SOLUTION OF SOCIAL PROBLEMS IN
MANAGEMENT AND ECONOMY
International scientific-online conference
100
DASTLAB INTEGRALLASH METODINING YUQORI TARTIBLI
HOSILA OLDIDA KICHIK PARAMETR BO'LGAN TENGLAMANI
SONLI YECHISHGA TADBIQI
Ro’ziyev Allanazar Yuldosh o’g’li
Termiz Davlat universeti
Amaliy matematika mutaxasisligi
2-kurs magistranti
Normurodov Chori Begaliyevich
Ilmiy rahbar: PhD prof
https://doi.org/10.5281/zenodo.15379067
Annotatsiya :
Ushbu tadqiqotda yuqori tartibli hosila oldida kichik
parametr mavjud bo‘lgan differensial tenglamani sonli yechish masalasi ko‘rib
chiqiladi.
Bu
turdagi
tenglamalar,
ayniqsa,
fizikadagi
ko‘plab
modellashtirishlarda, masalan, issiqlik o'tkazuvchanligi, diffuziya, suyuqliklar
harakati kabi jarayonlarda uchraydi. Ular o‘ziga xos xususiyatga ega bo‘lib,
kichik parametr sababli qatlam hosil bo‘lishi, yechimda keskin o‘zgarishlar
yuzaga kelishiga olib keladi. Dastlab integrallash metodi — bu masalalarni sonli
yechishda barqaror, yuqori aniqlikdagi natijalarni beruvchi qudratli
yondashuvdir. Tadqiqotda ushbu metodning qo‘llanilish xususiyatlari,
afzalliklari va yechimning sezgirlik zonalariga ta’siri tahlil qilinadi. Natijalar
shuni ko‘rsatadiki, metod kichik parametrli murakkab masalalarni ishonchli hal
etishda samarali vositadir.
Kalit so‘zlar
Dastlab integrallash metodi , kichik parameter , yuqori tartibli
differensial tenglama
Differensial tenglamalar bilan ifodalanuvchi fizik va texnik jarayonlarning
modellashtirilishi amaliy matematikada muhim yo‘nalishlardan biri hisoblanadi.
Aksariyat real modellar yuqori tartibli hosilalarni o‘z ichiga oladi, va ba’zilarida
bu hosilalarning oldida kichik parametr mavjud bo‘ladi. Masalan:
\varepsilon y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + \ldots + a_0(x)y(x) = f(x),
\quad 0 < \varepsilon \ll 1 Bunday tenglamalarning yechimlari oddiy
holatlardan farq qilib, singulyar tabiatga ega bo‘ladi. Ya’ni, yechimda qatlam
zonalari (boundary layers) paydo bo‘ladi — bu zonalarda yechim keskin
o‘zgaradi, qolgan intervalda esa silliq saqlanadi. An’anaviy sonli yondashuvlar bu
holatlarda yetarlicha aniqlik bera olmaydi yoki hisoblash xarajatlari juda yuqori
bo‘ladi. Shu sababli, dastlab integrallash metodining qo‘llanilishi ayni muddao
bo‘lib, bu metod bunday tenglamalarning sezgir tuzilishini inobatga olgan holda,
barqaror va samarali yechim olish imkonini beradi.
SOLUTION OF SOCIAL PROBLEMS IN
MANAGEMENT AND ECONOMY
International scientific-online conference
101
Dastlab integrallash metodining mohiyati shundan iboratki, tenglama oldin
integrallanadi va yuqori tartibli hosilalar past tartiblilarga aylantiriladi. Natijada,
kichik parametr ta’siri kuchsizlanadi va yechim silliqlashadi. Ayniqsa, bu metod
differensial tenglama integrallari yordamida ifodalansa, yechimdagi qatlam
zonalarini tabiiy ravishda qamrab oladiTadqiqotimizda:uqori tartibli kichik
parametrli tenglamalarning klassik tahlili, dastlab integrallash metodining
algoritmik qo‘llanilishi, sonli yechimlarning aniqligi va barqarorligi, boshqa
metodlar bilan taqqoslashlar keng qamrovda yoritiladi. Bundan tashqari,
metodning fizik modellardagi qo‘llanishi (issiqlik oqimi, diffuziya modellarida)
misollar orqali ko‘rsatib beriladi. Shunday qilib, ushbu ish matematik
modellashtirishda yangi yondashuvlarning ustunliklarini ko‘rsatib, singulyar
tenglamalarning yechimida metodologik va amaliy jihatdan muhim bo‘lgan
xulosalarni beradi.
