Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Journal home page:
https://inscience.uz/index.php/socinov/index
A nonlocal problem for a hyperbolic equation with a singular
coefficient that degenerates inside a domain
Sanam CHORIEVA
1
Termez State University
ARTICLE INFO
ABSTRACT
Article history:
Received February 2021
Received in revised form
28 March 2022
Accepted 20 April 2022
Available online
15 May 2022
The problem for hyperbolic equations that degenerate inside
the domain is studied with the Bitsadze-Samarsky condition,
which relates the values of the desired solution on the
characteristic with the values on two special curves lying inside
the domain.
2181-
1415/©
2022 in Science LLC.
DOI:
https://doi.org/10.47689/2181-1415-vol3-iss4/S-pp
This is an open access article under the Attribution 4.0 International
(CC BY 4.0) license (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)
Keywords:
Singular coefficient,
hyperbolic equations,
degenerate within the
region, Bitsadze-Samarsky
conditions.
Соҳа ичидаги коэффисентли сингуляр тенгламанинг
нолокал ҳолати
АННОТАЦИЯ
Калит сўзлар:
Сингулар коэффициент,
гиперболик тенгламалар,
соҳа ичида бузиладиган,
Бицадзе
-
Самарский
шартлари.
Соҳа ичида бузиладиган гиперболик тенгламалар учун
Бицадзе
-
Самарский
шарти
ўрганилади,
изланаётган
ечимнинг характеристикадаги қийматларини соҳа ичида
жойлашган иккита махсус эгри чизиқдаги қийматлар
билан боғлайди.
Нелокальная задача для вырождающегося внутри области
гиперболического
уравнения
с
сингулярным
коэффициентом
АННОТАЦИЯ
Ключевые слова:
Сингулярный
коэффициент,
гиперболических
Исследуется задача для гиперболических уравнений,
вырождающихся внутри области, с условием Бицадзе
-
Самарского, связывающим значения искомого решения на
1
PHD, Lecturer, Termez State University, Termez, Uzbekistan
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
04 (2022) / ISSN 2181-1415
127
уравнений,
вырождающихся внутри
области, условия Бицадзе
-
Самарский.
характеристике со значениями на двух специальных
кривых, лежащих внутри области.
1.
Постановка задачи Г.
Рассмотрим уравнение
0,
0
2
m
xx
yy
y
m
y u
u
u
m
y
−
+
−
=
. (1)
Пуст
конечная односвязная область плоскости независимых переменных
,
x y
, ограниченная характеристиками
,
0
,
1
2
2
:
2
2
1
1
=
+
+
y
y
m
x
BC
АС
m
.
0
,
1
)
(
2
2
:
2
2
2
2
=
−
+
+
y
y
m
x
BC
АС
m
Задача
.
Найти в области
регулярное решение
=
=
=
.
