Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Journal home page:
https://inscience.uz/index.php/socinov/index
Some cases of intersection of surfaces of revolution
Dildora SABIROVA
1
, Kamola SAMATOVA
2
Tashkent State Technical University named after Islam Karimov
ARTICLE INFO
ABSTRACT
Article history:
Received January 2025
Received in revised form
15 January 2025
Accepted 25 February 2025
Available online
25 March 2025
The article examines the methodology for solving certain
problems involving partial intersection of surfaces of
revolution. Examples of solving two problems are provided: the
intersection of two cones sharing a common circular base, and
the intersection of a cone of revolution with a cylinder of
revolution.
2181-
1415/©
2025 in Science LLC.
https://doi.org/10.47689/2181-1415-vol6-iss2/S-pp
This is an open access article under the Attribution 4.0 International
(CC BY 4.0) license (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)
Keywords:
Theorem,
cone,
common circular base,
front-projecting plane,
parabola,
reference points,
base of cones,
intersection lines,
horizontal projections of a
circle,
cone of revolution and
cylinder,
common plane of symmetry,
intersection of generatrices.
Айланиш сиртлари кесишишининг айрим холлари
АННОТАЦИЯ
Калит сўзлар:
Теорема,
конус,
умумий айлана асосли,
фронтал проекцияловчи
текислик,
парабола,
таянч нуқталар,
конуслар асоси,
кесишиш чизиқлари,
айланани горизонтал
Ушбу мақолада айланиш сиртлари айрим масалаларини
хусусий холда кесишишининг ечиш услубияти кўрилган,
иккита масалани ечишга мисоллар келтирилган умумий
айланма асосга эга икки конус ва айланма конусни айланма
цилиндр билан кесишиши.
1
Associate Professor, Tashkent State Technical University named after Islam Karimov.
2
Senior Lecturer, Tashkent State Technical University named after Islam Karimov. E-mail: samatovakamola@gmail.com
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
02 (2025) / ISSN 2181-1415
557
проекциялари,
айланма конус ва
цилиндр,
симметрия умумий
текислиги,
ясовчиларининг
кесишиши.
Некоторые случаи пересечения поверхностей вращения
АННОТАЦИЯ
Ключевые слова:
Теорема,
конус,
общее круговое
основание,
фронтально
-
проецирующая плоскость,
парабола,
опорные точки,
основание конусов,
линии пересечения,
горизонтальные проекции
окружности,
конус вращения и
цилиндр,
общая плоскость
симметрии,
пересечение образующих.
В статье рассмотрена методика решения некоторых
задач частичного пересечения поверхностей вращения.
Приводятся примеры решения двух задач: задачи
пересечения двух конусов, имеющих общее круговое
основание, и задачи пересечения конуса вращения с
цилиндром вращения.
При построении линии пересечения двух поверхностей вращения, прежде
всего, определяют главные точки: точки пересечения главных меридианов,
экваторов, а также высшую и низшую точки по отношению к плоскости уровня.
Затем определяют другие промежуточные точки.
Для определения точек линии пересечения двух поверхностей вращения
используются вспомогательные секущие поверхности –
посредники, которые
могут быть плоскими или сферическими. Их выбирают так, чтобы они пересекали
каждую из поверхностей по простейшим линиям, то есть по параллелям
поверхностей вращения.
Способ с использованием вспомогательных секущих сфер применяется
в случае, если две пересекающиеся поверхности являются поверхностями
вращения, оси симметрии которых пересекаются и параллельны одной из
плоскостей проекции. Суть этого способа, основанного на использовании
концентрических сфер, заключается в том, что вспомогательная сфера проводится
из точки пересечения осей вращения двух поверхностей.
Частный случай пересечения поверхностей вращения возникает, когда они
соосные. Соосными поверхностями вращения называют те, которые имеют общую
ось вращения. Если пересекающиеся поверхности имеют общую ось, то линия их
пересечения будет окружностью, расположенной перпендикулярно к оси
вращения.
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
02 (2025) / ISSN 2181-1415
558
Особенности пересечения соосных поверхностей вращения позволяют
использовать в качестве вспомогательных поверхностей при построении
проекции линии их пересечения сферы, соосные с данными поверхностями.
Задачи на пересечение алгебраических поверхностей 2–20 порядка
представляют значительный интерес и имеют большое практическое значение.
В общем случае, как известно, поверхности 2–20 порядка (конические,
цилиндрические, сферические, эллипсоиды, параболоиды и др.) пересекаются по
пространственной кривой 4–20 порядка. В частных случаях, при особых условиях
расположения поверхностей, их линии пересечения могут распадаться [1].
В практике конструирования чаще всего встречаются случаи распадения
кривой 4–20 порядка на две кривые 8–20 порядка. Кривые 2
-
го порядка –
плоские
кривые, плоскости которых могут занимать проецирующее положение, что
значительно упрощает методику построения
линии пересечения поверхностей.
Теорема: Если две поверхности 2–20 порядка пересекаются по одной
плоской кривой, то они имеют и вторую плоскую кривую пересечения [2].
Пример 1. Два конуса с вершиной
S
и
S
1
имеют общее круговое основание
(Рис. 1) –
это и есть их общая кривая 2–20 порядка, расположенная в
горизонтальной плоскости.
1
2
3
4
4
4
3
3
2
2
1
S
S
S
S
1
1
Рис. 1.
Вторая кривая, расположенная во фронтальной проецирующей плоскости,
должна проходить через вторую пару точек пересечения образующих конических
поверхностей. Одна из этих точек обозначена как точка 1, а вторая точка
отсутствует (или может считаться бесконечно удалённой), так как левая
образующая конуса S параллельна правой образующей конуса S1. Из этого следует,
что в данном случае вторая кривая 2–20 порядка представляет собой параболу.
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
02 (2025) / ISSN 2181-1415
559
Опорными точками этой кривой являются точка 1 (вершина параболы) и
точки 4, расположенные на основании конусов.
Промежуточные точки (2, 3) определяются исходя из принадлежности к
поверхности одного из конусов, поскольку круговые сечения обоих конусов
находятся в плоскостях, параллельных основанию. Целесообразнее отнести точки
линии пересечения к окружности конуса S, при этом их горизонтальные проекции
будут концентрическими, тогда как горизонтальные проекции окружностей,
принадлежащих конусу S1, –
эксцентрическими.
Окружности выбираются произвольно, но таким образом, чтобы обеспечить
достаточную точность построения горизонтальной проекции параболы.
Пример 2. Даны две пересекающиеся поверхности: конус вращения и
цилиндр 2
-
го порядка (Рис.2). Они имеют общее круговое основание, то есть
поверхности пересекаются по одной (первой) плоской кривой –
окружности [3].
Очевидно, существует и вторая плоская кривая. Её легко определить,
поскольку общая плоскость симметрии конуса и цилиндра параллельна
фронтальной плоскости проекции V.
S
Рис.2.
Проекцией кривой на этой плоскости проекции является прямая. Опорные
точки этой прямой определяется по пересечению образующих конуса и цилиндра.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ:
1.
А.М.Иванова, Л.А.Комова, Т.П.Каратаева и др. Учебное –
методическое
пособие по курсу “Инженерная графика”. –
М: РГУ нефти и газа им.
И.М.Губкина
2004. С 10
-15.
2.
А.В.Бубенников
“Начертательная геометрия”, учебник для вузов
–
М:
“Высшая школа”, 2005.с.227
-228.
3.
В.О.Гордон, М.А.Семеннов –
огневский, курс начертательной геометрии,
учебное пособия для вузов –
М: “ Наука”, 2008.с.202
-205.