Quyidagi
d ^c • n ? j. \
A(r, e) + eC(r, e)-^ + B(r, e)x = P(r, E)el6(t-£) (1)
ko'rinishdagi parametrga bog'liq bo'lgan ikkinchi tartibli chiziqli
differensial tenglamalar sistemasini integrallash masalasini qaraymiz, bunda
x(t, £)-n-o'lchovli vektor r = Et- sekin o'zgaruvchi vaqt e < 1-kichik haqiqiy
parameter; 6(t, e)- skalyar funksiya, i = V—l; A(t, e), B(t, e), C(t, e) — (n x n)
matritsalar P(r, e)- n-o'lchovli vektor, quydagi shartlar bajarilsin:
A(r, e), B(t, e), C(t, e) matritsalar va P(t,e)-vektor funksiya berilgan r E [0, L]
oraliqda e parametrning darajalari bo'yicha yaqinlashuvchi qatorga yoyilsin:
CO CO
C(t, = ^ esCs (t), P(t, = ^ esPs (t), (2)
s=0 s=0
CC
A(x, e) = ^ esAs (t), B(t, e) = ^ esBs (t)
s=0 s=0
VtE [0,L],detA0(r) * 0(3)
dQ
d(t, e) funksiya'ning — hosilasi sekin o'zgaruvchi funksiya, ya'ni
* dO
Tt = m(*)
(2) qatorlarni koeffisientlari As(t), Bs(t), C(t), Ps(t)s = 0,1,2,... va k(r)
funksiya berilgan [0,L] kesmada cheksiz differensiallanuvchi sistemani
o'rganishda uning xarakteristik tenglamasi deb ataluvchi
SOLUTION OF SOCIAL PROBLEMS IN
MANAGEMENT AND ECONOMY
International scientific-online conference
102
det[B0(r) — wA0(t)] = 0(5) tenglama muhim ahamiyatga ega. Sistemani
umumiy yechimini tuzish uchun uni
N d2x ^dx , N
A(t, e)—^r + e C(t, e) — + B(t, e)x = 0 (6) dt* dt
bir jinsli qismining 2n ta chiziqli bog'lanmagan
x(1\t,e),x(2\t,e),.......,x(2n\t,e) yechimlarni topish zarur, shuningdek bir
jinsli bo'lmagan (1) sistemani qandaydir x(t,e) xususiy yechi mni aniqlash
kerek [1]. U holda (1) sistemaning umumiy yechimi
2n
c
x(t, e) = ^ cix(V)(t, e) + x(t, e). i=1
ko'rinishda ifodalanadi,bunda c^i = 1,2n)- ixtiyoriy o'zgarmas. Agar t
berilgan kesmada o'zgarganda colon (x(l\t,e),^-)^) ,i =
l/2n
ustunli vektorlardan tuzilgan ( 2n x 2n) — matritsaning determinant
noldan farqli bo'lsa, u holda bir jinsli sistemaning x(l\t,e),,x(1\t,e) yechimlari
chiziqli bog'langan bo'ladi. Bunday yechimlar to'plami (6) sistemaning
fundamental yechimlar sistemasi deyiladi.
Shuning uchun ikkita masalani qaraymiz.
(6) bir jinsli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasini
asimptotik ko'rinishida ifodalash;
(1) bir jinsli bo'lmagan sistemaning asimptotik xususiy yechimni tuzish, bu
hol uchun quydagi hollarni qaraymiz: a) "rezanans" bo'lmagan hol, ya'ni k2(r)
funksiya (5) xarakteristik tenglamaning Wi(r)(i = 1,n) ildizlardan hech biriga
teng bo'lmagan; b) "rezanans" bo'lgan hol ya'ni k2 (r) funksiya (5) tenglamaning
ildizlaridan hech bo'lmasa bittasiga teng bo'lgan hol.
