Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Journal home page:
https://inscience.uz/index.php/socinov/index
Antje, mantissa and its applications
Khamid BOBOJONOV
Academic lyceum under Urgench State University,
Urgench city specialized school under the Agency for
specialized Educational Institutions
ARTICLE INFO
ABSTRACT
Article history:
Received October 2023
Received in revised form
15 November 2023
Accepted 25 November 2023
Available online
15 January 2024
This article provides theoretical and practical information
and proofs about the Antye and Mantissa and highlights the
main points of it. It also suggests methods for solving several
complex and olimpiad
–
type problems with the help of the Antyl
and Mantissa.
2181-
1415/©
2023 in Science LLC.
https://doi.org/10.47689/2181-1415-vol4-iss10/S-pp304-308
This is an open access article under the Attribution 4.0 International
(CC BY 4.0) license (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)
Keywords:
antye,
mantissa,
a prime number,
fundamental theorem of
arithmetic,
canonical decomposition,
the Legendre formula.
Ant’ye, mantissa va uning tatbiqlari
ANNOTATSIYA
Kalit so‘zlar
:
ant’ye,
mantissa,
tub son,
arifmetikaning asosiy
teoremasi,
kanonik yoyilma,
Lejandr formulasi.
Ushbu maqolada ant’ye va mantissa mavzusiga doir nazariy
va amaliy ma’lumotlar hamda isbotlar algebra va sonlar
nazariyasidan keltirilgan.Bir necha tipik hamda olimpiada
darajasidagi masalalarni ant’ye va mantissaning xossalaridan
foydalangan holda yechish metodlari tavsiya qilingan.
Антье, мантисса и ее приложения
АННОТАЦИЯ
Ключевые слова:
aнтье,
мантисса,
простое число,
В данной статье представлены теоретические и
практические материалы, а также задачи по теме "антье" и
"мантисса", в основном в рамках теории чисел и алгебры.
1
Senior Teacher, Academic Lyceum under Urgench State University
2
Student, Urgench city specialized school under the Agency for Specialized Educational Institutions
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
10 (2023) / ISSN 2181-1415
305
основная теорема
арифметики,
каноническое разложение,
формула Лежандра
.
Рекомендуются методы решения типовых конкурсных и
олимпиадных задач с использованием свойств "антье" и
"мантисса".
Ant’ye
(fran. entiyer) termini 1798-
yilda Lejandr tomonidan taklif qilingan bo‘lib,
qariyb ikki yuz yildan beri ishlatib kelinmoqda. x sonining ant’yesini [ x ] kabi
belgilashni 1808-yilda Gauss taklif qilgan.
Mantissa
termini haqida adabiyotlarda diqqatga molik tarixiy ma’lumotlar deyarli
uchramaydi.
Oldingi paytlarda ant’ye1 va mantissa2 (sonning butun va kasr qism) larga doir
masalalar juda tor doiradagi olimpiada masalalari hisoblanar edi. Oxirgi paytlarda esa
ayrim chet davlatlar oliy o‘quv yurtlariga kirish imtihonlarida shu turdagi oson masalalar
taklif qilinayotgan bo‘lsa, qiyinlik darajasi yuqori bo‘lgan masalalar milliy va xalqaro
olimpiadalarda o‘quvchilarga taklif qilina boshladi.
Xo‘sh ant’ye va mantissaga doir masalalar nimasi bilan qiziq ?
Agar ant’ye va mantissani funksiya sifatida qaraydigan bo‘lsak, bu funksiyalar
uzluksiz emas, aniqrog‘i, bo‘lak
-
bo‘lak uzluksizdir. Bunday funksiyalarning mavjudligi esa
odatiy yechish usullaridan tubdan farq qiladi.
“Ant’ye va mantissa” mavzusining o‘ziga xosligi va shu mavzuga doir masalalarning
murakkabligi o‘quvchining bu yo‘nalishda yetarli darajada mashq qilmaganligida
ko‘rinadi. Bu tipdagi masalalarning ko‘pchiligining yechimi juda qisqa mantiqiy tahlilga
asoslangan bo‘ladi.
Bulardan tashqari ant’ye va mantissa shunday xossalarga egaki, o‘quvchidan bir
qancha amallarni bajarishni talab qiladi. Shunday o‘ziga xosliklarga qaramasdan,
ko‘pgina xossalarni masalalarni yechish davomida ham hosil qilish mumkin bo‘ladi.
