos bo‘lishi zarur. Bu sirtning silliq va uzluksiz
bo‘lishi uchun shart.
Yo‘naltiruvchi
a
va
b
egri chiziqlarning shakli va joylashuvini o‘zgartirish orqali
sirt shaklini boshqarish mumkin.
Aslida, sirt shaklini aniqlash uchun uchta asosiy element yetarli bo‘ladi:
•
Qo‘shimcha yo‘naltiruvchi
n
•
Va unga tegib turuvchi ikkita chiziqli sirt (η va ψ).
Parametr
y
ning har bir qiymatiga quyidagilar mos keladi:
•
Konturdagi ikki nuqta (yon tomonlardan),
•
Ularning tangensial chiziqlari
•
Yo‘naltiruvchi
n
ustidagi bir nuqta.
Ushbu 5 ta element orqali faqat bitta ikkinchi tartibli egri chiziq quriladi-bu hosil
qiluvchi
m
chizig‘i bo‘ladi.
y
parametrini o‘zgartirib, biz uzluksiz o‘zgarib boruvchi
egri chiziqlar majmuasini hosil qilamiz va natijada silliq sirt shakllanadi.
Masalan:
•
Agar
y
=
y
A bo‘lsa -AB qismi hosil qilinadi,
•
Agar
y
= 0 bo‘lsa -CD qismi hosil qilinadi.
Shunday qilib, hosil qiluvchi m AB yoyidan CD yoyigacha silliq o‘zgaradi va har
doim ikkinchi tartibli egri chiziq shaklida qoladi.
Uch xil sirt shakllanishi mumkin:
•
Qavariq
(3-a rasm)
•
To‘g‘ri chiziqli
(3-b rasm)
•
Ichkari egilgan (konkav)
(3-v rasm) qo‘shimcha yo‘naltiruvchi
n
bilan.
3-rasm
SYNAPSES:
Insights Across the Disciplines
ISSN: 3060-4737 Volume 2, Issue 5 IF(Impact Factor) 10.92 / 2024
122
Synapses:
Insights Across the Disciplines
Ko‘rib chiqilgan algoritmga muvofiq, har qanday holatda ham uzluksiz va
silliq sirt hosil bo‘ladi. Bu sirt AB yoyidan CD yoyigacha shaklini o‘zgartirib
boradigan, bir parametr bo‘yicha o‘zgaruvchi ikkinchi tartibli egri chiziqlar
majmuasidan tashkil topgan. Vogn (ichkari egilgan) yo‘naltiruvchi bilan qurilgan sirt
esa ikkita maxsus chiziqni o‘z ichiga oladi, ular
m
1 va
m
2, va bu chiziqlar oddiy to‘g‘ri
chiziqlarga aylanadi.
Hosil qilinayotgan sirt karkasida to‘g‘ri chiziqli elementlarning bo‘lishi
texnologik afzallik hisoblanadi.
Berilgan konturga tayanadigan sirtni qurish masalasi ikki o‘lchovli interpolatsiya
(loft) usuli yordamida ham yechiladi, bu usul grafikga yo‘naltirilgan SAPR (kompyuter
yordamida loyihalash tizimlari)da mavjud.
Keling, geometrik modellashtirish natijalarini taqqoslaymiz: birinchisi-biz ko‘rib
chiqqan algoritm bo‘yicha, ikkinchisi-loft usuli orqali.
Taqqoslash uchun vogn yo‘naltiruvchi bilan qurilgan sirtni tanlaymiz. Sirt
profillarini
m
1,
m
2 va
m
3 hosil qiluvchilar orqali kesib, taqqoslaymiz (4-rasm).
Bizning algoritmga ko‘ra, sirt to‘g‘ri chiziqli hosil qiluvchilar
m
1 va
m
2 ni o‘z
ichiga oladi. Biroq loft usuli orqali hisoblab qurilgan sirt esa,
m
1′ va
m
2′ shaklida
sezilarli tebranishlarga ega bo‘ladi. Bu esa geometrik modelning konstruktsion
kamchiligi sifatida qaraladi.