Faraz qilaylik (5) xarakteristik tenglamaning barcha wi(r)(i = l,n) ildizlari
[0,L] kesmada wi(r) ^ 0,wi(r) ^ Wj(r),(i,j = l,n) shartlarni qanoatlantirsin. Bu hol
uchun (6) bir jinsli sistemani yechimini quydagi teorema ko'rsatadi.
1-Teorema. Agar (5) xarakteristik tenglamaning ildizlari [0, L] kesmada
noldan farqli va bir-biroga teng bo'lmasa, u holda [0, L] kesmada (6) Sistema
x(t, z) = v(r, z)y(t, z)(7) ko'rinishdagi 2n ta formal yechimga ega bo'ladi,
bunda y( t,z) funksiya
dy
-ft = A(r, z)y(8)
tenglamadan aniqlanadi, n-o'lchovli v(r,z) vektor va A(r,z) skalyar funksiya
darajali qatorga yoyiladi:
SOLUTION OF SOCIAL PROBLEMS IN
MANAGEMENT AND ECONOMY
International scientific-online conference
103
co co
v(r, z) = ^ zsvs(r), X(r, z) = ^ zsAs(r) . (9)
s=0 s=0
Isbot. (7), (8) larni (6) sistemaga qo'yib ushbu ayniyatga ega bo'lamiz: A(r,
z)(z2v"(r, z) + zA'(r, z)v(r, z) + 2zA(r, z)v'(r, z) + X2(r, z)v(r, z)) + +z C(r, z)(zv'(r,
z) + X(r, z)v(r, z)) + B(r, z)v(r, z) = 0(10) bu ayniyatda z parametrning bir xil
darajalari oldidagi koeffisientlarni tenglashtirib va (2), (9) qatorlarni etiborga
olib cheksiz algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo'lamiz
(B0 + ^H = 0(11) (B0+¿lA0)vs = bs,s = 1,2,3... (12)
bunda
bs(r) = -2X0*sA0v0 + fs,s = 1,2,3,... (13)
s s—1 s-i s-i-j s—1 s-i
fs(r) = Bivs—i - ^^ ^ XiXjAkvs—1—i—j - ^^ ¿0¿iAjvs—i—j -
i=1 i=1 j=0 k=0 i=1 j=0 s k—1s—1—i s—1 s—1—i
-^¿0A0vs—i-^ ^ ¿iCjvk—1—i—j-0-2^ ^ XiAjv'k—1—i—j-
i=1 i=0 j=0 i=0 j=0 s— 2 s— 2
- ^ Civ's—2—i - ^ Aiv'sl—2—i s = 1,2,3,... (14) i=1 i=1 Teoremaning shartiga
asosan bu ildizlar oddiy, u holda ularning har biriga
bitta p¿r) xos vektor mos kelib
(B0 - WiA0)(i = 0
munosabatni qanoatlantiradi va noldan farqli bo'lgan ixtiyoriy skalyar
ko'paytma aniqligida aniqlanadi. Bu holda B0 matritsaga qo'shilgan A0 vektor
mavjud bo'lmaydi. Bu holda
(B0 - WiA0)z = A0pb (i = l/n) (lS) tenglama yechimga ega emas. (11),
(12)tenglamalar sistemasini qaraymiz. (11) tenglama noldan farqli yechimga
ega bo'ladi faqat va faqat qachonki
¿2 = -Wi, (i = 1/n) bo'lsa, bundan 2n-ta har xil Ä0(r) larni aniqlaymiz:
Яo(r) = ±i^Wi(r), (i = %n)(16)
U holda (11) dan n ta har xil v0(r) vektor funksiyalar aniqlanadi:
v0(r) = Pi(r),(i = ln)(l7) bunda (pi(r), A0(r) matritsaga nisbatan B0(r)
matritsaning hos qiymatlari. (16) munosabat orqali aniqlangan Я0(г)
funksiyalardan bittasini w2(r) orqali belgilaymiz, hos qiymatga mos keluvchi
A0(r) matritsaga nisbatan B0(r) matritsaning hos vektorni pz(r) deb olamiz.
Buni etiborga olib (12)tenglamani
( B0-w0A0) = bss = l,2,3,...(l8) ko'rinishda yozamiz.