0
)
,
(
),
,
(
,
0
)
,
(
),
,
(
)
,
(
2
2
1
1
у
у
x
у
x
u
у
у
x
у
x
u
у
х
и
уравнения (1) из класса
(
)
(
)
2
1
2
\
C
C
AB
удовлетворяющее
краевым условиям
1
2
( )
( )
( )
1
2
[
( )]
[
( )]
[
( )]
j
j
j
j
j
k
j
k
u
x
u
x
u
x
=
+
+
1
1
1
2
1
1
(
( ),0)
(
( ),0)
( ),
2
2
j
j
j
u
p x
u
p x
x
x
I
AB
+
−
+
=
(2)
здес,
1
j
=
соответствует
области
1
,
а
2
j
=
области
2
,
1
1
1
2
2
2
( )
,
( )
,
p x
a
b x p x
a
b x
= +
=
+
где
1
2
,
,
1, 2
1
1
i
i
i
i
i
k
a
b
i
k
k
−
=
=
=
+
+
и условиям
сопряжения
,
),
,
(
lim
)
,
(
lim
2
0
1
0
−
−
→
+
→
=
I
х
у
х
и
c
у
х
и
у
у
(3)
1
2
2
2
0
0
lim
( ) lim (
)
( ),
m
m
y
y
u
u
y
x
y
x
x
I
y
y
−
−
→+
→−
=
−
+
(4)
где
1
2
( )
( )
( )
( )(
( ),
( ))
j
j
j
k
k
х
х
х
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
04 (2022) / ISSN 2181-1415
128
0
2
2
( )
1
0
0
1
(
2)(1
)
( )
( )
,
2
4
m
j
j
x
m
x
x
i
+
−
+
+
−
=
+ −
1
2
2
( )
1
1 0
0
0
1
1
1
(
2)(1
)
( )
( )
,
1
2(
1)
m
j
j
k
k x
m
x
x
i
k
k
+
−
+
+
−
=
+ −
+
+
2
2
2
( )
1
2 0
0
0
2
2
1
(
2)(1
)
( )
( )
1
2(
1)
m
j
j
k
k x
m
x
x
i
k
k
+
−
+
+
−
=
+ −
+
+
аффикс
точки
пересечения
характеристики
j
ВС
(кривой
(
2)/2
2
/ (
2)
1,
т
j
х
k
m
у
+
+
+
=
лежащей внутри области
j
) с характеристикой,
выходящей из точки
0
( ,0)
;
M x
I
;
с const
=
1
2
,
;
const
=
( ),
( ), ( )
j
x
х
х
заданные функции из класса
2
3
( )
( ),
C I
C I
−
причем
(1)
(1)
(1)
0
=
=
=
(5ъ)
( )
( )
1
2
( )
0,
1,
(1)
0,
(1)
0,
0,1, 2.
n
n
j
x
c
k
k
n
−
=
=
=
2.
Исследование задачи Г.
Теорема.
Задача
Г
при выполнении условий (5ъ)
1
2
1
+
,
(6ъ)
где
1
1
2
2
,
1, 2
1
k
k
k
b
k
b
b
=
=
+
−
однозначно разрешима.
Доказательство.
1. Рассмотрим краевое условие (2) в области
1
,
видоизмененным задачи Коши [1] удовлетворяющее условиям:
1
2
1
1
1
0
( , 0)
( ),
;
lim
( ),
m
y
u
u x
x x
I
y
x
x
I
y
−
→+
+ =
=
(5)
дается формулой Даламбера [2]:
(
2)/2
(
2)/2
1
(
2)/2
(
2)/2
1
2
2
(
)
(
)
2
2
( , )
2
(
)
2
(
)
,
2
2
m
m
m
m
x
y
x
y
m
m
u x y
y
t
x
y
dt
m
m
+
+
+
+
−
−
−
+
+
−
+
+
=
−
−
−
+
−
+
+
(6)
Отсюда легко вычислит, что [23]
(1)
1
1
1
1
1
1
1
( )
( )
(1)
( )
2
2
x
u
x
x
t dt
−
=
+
−
, (7)
1
1
1
(1)
1
1
1
1
1
1
1
1
( )
(
)
( )
( )
2
2
a
b x
k
x
u
x
a
b x
x
t dt
+
=
+
+
−
, (8)
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
04 (2022) / ISSN 2181-1415
129
2
2
2
(1)
1
1
2
2
1
1
1
1
( )
(
)
( )
( )
2
2
a
b x
k
x
u
x
a
b x
x
t dt
+
=
+
+
−
. (9)
Теперь выражения (7)
-
(9), подставляя в краевые условия (2) получим
1
1
2
2
1
1
1
1 1
2 1
1
1
2
1
1
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
a
b x
a
b x
x
x
x
x
t dt
x
x
t dt
t dt
x
+
+
−
=
+
−
+
+
.
(10)
Соотношение (10) является первым функциональным соотношением
между неизвестными функциями
1
( )
x
и
1
( )
x
, привнесенным на ос
0
y
=
из
области
1
.
