Статистика и точность основных случайных процессов

Жамият

ва

инновациялар

–

Общество

и

инновации

–

Society and innovations

Journal home page:

https://inscience.uz/index.php/socinov/index

Statistics and accuracy of basic random processes

Baxora MURATOVA

1

Karshi branch of the Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization engineers

ARTICLE INFO

ABSTRACT

Article history:

Received October 2021
Received in revised form
15 October 2021
Accepted 20 November 2021
Available online
15 December 2021

This article discusses the levels of accuracy of the results

obtained by chance, when observing the main random processes.
Random processes certainly happen by chance, but we must be
able to bring these processes to a certain degree of statistical
accuracy. Since statistics is an exact science, it includes specific
facts, formulas and numbers. Then the main goal of research is
achieved. The possibility of developing a theory of random
processes based on accuracy is considered.

2181-

1415/© 202

1 in Science LLC.

DOI:

https://doi.org/10.47689/2181-1415-vol2-iss11/S-pp406-409

This is an open access article under the Attribution 4.0 International
(CC BY 4.0) license (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

Keywords:

random processes,
statistical estimation,
covariance functions,
spectral density,
periodogram.

Asosiy tasodifiy jarayonlar statistikasi

АННОТАЦИЯ

Калит сўзлар:

tasodifiy jarayonlar,
statistik baho,
kovariatsion funksiyalar,
spektr zichligi,
periodogramma.

Maqola asosiy tasodifiy jarayonlarni kuzatishdan olingan

natijalarning aniqlik darajasiga bag`ishlangan. Tasodifiy
jarayonlar, albatta, tasodif sababli yuzaga keladi, biroq biz ushbu
jarayonlarni statistika yuzasidan ma'lum bir darajada aniqlikka
olib kela olishimiz lozim. Chunki statistika aniq fan bo`lib, unda
aniq faktlar,formulalar va raqamlar ishtirok etadi, biz statistik
bahoni siljimagan, deb qaraymiz. Shunda asosiy maqsadimizga
yetamiz. Sababi, biz aniqlikka asoslangan tasodifiy jarayonlar
nazariyasini ishlab chiqishimiz lozim.

1

Assistant, Karshi branch of the Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers, Karshi, Uzbekistan.

Жамият

ва

инновациялар

–

Общество

и

инновации

–

Society and innovations

Special Issue

–

11 (2021) / ISSN 2181-1415

407

Статистика и точность основных случайных процессов

АННОТАЦИЯ

Ключевые слова:

случайные процессы,
статистическая оценка,
ковариационные функции,
спектральная плотность,
периодограмма.

В данной статье рассмотрены уровни точности

результатов, полученных случайно, при наблюдении
основных случайных процессов. Случайные процессы,
безусловно, происходят случайно, но мы должны уметь
довести

эти

процессы

до

определенной

степени

статистической точности. Поскольку статистика –

это

точная наука, она включает в себя конкретные факты,
формулы и числа. Тогда достигается основная цель
исследований.

Рассмотрена

возможность

разработки

теории случайных процессов, основанную на точности.

Asosiy tasodifiy jarayonlarni kuzatishda etiborimizni keng manodagi statsionar

tasodifiy jarayonni kuzatish natijalarini kuzatamiz.

𝜉(1), 𝜉(2), … , 𝜉(𝑇) −

bu

𝜉(𝑡)

keng

ma’nodagi statsionar tasodifiy jarayonni 𝑇

marta kuzatish natijalari bo’lsinki, 𝑡 =

⋯ , −1,0,1, … 𝜉(𝑡) −

diskret parametrli tasodifiy jarayon

bo’lsin. 𝜉(𝑡)

tasodifiy jarayon

matematik kutilmasi

𝑀𝜉(𝑡) = 𝑀,

kovariatsion funksiyalar ketma-ketligi

𝑐𝑜𝑣(𝜉(𝑡), 𝜉(𝑡 +

ℎ)) = 𝑀(𝜉(𝑡) − 𝑀)(𝜉(𝑡 + ℎ) − 𝑀) = 𝑅(ℎ)

kabi berilgan, bunda

𝑡 = ⋯ , −1,0,1, …

va

ℎ =

0, ±1, ±2, … 𝜉(𝑡)ning spektr funksiyasi absolyut uzluksiz funksiya bo’lsa, mavjud spektr

zichligi

𝑓(𝜆), −𝜋 ≤ 𝜆 ≤ 𝜋

bo’ladi. U holda ma’lumki,

𝑅(ℎ) = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝜆ℎ𝑓(𝜆)𝑑𝜆

𝜋

−𝜋

= ∫ 𝑒

𝑖𝜆ℎ

𝑓(𝜆)𝑑𝜆

𝜋

−𝜋

,

ℎ = 0, ±1, ±2, … o’rinlidir.

Agar

∑ |𝑅(ℎ)| = 𝑅(𝑜) + 2 ∑|𝑅(ℎ)| < ∞

∞

ℎ=1

+∞

ℎ=−∞

bo’lsa, ya’ni qator yaqinlashuvchi bo’lsa, 𝜉(𝑡)

ning

𝑓(𝜆)

spektr zichligi uzluksiz

bo’ladi hamda

𝑓(𝜆) =

1

2𝜋

∑ 𝑅(ℎ)𝑐𝑜𝑠𝜆ℎ =

+∞

ℎ=−∞

1

2𝜋

∑ 𝑅(ℎ)𝑒

𝑖𝜆ℎ

+∞

ℎ=−∞

munosabatlar o’rinlidir.