4-rasm
Kinematik usulda qurilgan sirtlarning boshqa misollari ham mavjud. Ushbu
algoritm yordamida turli xil arxitektura qobiq modellarini hosil qilish mumkin, ular
ixtiyoriy tekis yoki fazoviy konturlarga tayanishi mumkin (5-rasm). Masalan, sirt tekis
konturga tayanib, elliptik
e
va giperbolik
g
segmentlar orqali o‘tadi va u yerda suv
ajratuvchi chiziq
n
mavjud bo‘ladi.
SYNAPSES:
Insights Across the Disciplines
ISSN: 3060-4737 Volume 2, Issue 5 IF(Impact Factor) 10.92 / 2024
123
Synapses:
Insights Across the Disciplines
5-rasm
Qobiq shakli, yo‘naltiruvchi chiziqlar BC va AC ning holati o‘zgarganda,
o‘zgaradi (5-rasm, a). Ellips yoyiga (
e
) tayanadigan oval sirt esa, ikkinchi tartibli egri
chiziq
m
orqali shakllantirilgan bo‘lib, u yo‘naltiruvchi chiziq
n
bo‘ylab sirpanadi (5-
rasm, b).
To‘g‘ri to‘rtburchak konturga tayanadigan sirt esa, hosil qiluvchi chiziqning
harakati orqali hosil qilinadi. Bu chiziq shaklini A nuqtasidan boshlanuvchi
uchburchakdan tortib, doira yoyigacha o‘zgartirib boradi (5-rasm, v). Bu sirt bilan
tutashgan boshqa sirtlar esa oddiy ikki qiyshiq tekislikka aylanadi va ular
yz
tekisligiga
parallel bo‘ladi hamda AB va AC to‘g‘ri chiziqlarga tayanadi.
Agar qobiqni quyidagi fazoviy konturga moslab tortish talab qilinsa- bu kontur
doiradan, uchburchakdan, to‘g‘ri chiziq bo‘lagidan va yo‘naltiruvchi chiziqlar
d
va
e
dan tashkil topgan bo‘lsa (5-rasm, g)-unda sirtning bu qismi ikkinchi tartibli egri chiziq
yordamida shakllanadi. Bu egri chiziq shaklini doira yoyidan boshlab, oddiy to‘g‘ri
chiziq holatigacha o‘zgartirib boradi.
5-rasmning
d
va
e
qismlarida esa, to‘rtburchak shakldagi tayanchga tayanib
qurilgan qobiq sirtlari ko‘rsatilgan. Ushbu barcha sirtlarning karkaslari ikkinchi tartibli
egri chiziq yoylaridan tashkil topgan.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1.
Бубенников, А.В. Начертательная геометрия / А.В. Бубенников. – М.:
Высшая школа, 1985. – 288 с.
2.
Графский, О.А. Теоретико-конструктивные проблемы моделирования
мнимых элементов в начертательной геометрии и ее приложениях: дис….
докт. техн. наук / О.А. Графский. – М.: Изд-во МАИ, 2004. – 404 с.
SYNAPSES:
Insights Across the Disciplines
ISSN: 3060-4737 Volume 2, Issue 5 IF(Impact Factor) 10.92 / 2024
124
Synapses:
Insights Across the Disciplines
3.
Короткий, В.А. Коника на евклидовой плоскости, заданная пятью дей-
ствительными элементами / В.А. Короткий // Совершенствование
подготовки уча-щихся и студентов в области графики, конструирования и
стандартизации: Межвуз. науч.-метод. сб. – Саратов: СГТУ, 2010. – С. 165-
170.
4.
Короткий, В.А. Гомология двух конических сечений / В.А. Короткий //
Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики,
констру-ирования и стандартизации: межвуз. науч.-метод. сб. – Саратов:
СГТУ, 2012. – С.27-33.