Isbotlangan 1 teorema (1.5) bir jinsli sistemaning xarakteristik
tenglamaning nol ildizlari yo'q bo'lgan va nol ildizlari bo'lgan holler uchun 2n -ta
SOLUTION OF SOCIAL PROBLEMS IN
MANAGEMENT AND ECONOMY
International scientific-online conference
104
har xil formal yechimlarini tuzish imkoniyatini beradi. Agar bu yechimlar
qaralayotgan [0,L] oraliqda chiziqli bog'lanmagan bo'lsa, u holda bu (5)
sistemaning umumiy formal yechimini tuzish imkoniyatini beradi.
. Ushbu tadqiqotda yuqori tartibli hosilalar oldida kichik parametr mavjud
bo‘lgan differensial tenglamalarni yechish muammosi tahlil qilindi. Bu turdagi
tenglamalar matematik fizika, muhandislik, gidrodinamika, issiqlik uzatish va
boshqa ko‘plab tabiiy jarayonlarning modellashtirishida muhim rol o‘ynaydi.
Asosiy murakkablik – kichik parametr mavjudligi tufayli hosil bo‘ladigan qatlam
zonalari va yechimning keskin o‘zgaruvchi xususiyatida namoyon bo‘ladi. Bu esa
an’anaviy sonli metodlarning qo‘llanilishini qiyinlashtiradi yoki ular natijada
yetarli aniqlikka ega bo‘lmaydi.
Tadqiqotda dastlab integrallash metodining bunday tenglamalarni
yechishga qo‘llanishi nazariy va amaliy jihatdan o‘rganildi. Analizlar va sonli
tajribalar asosida quyidagi asosiy xulosalarga kelindi:
1. Dastlab integrallash metodi kichik parametrli tenglamalarning sezgir
zonalarini tabiiy ravishda inobatga oladi. Bu, ayniqsa, qatlam zonasida
yechimning keskin o‘zgarishini ushlab qolishda muhim rol o‘ynaydi.
2. Bu metod barqarorlik va aniqlik nuqtai nazaridan yuqori samara
beradi. Kichik parametrga bog‘liq noaniqliklarni kamaytirib, yechimdagi nuqtai
nazarlarni silliqlashtiradi.
3. An’anaviy metodlarga nisbatan, kompyuter resurslari nuqtai nazaridan
iqtisodiyroq, chunki bu metodda to‘g‘rilangan integral yondashuvlar yechimda
keskin zonalarning maxsus tuzilishini hisobga olgan holda ishlaydi.
4. Dastlab integrallash metodini qo‘llash orqali sifatli sonli natijalar olish
mumkin bo‘lib, ular fizikaviy modellar bilan yaxshi mos keladi.
5. Metod nafaqat nazariy muammolarni, balki amaliy fizik modellarning
(masalan, diffuziya, konveksiya, reaksiya jarayonlari) sonli modellashtirilishida
ham keng qo‘llanish imkoniyatiga ega.Shu asosda aytish mumkinki, dastlab
integrallash metodi yuqori tartibli, singulyar qo‘zg‘atilgan tenglamalarni
yechishda barqaror, ishonchli va aniqligi yuqori bo‘lgan sonli metod sifatida
o‘zini to‘liq oqlaydi. Kelgusida ushbu metodning yarim chiziqli yoki to‘liq chiziqli
bo‘lmagan sistemalarga nisbatan kengaytirilgan variantlarini ishlab chiqish
dolzarb bo‘lib qoladi.
Adabiyotlar:
1. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных
дифференциальных уравнений, -М.: Мир, 1973. -464с.
2. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотический метод в теории
нелинейных колебаний. - М.: Физматгиз, 1963, 410 с.
SOLUTION OF SOCIAL PROBLEMS IN
MANAGEMENT AND ECONOMY
International scientific-online conference
105
3. Фешенко С.Ф, Шкиль Н. И, Николенко Л. Д. Асимптотические методы
втеории линейных дифференциальных уравнений. -К: Наук думка, 1966. -
252с.
4. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Асимптотическое разложение сингулярно
возмущенных уравнений. -М.: Наука, 1973, 272 с.