Matematik kutilma

𝑀𝜉(𝑡) = 𝜇

ning siljimagan statatistik bahosi deb

𝜉̅ =

1

𝑇

∑ 𝜉(𝑡)

𝑇

𝑡=1

ni olamiz.
Agar

𝜇 = 𝑀𝜉(𝑡)

aniq son bo’lsa, 𝑅(ℎ)

kovariatsion funksiya uchun siljimagan baho

deb

𝑅̅(ℎ) = 𝑅̅(−ℎ) =

1

𝑇 − ℎ

∑(𝜉(𝑡) − 𝜇)(𝜉(𝑡 + ℎ) − 𝜇)

𝑇−ℎ

𝑡=1

ℎ = 0,1, … , 𝑇 − 1

ni olamiz.

Жамият

ва

инновациялар

–

Общество

и

инновации

–

Society and innovations

Special Issue

–

11 (2021) / ISSN 2181-1415

408

Agar

𝜇 = 𝑀𝜉(𝑡) matematik kutilma noma’lum bo’lsa, u

holda

𝑅

∗

̅̅̅ (ℎ) = 𝑅

∗

̅̅̅ (−ℎ) =

1

𝑇 − ℎ

∑(𝜉(𝑡) − 𝜉

ℎ

̅ )

𝑇−ℎ

𝑡=1

(𝜉(𝑡 + ℎ) − 𝜉

ℎ

̅ )

ni

𝑅(ℎ)

kovariatsion funksiya statistik bahosi qaraladi.

bunda,

𝜉

ℎ

̅ =

1

𝑇 − ℎ

∑ 𝜉(𝑡),

𝑇−ℎ

𝑡=1

ℎ = 0,1, … , 𝑇 − 2

va

𝜉

ℎ

∗

̅

1

𝑇 − ℎ

∑ 𝜉(𝑡 + ℎ),

𝑇−ℎ

𝑡=1

ℎ = 0,1, … , 𝑇 − 2

𝑓(𝜆)

spektr zichligi statistik bahosi deb ushbu periodogrammani, ya’ni

𝐼(𝜆) =

1

2𝜋𝑇

|∑(𝜉(𝑡) − 𝜇)𝑒

𝑖𝑡𝜆

𝑇

𝑡=1

|

2

, 𝜋 ≤ 𝜆 ≤ 𝜋

(agar

𝜇 = 𝑀𝜉(𝑡)

noma’lum bo’lsa), yoki

𝐼

𝑇

(𝜆) =

1

2𝜋𝑇

|∑(𝜉(𝑡) − 𝜉̅)𝑒

𝑖𝑡𝜆

𝑇

𝑡=1

|

2

, 𝜋 ≤ 𝜆 ≤ 𝜋

ni olish mumkin.

𝑅(𝑜) = ∫ 𝑓(𝜆)𝑑𝜆

𝜋

−𝜋

ekani

ma’lum.

Teorema.

Agar

∑ 𝑅(ℎ)𝑐𝑜𝑠𝜆ℎ < ∞

+∞

ℎ=−∞

bo’lsa,

MI(λ)

𝑇→∞

=

1

2𝜋

∑ 𝑅(ℎ) cos 𝜆ℎ

+∞

ℎ=−∞

o’rinlidir. Agar 𝑓(𝜈)

funksiya

𝜈 = 𝜆

nuqtada uzluksiz bo’lsa,

lim

𝑇→∞

𝑀𝐼(𝜆) = 𝑓(𝜆)

o’rinli, ya’ni periodogramma 𝑓(𝜆)

spektr zichlikning asimptotik siljimagan statistic

bahosidir.

Isboti.

Osonlik bilan isbotlash mumkinki,

𝑀𝐼(𝜆) =

1

2𝜋

∑

(1 −

|ℎ|

𝑇

)

𝑇−1

ℎ=−(𝑇−1)

𝑅(ℎ)𝑐𝑜𝑠𝜆ℎ =

chunki

𝑅̅ = 𝐶

ℎ

= 𝐶

−ℎ

=

1

𝑇

∑(𝜉(𝑡) − 𝑀)(𝜉(𝑡 + ℎ) − 𝑀)

𝑇−ℎ

𝑡=1

va

Жамият

ва

инновациялар

–

Общество

и

инновации

–

Society and innovations

Special Issue

–

11 (2021) / ISSN 2181-1415

409

𝑀𝐶(ℎ) = (𝑇 − |ℎ|)𝑅(ℎ) ∙

1

𝑇

,

munosabatga va lemmaga asosan o’rinli bo’ladi.

𝑀𝐼(𝜆) =

1

2𝜋𝑇

∫ ∑ 𝑐𝑜𝑠𝜈(𝑡 − 𝑠)𝑐𝑜𝑠𝜆(𝑡 − 𝑠)𝑓(𝜈)𝑑𝜈 =

𝑇

𝑠,𝑡=1

𝜋

−𝜋

ni olish mumkin.

Adabiyotlar ro`yxati
1.V.Ye.Gmurman. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. Toshkent

O’qituvchi, 1977.

2.И. Г. Журбенко»Спектральный анализ временных рядов» издательство МГУ,

1982.

3. Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей. Математическая

статистика.

- 2-

е изд.

-

М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

6. Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П. Теория

вероятностей и математическая статистика в задачах М.: 2003.

7. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высшая

школа, 1984.

8. Кибзун А. И., Горяинова Е. Р., Наумов А. В., Сиротин А. Н. Теория

вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами
/ Учебн. пособие.

-

М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.