2. Рассмотрим краевое условие (2) в области
1
, удовлетворяющее
видоизмененным условиям Коши [2]:
2
2
2
2
2
0
( , 0)
( ),
;
lim
( ),
m
y
u
u x
x x
I
y
x
x
I
y
−
→+
+ =
=
(11)
даеця формулой Даламбера получим
(2)
2
2
2
2
1
1
1
( )
( )
(1)
( )
2
2
x
u
x
x
t dt
−
=
+
−
, (12)
1
1
1
(2)
2
2
1
1
2
2
1
1
( )
(
)
( )
( )
2
2
a
b x
k
x
u
x
a
b x
x
t dt
+
=
+
+
−
, (13)
2
2
2
(2)
2
2
2
2
2
2
1
1
( )
(
)
( )
( )
2
2
a
b x
k
x
u
x
a
b x
x
t dt
+
=
+
+
−
. (14)
Выражения (12)
-
(14), подставляя в краевые условия (2) получим
1
1
2
2
1
2
2
1 2
2 2
1
2
2
2
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
a
b x
a
b x
x
x
x
x
t dt
x
x
t dt
t dt
x
+
+
−
=
+
−
+
+
. (15)
Соотношение (15) является вторым функциональным соотношением
между
неизвестными
функциями
2
( )
x
и
2
( )
x
[3],
привнесенным
1
1
2
2
1
2
2
1 2
2 2
1
2
2
2
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
a
b x
a
b x
x
x
x
x
t dt
x
x
t dt
t dt
x
+
+
−
=
+
−
+
+
на ос
0
y
=
из области
2
.
Из (10) и (15) согласно условиям сопряжения (3), (4), т.е. с учетом
равенств:
1
2
( )
( )
x
c
x
=
,
1
2
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
=
+
исключая
2
( )
x
, получим
следующее интегральное относительно неизвестной функции
2
( )
x
:
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
( ( )
) ( )
( ( )
) ( )
( ( )
) ( )
( )
a b x
a
b
x
x
x
t
c
t dt
t
c
t dt
t
c
t dt
f t
+
+
−
=
−
+
−
+
(16)
где
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
04 (2022) / ISSN 2181-1415
130
1
1
2
2
1
1
2
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
a
b x
a
b x
x
x
x
f x
x
c
x
t dt
t dt
t dt
+
+
=
−
+
+
+
.
Здесь дифференцируем по
x
:
1
1
1
2
2
2
1
( )
( ) (
)
( ) (
)
( )
x
x
a
b x
x
a
b x
f x
=
+
+
+
+
(17)
где
2
( ( )
) ( )
( )
x
c
x
x
−
=
,
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
( )
,
( )
1
1
b
b
x
x
b
b
b
b
=
=
+
−
+
−
,
1
1
1
2
2
1
( )
( )
1
d
f x
f x
b
b
dx
=
+
−
.
В (17) является функциональным уравнением [4].
Решение функциональное уравнение (17) будем искать в классе
ограниченных в точке
1.
x
=
Если отказаться от этого требования, то
соответствующее однородное функциональное уравнение (17)
1
1
1
2
2
2
( )
( ) (
)
( ) (
)
x
x
a
b x
x
a
b x
=
+
+
+
(18)
может иметь нетривиальное решение.
Пример.
Пуст
2
1
2
1
1
( )
,
( )
(
( ))
p x
a
bx p x
p p x
b x
ba
a
= +
=
=
+
+
где
,
1
с
b
а
=
−
2
1
с
а
b
с
=
+
, тогда нетрудно убедится, что функция
( ) (1
)
x
x
= −
, где
2
1
2
1
2
4
log
2
b
+
−
=
будет
нетривиальным
решением
однородного
уравнения
(18),
действительно; так как
1
1
(
( )) (1
( ))
(1
) ,
p x
p x
b
x
= −
=
−
2
2
2
(
( )) (1
( ))
(1
) ,
p x
p x
b
x
= −
=
−
то ети значения подставляя в (18) получим следующее квадратное
уравнение
2
2
1
1 0
b
b
+
− =
.