Maqolada ant’ye va mantissaga doir tanlab olingan masalalar fanning sonlar
nazariyasi va algebra bo‘limiga xos bo‘lib, chet mamlakatlar milliy olimpiadalarida
tavsiya qilingan ayrim masalalar ham berilgan. Qiziquvchilar uchun maqolada
masalalarning to‘liq va asoslangan yechimlari berilgan.
1.
Lejandr formulasi yordamida ant’ye, mantissa (sonning butun va
kasr
qismi) ga doir masalalar yechish metodikasi
.
Lejandr formulasini keltirib chiqarish uchun bizga natural sonni tub
ko‘paytuvchilarga ajratishning kanonik yoyilmasi formulasi kerak bo‘ladi.
Arifmetikaning asosiy teoremasi
. n natural sonini
𝑛 = 𝑝
1
∙ 𝑝
2
∙ 𝑝
3
∙ … ∙ 𝑝
𝑚
,
1. Lejandr formulasi yordamida ant’ye, mantissa (sonning butun va kasr qismi) ga
doir masalalar yechish metodikasi.
Lejandr formulasini keltirib chiqarish uchun bizga natural sonni tub ko‘paytuvchilarga
ajratishning kanonik yoyilmasi formulasi kerak bo‘ladi.
Arifmetikaning asosiy teoremasi.
𝑛
natural sonini
𝑛 = 𝑝
1
∙ 𝑝
2
∙ 𝑝
3
∙ … ∙ 𝑝
𝑚
,
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
10 (2023) / ISSN 2181-1415
306
ko‘paytma shaklida ifodalash mumkin, agar ko‘paytuvchilarning o‘rnini hisobga
olmaganda, bu ko‘paytma yagonadir, bunda
𝑝
1
, 𝑝
2
, 𝑝
3
, … , 𝑝
𝑚
lar tub sonlar tarzda ushbu
𝑛 = 𝑝
1
𝛼
1
∙ 𝑝
2
𝛼
2
∙ … ∙ 𝑝
𝑘
𝛼
𝑘
,
bunda
𝑝
1
< 𝑝
2
< 𝑝
3
< … < 𝑝
𝑘
lar tub sonlar ,
𝛼
1
, 𝛼
2
, … 𝛼
𝑘
∈ 𝑁
Yuqoridagi kabi
𝑛
natural sonini ifodalanishiga
𝑛
natural sonining
kanonik
ko‘rinishi
deyiladi.
Lejandr formulasi.
Tub
𝑝
sonining
𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 𝑛
kanonik yoyilmada necha
marta qatnashishlari soni quyidagi yig‘indi yordamida aniqlanadi:
𝑒
𝑝
(𝑛) = [
𝑛
𝑝
] + [
𝑛
𝑝
2
] + [
𝑛
𝑝
3
] + ⋯
(3.1)
Isboti.
Agar
n < p
bo‘lsa,
𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 𝑛
da
𝑝
ga karrali ko‘paytuvchi mavjud
emas. Bu holda Lejandr formulasi to‘g‘ri.
Endi
𝑛 ≥ 𝑝
deylik. U holda bizga n ning p ga karrali barcha bo‘luvchilari ma’lum :
𝑝, 2𝑝, 3𝑝
va hokazo. Shuningdek, ularning soni
[
𝑛
𝑝
]
ga teng. Shunday qilib,
𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 𝑛 = p ∙ 2p ∙ 3p ∙ … ∙ [
𝑛
𝑝
] 𝑝 ∙ N
1
= p
α
1
∙ α
1
! ∙ N
1
,
bunda
α
1
= [
n
p
] va 𝑁
1
p ga bo‘linmaydi
.
Shunday qilib,
𝑛!
ning yoyilmasida
𝑝
𝛼
1
dan tashqari
𝛼
1
! −
n! ning qolgan p
2
karrali ko
′
paytuvchilari va 𝑁
1
− 𝑝 ga bo
′
linmaydigan
sonlar ham uchrar ekan.
Endi
𝛼
1
!
uchun yuqoridagidek mulohaza yuritib, quyidagilarni yozib olamiz.
α
1
! = 𝑝
𝛼
2
∙ 𝛼
2
∙ 𝑁
2
, bunda α
2
= [
α
1
p
] = [
[
n
p
]
p
] = [
n
p
2
] va N
2
p ga bo′linmaydi
.
Yuqorida
[
[𝑥]
𝑝
] = [
𝑥
𝑝
]
formuladan foydalandik
.
Shunday qilib, ikkita harakatdan so‘ng,
n! dan p
α
1
va p
α
2
ajratib yozib olgach,
quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz.
