THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
126
CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALARNING ASOSIY KO‘RINISHLARI
Abduvahobova Ozoda Begali qizi
Farg‘ona davlat unversiteti 3 – kurs talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15694970
Annotatsiya:
Mazkur maqolada integral tenglamalar nazariyasining asosiy
tushunchalari va ularning klassifikatsiyasi bayon etiladi. Xususan, Fredgolm
integral tenglamalarining birinchi va ikkinchi turlari, ular tarkibidagi asosiy
elementlar — nomaʼlum funksiya, yadro, parametr va ozod hadlar — haqida
batafsil maʼlumot beriladi. Xos qiymatlar va xos funksiyalar tushunchalari,
shuningdek, simmetrik yadroga ega tenglamalarning xossalari va Fredgolm
teoremasi keltirilgan. Maqola chiziqli integral tenglamalar nazariyasini
tushunish uchun muhim nazariy asos bo‘lib xizmat qiladi.
Kalit so‘zlar:
chiziqli integral tenglama, Fredgolm tenglamasi, simmetrik
yadro, xos qiymat, xos funksiya, Fredgolm teoremasi, nomaʼlum funksiya, yadro.
Аннотация:
В данной статье рассматриваются основные понятия и
классификация теории интегральных уравнений. Особое внимание
уделено интегральным уравнениям Фредгольма первого и второго рода,
их структуре — неизвестной функции, ядру, параметру и свободному
члену. Подробно рассматриваются понятия собственных значений и
собственных функций, а также свойства симметрических ядер и
формулируется
теорема
Фредгольма.
Статья
служит
важной
теоретической основой для понимания теории линейных интегральных
уравнений.
Ключевые слова:
линейное интегральное уравнение, уравнение
Фредгольма, симметрическое ядро, собственное значение, собственная
функция, теорема Фредгольма, неизвестная функция, ядро.
Annotation:
This article explores the fundamental concepts and
classification of integral equation theory. Special focus is given to Fredholm
integral equations of the first and second kind, including detailed explanations of
their components — the unknown function, the kernel, the parameter, and the
free term. The notions of eigenvalues and eigenfunctions are discussed, as well
as the properties of symmetric kernels, with the formulation of the Fredholm
theorem. The article provides a solid theoretical foundation for understanding
linear integral equations.
Keywords:
linear integral equation, Fredholm equation, symmetric kernel,
eigenvalue, eigenfunction, Fredholm theorem, unknown function, kernel.
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
127
So‘nggi asrlarda matematikaning ko‘plab sohalari jadal rivojlanib, ayniqsa,
differensial va integral tenglamalar nazariyasi amaliyotda keng qo‘llaniladigan
mustaqil ilmiy yo‘nalishga aylandi. Integral tenglamalar fizikadagi, texnikadagi,
biologiyadagi va boshqa ko‘plab tabiiy fanlardagi muammolarni ifodalashda va
ularni tahlil qilishda muhim vosita bo‘lib xizmat qiladi. Bu tenglamalar
noma’lum funksiya integral ishorasi ostida qatnashadigan tenglamalardir.
Ularning eng ko‘p uchraydigan turlari — Fredgolm va Volterra tipidagi chiziqli
integral tenglamalar — nazariy jihatdan ham, amaliy tomondan ham katta
ahamiyatga ega. Ushbu ishda chiziqli integral tenglamalarning asosiy
ko‘rinishlari, ularning xossalari, xos qiymatlar, xos funksiyalar va simmetrik
yadrolar bilan bog‘liq muhim teorema — Fredgolm teoremasi bayon etiladi.
Integral tenglamalar nazariyasi shu qadar rivojlanib, tenglamalarning
turlari shu qadar ko‘payib ketdiki, ularga umumiy ta’rif berishning iloji bo‘lmay
qoldi. Shunday bo‘lsa ham, kitobxonda biror boshlang‘ich taassurot qolshi uchun
integral tenglamaning ilgarilari qabul qilingan ta’rifini eslatib o‘tamiz. Ma’lumki,
agar biror tenglamadagi noma’lum funksiya differensiallash ishorasi ostida
bo‘lsa, bunday tenglama
differensial tenglama
deb yuritiladi. Integral
tenglamaning ta’rifi ham shunga o‘xshaydi.
Agar tenglamadagi noma’lum funksiya shu funksiyaning argumenti bo‘yicha
olinadigan integral ishorasi ostida bo‘lsa, bunday tenglama
integral tenglama
deb ataladi.