Отсюда
2
1
2
1
2
4
log
2
b
+
−
=
и в силу условия (1.2.1) легко убедится что
0
, следовательно решение
однородного функционального уравнения (18) неорганично при
1.
x
=
Таким образом, класс решений, где ищется решение функционального
уравнения, существен.
Для решения уравнения (17) применим комбинированный метод
последовательных приближений и итераций.
Для построения членов последовательности
0
1
( ) ,
( ),...,
( ),...
n
x
x
x
используем рекуррентное соотношение
1
1
1
1
( )
( ( ))
( ( ))
( )
n
n
n
x
x
x
f x
−
=
+
+
(19)
где
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
04 (2022) / ISSN 2181-1415
131
1
2
( )
( ),
( )
( )
x
p x
x
p x
=
=
.
В
качестве
нулевого
приближения
0
( )
x
примем
решение
функционального уравнения
0
1
0
1
( )
( ( ))
( )
x
x
f x
=
+
. (20)
Функциональное уравнение (20) будем решат методом итерацией. В
(20) заменив
x
на
( )
x
получим
0
1
0
1
( ( ))
( ( ( )))
( ( ))
x
x
f
x
=
+
. (21)
Теперь (21) подставляя в (20) имеем
2
0
1
0
2
1 1
( )
(
( ))
( ( ))
x
x
f
x
=
+
, (22)
здесь
1
2
1
1
( )
( ),
( )
(
( )).
x
x
x
x
=
=
(23) является первой итераций уравнения (21). Продолжая этот
процесс, для
n
−
ой итерация имеем
1
0
1
0
1
1
1
0
( )
(
( ))
(
( ))
n
n
k
n
k
k
x
x
f
x
+
+
=
=
+
(23)
здесь
0
1
1
1
( )
,
( )
(
( ))
(
( )).
n
n
n
x
x
x
x
x
+
=
=
=
Заметим, что
1
1
lim
0
n
n
+
→
=
. (24)
Так
( )
,
(1)
1,
x
x
=
тогда
1
1
1
1
1
( )
(
( ))
(
( ))
( ),
n
n
n
n
x
x
x
x
−
−
−
=
=
т.е
функциональная последовательность
( )
n
x
монотонно возрастающая и
ограничена с верху единицей, т.е.
( ) 1,
.
n
x
x
I
Следовательно, по теореме о
пределе монотонно возрастающий, ограниченной последовательности, имеем
0
lim
( )
( ),
.
n
n
x
x
x
I
→
=
(25)
Теперь в равенстве
1
1
( )
(
( ))
n
n
x
x
−
=
переходе к пределу при
n
→
получим
0
0
1
( )
(
( )),
x
x
=
отсюда заключаем что
0
( ) 1,
,
x
x
I
так как
( )
x
имеем единственную неподвижную точку
1
x
=
. Таким образом,
lim
( ) 1,
.
n
n
x
x
I
→
=
(26)
Теперь в равенстве (23) переходя к пределу при
n
→
с учетом (24) и
конечности значения
0
( )
x
-
получим
0
1
1
0
( )
(
( ))
n
k
k
k
x
f
x
=
=
(27)
-
решение функционального уравнения (21).
Нетрудно убедится, что
0
1
1
1
0
0
1
( )
(
( ))
,
1
n
n
k
k
k
k
k
M
x
f
x
M
=
=
=
−
(28)
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
04 (2022) / ISSN 2181-1415
132
где
1
max
( )
x I
f x
M
=
. Следовательно, функциональный ряд правой части (28)
сходится равномерно и в силу непрерывности
1
( )
f x
на
I
заключаем, что
( )
0
( )
.
x
C I
Нетрудно так же убедится, что
( )
2
0
( )
.
x
C
I
Теперь в рекуррентном соотношение (19) пологая
1
n
=
, получим
функциональное уравнение для определения
1
( )
x
:
1
1 1
2 0
1
( )
( ( ))
( ( ))
( ),
x
x
x
f x
=
+
+
(29)
здесь
0
( )
x
-
известная функция определенная равенством (27).