𝑛! = 𝑝
𝛼
1
∙ 𝑝
𝛼
2
∙ 𝛼
2
! ∙ 𝑁
1
∙ 𝑁
2
.
(3.2)
Yuqoridagi algoritmni chekli marta takrorlab, ushbu
𝑛! = 𝑝
𝛼
1
∙ 𝑝
𝛼
2
∙ … ∙ 𝑝
𝛼
𝑘
∙ 𝑀 = 𝑝
𝛼
1
+𝛼
2
+⋯+𝛼
𝑘
∙ 𝑀,
bunda,
M p ga bo
′
linmaydi
va
𝛼
𝑖
= [
𝑛
𝑝
𝑖
]
.
Arifmetikaning asosiy teoremasiga ko‘ra,
𝑛!
ning kanonik yoyilmasi yagona ekanligi,
ya’ni
yuqorida keltirilgan formula n!
ning
M p ga bo′linmaganda
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
10 (2023) / ISSN 2181-1415
307
𝑝
𝛼
1
+𝛼
2
+⋯+𝛼
𝑘
va 𝑀
sonlarining ko‘paytmasi ko‘rinishida yagona usulda yozish
mumkinligi kelib chiqadi.
Arifmetikaning asosiy teoremasi va Lejandr formulasidan,
𝑛!
sonini tub sonlar
ko‘paytmasi ko‘rinishidagi kanonik yoyilmasini quyidagicha yozib olamiz
𝑛! = 𝑞
1
𝑏
1
∙ 𝑞
2
𝑏
2
∙ … ∙ 𝑞
𝑚
𝑏
𝑚
,
(3.3)
bunda
𝑞
1
< 𝑞
2
< 𝑞
3
< ⋯ < 𝑞
𝑚
– tub sonlar, 𝑏
𝑖
= 𝑒
𝑞
𝑖
(𝑛) soni
𝑞
𝑖
(𝑖 = 1,2, … 𝑚)soning n! kanonik yoyilmasida necha marta qatnashishini
bilduradigan son.
Mazkur mavzu bo‘yicha masalalar yechish jarayonida (1) formuladagi
𝑞
𝑖
tub sonlarning
𝑏
𝑖
darajalarini baholashga to‘g‘ri keladi.
𝑏
𝑖
= 𝑒
𝑞
𝑖
(𝑛) = [
𝑛
𝑞
𝑖
] + [
𝑛
𝑞
𝑖
2
] + ⋯ ≤ [
𝑛
𝑞
𝑖
+
𝑛
𝑞
𝑖
2
+ ⋯ ] = [
𝑛
𝑞
𝑖
−1
]
(2)
2. Mustahkamlash uchun masalalar
1.
7777!
soni 777 ning qanday eng katta darajasiga bo‘linadi?
Yechilishi.
Lejandr formulasidan (2) foydalanamiz,
777 = 3 ∙ 7 ∙ 37 ; 𝑒
777
(7777) = 𝑒
37
(7777) = [
7777
37
] + [
7777
1369
] =
=210+5=215.
Javob: 215
2.
2023!
soni nechta nol bilan tugaydi?
Yechilishi.
𝑛!
soni m ta nol bilan tugasin.U holda bu sonning kanonik yoyilmasida
2
𝑛
∙ 5
𝑚
ko‘paytma mavjud bo‘lib ( bunda n>m), boshqa tub sonlar ko‘paytmasi
𝑛!
sonining
oxirida nol hosil bo‘lishida ishtirok etmaydi.Shunday qilib,
2023!
sonining kanonik
yoyilmasida 5 ning darajasi nechaga teng bo‘lsa,
2023!
soni ham shuncha nol bilan tugar
ekan. Lejandr formulasiga ko‘ra,
𝑒
5
(2023) = [
2023
5
1
] + [
2023
5
2
] + [
2023
5
2
] + [
2023
5
4
] = 404 + 80 + 16 + 3 = 503
Javob:503.
3.
((3!)!)! soni 3
n
ga karrali bo‘ladigan eng katta natural n ni toping.
Yechilishi .
((3!)!)! = (6!)! = 720! .
Lejandr formulasiga ko‘ra,
𝑒
3
(720) = 356
.
Javob:356.
4.
𝐶
33
11
sonini 144 ga bo‘linishini isbotlang.
Yechilishi.
144 = 2
4
∙ 3
2
. Endi
𝐶
33
11
ning surati va maxrajida 2 va 3 lar nechanchi
darajalari bilan qatnashishini hisoblab olamiz va keyin kasrni qisqartiramiz.
