THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
43
YO‘NALISHI TESKARI VAQTLI MASALA
Osimov Sarvarjon Xusniddin o‘g‘li
Farg‘ona Davlat Universiteti Amaliy matematika yo‘nalishi
3 – kurs talabalari 22.10 - guruh talabasi
E-mail: osimovsarvarjon1@gmail.com
Tohirov Shohjahon Ilhomjon o‘g‘li
E-mail: shohjahontohirov974@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.15679859
Annotatsiya:
Ushbu maqolada yo‘nalishi teskari vaqtli masalalar ko‘rib chiqiladi. Ushbu
turdagi teskari masalalar fizikada, matematik modellashtirishda va boshqa
ko‘plab sohalarda qo‘llaniladigan parabolik tipdagi differensial tenglamalarning
muhim turlaridan biridir. Masalada vaqt o‘qi bo‘yicha orqaga – ya’ni, keyingi
holatdan boshlang‘ich holatni aniqlash talab qilinadi. Bu esa masalaning klassik
yechimlar nazariyasida barqaror emasligini, ya’ni nokorrektligini keltirib
chiqaradi. Maqolada ushbu muammo matematik tarzda ifodalanib, yechimning
mavjudligi, yagona bo‘lishi va barqarorligi tahlil qilinadi. Bundan tashqari,
regulyarizatsiya
metodlari
yordamida
yechimni
barqarorlashtirish
yondashuvlari ko‘rib chiqiladi. Nazariy asoslar bilan bir qatorda, amaliy
hisoblash misollari ham keltirilib, yechimning sezgirlik tahlili o‘tkaziladi.
Kalit so‘zlar:
teskari vaqtli masala, parabolik tenglama, nokorrektlik, regulyarizatsiya,
sonli usullar, vaqt bo‘yicha orqaga extrapolyatsiya.
Аннотация
В данной статье рассматриваются обратные задачи по времени.
Подобные
задачи
являются
важным
классом
параболических
дифференциальных уравнений, применяемых в физике, математическом
моделировании и других областях. В таких задачах требуется определить
начальное состояние, исходя из конечного, то есть по временной оси
двигаться назад. Это приводит к некорректной постановке задачи в
классической теории решений. В статье задача формализуется
математически, анализируются существование, единственность и
устойчивость решения. Кроме того, рассматриваются подходы к
стабилизации решения с помощью методов регуляризации. Наряду с
теоретическими основами, приведены численные примеры и проведён
анализ чувствительности решения.
Ключевые слова:
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
44
обратная
задача
по
времени,
параболическое
уравнение,
некорректность, регуляризация, численные методы, экстраполяция по
времени назад.
Abstract
This article examines inverse time problems. These types of problems
represent an important class of parabolic differential equations used in physics,
mathematical modeling, and many other fields. The task involves determining
the initial state from a final one, i.e., going backward along the time axis. This
makes the problem ill-posed in the classical theory of solutions. The paper
provides a mathematical formulation of the problem and analyzes the existence,
uniqueness, and stability of the solution. Additionally, approaches to stabilize
the solution using regularization methods are discussed. Alongside theoretical
foundations, numerical examples are presented, and a sensitivity analysis of the
solution is carried out.
Keywords:
inverse time problem, parabolic equation, ill-posedness, regularization,
numerical methods, backward time extrapolation.
Masala bayoni
Faraz qilaylik, u(x,t) funksiyasi quyidagi parabolik tenglama yechimi
bo‘lsin:
∂u/∂t = α ∂²u/∂x², 0 < x < L, 0 < t < T
(1)
Shartlar quyidagicha berilgan:
u(0,t) = u(L,t) = 0, 0 < t < T
(2)
u(x,T) = φ(x),
0 < x < L
(3)
Bu masala J. Adamar ma’nosida nokorrekt hisoblanadi. Ushbu masalani
Fur’e usuli yordamida yechamiz.
Yechim quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
u(x,t) = ∑[n=1 to ∞] aₙ e^(−α λₙ² (T − t)) sin(λₙ x),
λₙ = nπ / L
(4)
Bu yerda Fur’e koeffitsiyentlari quyidagicha aniqlanadi:
aₙ = (2 / L) ∫₀ᴸ φ(x) sin(nπx / L) dx
(5)
Masalaning noaniqligi:
Teskari vaqtli masalada t → 0 bo‘lganda eksponentalar juda katta bo‘lib
ketadi:
e^(α λₙ² T) → ∞
Bu esa kichik xatoliklar katta og‘ishlarga olib kelishiga sabab bo‘ladi.
Tixonov regulyarizatsiyasi
Masalani barqarorlashtirish uchun Tixonov regulyarizatsiyasi qo‘llaniladi:
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
45
u_ε(x,0) = ∑[n=1 to N] (aₙ / (1 + ε λₙ²)) sin(λₙ x)
(6)
Bu yerda ε – regulyarizatsiya parametri.
Barqarorlik bahosi:
‖u(x,0) − u_ε(x,0)‖ ≤ C ε^β,
0 < β < 1
(7)
Regulyarlashtiruvchi operatorlar
Regulyarlashtiruvchi operatorlar oilasi quyidagicha ifodalanadi:
R_ε(φ) = ∑[n=1 to ∞] (e^(α λₙ² T) / (1 + ε λₙ²)) aₙ sin(λₙ x)
(8)
Bu operator yordamida yechimning taqribiy barqaror ifodasi olinadi.
Xulosa:
Mazkur maqolada yo‘nalishi teskari vaqtli masala, ya’ni issiqlik tenglamasi
uchun vaqt bo‘yicha orqaga extrapolyatsiya masalasi ko‘rib chiqildi. Masalaning
nokorrektligi sababli yechimni topish uchun regulyarizatsiya metodlari, xususan
Fur’e qatorlari yordamida yechim ifodasi va Tixonov regulyarizatsiyasi tahlil
qilindi. Kompyuterli modellashtirish asosida bu yondashuvlar amaliy jihatdan
qo‘llanishi mumkinligi ko‘rsatildi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. K.S. Fayazov, I.O. Xajiyev. Nokorrekt va teskari masalalar (o‘quv qo‘llanma)
2. Tikhonov A.N., Arsenin V.Y. Solutions of Ill-posed Problems. Wiley, New York,
1977.
3. Ames K.A., Straughan B. Non-Standard and Improperly Posed Problems.
Academic Press, 1997.
4. K.S. Fayazov. Hisoblash matematikasi, matematik fizika va analizning
nokorrekt masalalarini yechish usullari. Toshkent, O‘zMU, 2001.
5. Lavrentiev M.M., Romanov V.G., Shishatskii S.P. Ill-posed Problems of
Mathematical Physics and Analysis. AMS, 1986.