Agar integral tenglamada noma’lum funksiya darajasi birga teng
bo‘lsa, bunday tenglama
chiziqli integral tenglama
deyiladi.
Integral tenglamalarning turlari ko‘p, ulardan ba’zilari quyidagilardir.
Fredgolm
integral
tenglamalari.
Ushbu
integral
tenglama
Fredgolmning1 birinchi tur integral tenglamasi
deyiladi:
( , ) ( )
( )
b
a
K x t u t dt
f x
(1)
bunda u(t) – noma’lum funksiya, f(t) – ozod had va K(x,t) tenglamaning
yadrosi – ma’lum funksiyalar, integrallash chegaralari a va b berilgan
haqiqiy o‘zgarmas sonlardir.
Fredgolmning ikkinchi tur integral tenglamasi
deb quyidagi
tenglamani aytamiz:
(2)
( )
( )
( , ) ( )
b
a
u x
f x
K x t u t dt
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
128
Bu tenglamadagi noma’lum funksiya u(x) integral ishorasidan
tashqarida ham ishtirok etmoqda. (1.1) va (1.2) dagi λ tenglamaning
parametri deb ataladi.
Bu tenglamalardagi f(x) funksiya I (a≤x≤b) kesmada, K(x,t) yadro esa
P(a≤x≤b, a≤t≤b) yopiq sohada berilgan deb hisoblanadi. Agar I kesmada
f(x)≡0 bo„lsa, (1.2) tenglama quyidagi ko„rinishga keladi:
( )
( , ) ( )
b
a
u x
K x t u t dt
(3)
Bunday tenglama bir jinsli integral tenglama deyiladi. u(x)
0 uning
nol (trivial) yechimi bo‘ladi. Agar (1.3) tenglama biror
da u
(x)
0
yechimga ega bo‘lsa, u holda
ga K(x,t) yadroning yoki (1.2)
tenglamaning xos qiymati (xos soni) deyiladi. Unga mos u
(x)
0
yechimga esa K(x,t) yadroning yoki (1.2) tenglamaning xos funksiyasi
deyiladi. (1.2) tenglama uchun quyidagi Fredgolm teoremasi deb
nomlanuvchi teorema o‘rinli.
Teorema:
K(x,t) yadro regulyar va f (x) uzluksiz funksiya bo‘lsin.
1)
Agar
soni K(x,t) yadroning xos qiymati bo‘lmasa, u holda unga
mos (1.2) tenglama yagona u(x), x
(a
x
b) uzluksiz yechimga
ega bo‘ladi.
2)
Agar
soni K(x,t) yadroning xos qiymati bo‘lmasa, u holda bir
jinslimas
(1.2)
tenglamalar
yoki
yechimga
ega
bo‘lmaydi
yoki
cheksiz ko‘p chiziqli bog‘lanmagan yechimga ega bo‘ladi.
Agar (1.2) tenglamada K(x,t) yadro
K(x,t)
K(t, x), t, x
[a,b]
shartni qanoatlantirsa, unga simmetrik yadroli
ikkinchi tur Fredgolm
integral tenglamasi
deyiladi.
Simmetrik
yadro
uchun
quyidagi
xossalar
o‘rinli:
1) Har qanday simmetrik yadro kamida bitta xos qiymatga ega bo‘ladi.
2) Simmetrik yadroning barcha xos qiymatlari haqiqiy sonlardir.
3) Simmetrik yadroning barcha
va
(
) sonlariga mos
(x) va
(x) xos
funksiyalari ortogonaldir, ya’ni:
( )
( )
0
b
a
x
x dx
(4)
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
129
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
K.S.Fayazov, I.O.Xajiyev Nokorrekt va teskari masalalar(o‘quv qo‘llanma)
2.
Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for
3.
solutions of elliptic partial differential equations satisfying general
4.
boundary conditions. II. Comm. Pure Appl. Math. 17, 1964. P. 35-92.
5.
Ловитт У.В. Линейые интегральные уравнения. ГТТИ,1933.
6.
Михлин С.Г. Интегральные уравнения. – М.: Физматгиз, 1959.
7.
Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. –
8.
М.: Наука, 1965.
9.
Трикоми Ф. Интегральные уравнения. - ИЛ. 1960.
10.
Демидович Б.П., Марон А.И. Основы вычислительной
11.
математики. – М.: Наука, 1970.