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
10 (2023) / ISSN 2181-1415
308
𝐶
33
11
=
33!
11! ∙ 22!
=
2
31
∙ 3
15
∙ 𝑘
(2
8
∙ 3
4
∙ 𝑙) ∙ (2
19
∙ 3
9
∙ 𝑚
= 2
4
∙ 3
2
∙ 𝑛
bunda,
𝑘, 𝑙, 𝑚 va 𝑛
lar 2 va 3 ga karrali bo‘lmagan natural sonlar.
𝑛 =
𝑘
𝑙∙𝑚
ham natural
son bo‘ladi, chunki
𝐶
𝑠
𝑡
har doim natural bo‘lganligi sababli. Isbot tugadi.
5.
𝑛 + 1 dan 2𝑛 gacha bo
′
lgan sonlarning ko
′
paytmasi 2
n
ga bo
′
linib, 2
n+1
ga
bo‘linmasligini isbotlang.
Isboti.
𝑛(𝑛 + 1) ∙ (𝑛 + 2) ∙ … ∙ 2𝑛 =
(2𝑛)!
𝑛!
ekanligiga e’tiborni qaratamiz.
Bundan tashqari Lejandr formulasiga ko‘ra, 2 ning darajalari
(2𝑛)! va 𝑛!
larning
yoyilmalarida necha marta qatnashishi mos ravishda
𝑒
2
(2𝑛) va 𝑒
2
(𝑛)
larga teng bo‘ladi.
𝑒
2
(2𝑛)
ni yozib olamiz:
𝑒
2
(2𝑛) = [
2𝑛
2
] + [
2𝑛
4
] + [
2𝑛
8
] + ⋯ = 𝑛 + [
𝑛
2
] + [
𝑛
4
] + ⋯ = 𝑛 + 𝑒
2
(𝑛).
Demak,
𝑛 + 1 dan 2𝑛 gacha bo
′
lgan
sonlarning ko‘paytmasi bo‘linadigan 2 ning eng
katta darajasi
𝑒
2
(2𝑛) − 𝑒
2
(𝑛)
ga , ya’ni
𝑛
ga teng bo‘lar ekan. Isbot tugadi.
3. Mustaqil yechish uchun masalalar.
1.
Agar 𝑎
1
, 𝑎
2
, … , 𝑎
𝑚
− natural sonlar va 𝑎
1
+ 𝑎
2
+ … +𝑎
𝑚
= 𝑛
bo‘lsa,
𝑛!
𝑎
1
!𝑎
2
! …𝑎
𝑚
!
ning butun son ekanini isbotlang.
2.
Agar
𝑛!
2
𝑛
butun bo‘lmasa,
𝑛!
2
𝑛−𝑚
ifoda barcha natural
𝑛
larda butun bo‘ladigan natural
𝑚
lar mavjudmi?
3.
Agar
nϵN
bo‘lsa,
𝑛!∙(6𝑛!)
(2𝑛!)
2
∙(3𝑛!)
sonining butun ekanligini isbotlang.
4.
Agar
m, n, ϵN
bo‘lsa,
(2𝑚)!∙(2𝑛)!
𝑚!∙𝑛!∙(𝑚+𝑛)!
ning butun ekanligini isbotlang.
5.
𝑎, 𝑏 va 𝑐 lar natural va 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2006 bo
‘
lsa, 𝑎! ∙ 𝑏! ∙ 𝑐!
kamida nechta nol bilan tugaydi?
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI:
I.L.Semyenov
“Ant’ye i mantissa”
Sbornil zadach c resheniyemi. IPM im. M.B. Keldisha
2015g.
2. A. Abduhamidov,N.Nasimov Algebra va boshlang‘ich analiz asoslari 1–
qism,
Toshkent, ,,O‘qituvchi ‘‘, 2009 yil.
3. M.A.Mirzaahmedov, D.A.Sotiboldiyev, “O‘quvchilarni matematik olimpiadalarga
tayyorlash Toshkent, O’qituvchi, 1993y.
4. Agaxanov N.X., Bagdanov I.I., Qajevnikov P.A. Matematika . Oblastniye olimpiadi. 8-
11 klassi.- Prosvesheniye , 2010 g.
5.Adressqu T., Andrica D. Problems for Mathematical Contests.
–
GIL Publishing
House, 2003 g.
6.Olymp.msu.ru
–
Ofitsialniy portal olimpiadi shqolniqov
“
Lomonosov
”
.
7. Rroblems.ru