К функциональному уравнению применяя метод итераций как и выше,
получим решение уравнения (29) в виде
1
1
2 0
1
1
0
0
( )
( (
( )))
(
( )).
k
k
k
k
k
k
x
x
f
x
=
=
=
+
(30)
Нетрудно убедится, что функциональные ряды правой части (30)
сходится равномерно и
( )
2
1
( )
.
x
C
I
Продолжая этот процесс нетрудно найти, что
1
2
1
1
1
0
0
( )
( (
( )))
(
( )).
k
k
n
n
k
k
k
k
x
x
f
x
−
=
=
=
+
(31)
и
( )
2
( )
.
n
x
C
I
Таким образом, мы построили функциональную последовательность
0
1
( ) ,
( ),...,
( ),...
n
x
x
x
. (32)
Теперь докажем, что функциональная последовательность (32)
сходится. Для этого рассмотрим функциональный ряд
0
1
0
2
1
1
( )
( )
( )
( )
( )
...
( )
( )
...
n
n
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
+
−
+ +
−
+
. (33)
Найдём можорантный ряд для функционального ряда (32).
Из (33) отнимая (23) с учетом (28), получим
2
2
2
1
0
1
2 0
0
1
1
2
1
( )
( )
( (
( )))
1
1
1
n
k
k
k
M
M
x
x
x
=
−
=
−
−
−
. (34)
Далее на основании (34) нетрудно убедится, что
1
1
2
1
0
( )
( )
( (
( )))
( (
( )))
n
k
n
n
n
k
n
k
k
x
x
x
x
−
−
=
−
−
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
n
M
M
+
=
−
−
−
. (35)
Функциональный
ряд
(33)
можорируется
числовым
рядом
1
2
0
2
1
1
n
n
M
+
=
−
и следовательно он сходится равномерно на
I
.
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
04 (2022) / ISSN 2181-1415
133
Таким образом, функциональная последовательности
( )
n
x
сходится
равномерно т.е существует
lim
( )
( ),
.
n
n
x
x
x
I
→
=
и
( )
2
( )
x
C
I
.
Теорема доказана.
Библиографические ссылки
1. Мирсабуров М., Чориева
С.Т. Об одной нелокальной краевой задаче для
гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области. Узб.мат. журнал,
2010, №4, С.118
-126.
2. Мирсабуров M., Чориева С.Т. Задача с условием Франкля на характеристике
для одного класса уравнений смешанного
типа.//Дифференц. уравнения,
2015.Т.51.№1.С.136
-140.
3. Чориева С.Т. Задача Бицадзе
-
Самарского с условием Франкля на отрезке
линии вырождения
для
уравнения
смещанного
типа
с сингулярным
коэффициентом. Россия
,
Известия
вузов
.
Математика. 2013. №5, С
.51-60.
4. Choriyeva S.T. Nonlocal problem for a hyperbolic equation degenerating inside a
domain with a singular coefficient. International Scientific Journal. Theoretical & Applied
Sciense. 2021. Issue 11. Vol.103. pp.1084-1086. (Scopus ASCC:2600).
5. Mirsaburov M., Choriyeva S.T. Problem with the Frankl Condition on a
Characteristic for a Class of Equations of Mixed Type.// Differential Equations, 2015, Vol.,
51, No1, pp.1-6.
6. Mirsaburov M., Choriyeva S.T.A Problem With an Analog oh Frankl Condition on
the Characteristic for Gellerstedt Equation With Singular Coefficient.//Russian
Matematics. 2017, Vol., 61, No 11, pp.34-39.
