THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
158
DINAMIK DASTURLASH VA BELLMAN FUNKSIONAL TENGLAMASI
ASOSIDA OPTIMALLASHTIRISH MASALALARINI YECHISH
Ro‘zaliyev Sherzodjon Avazjonovich
Farg‘ona davlat universiteti axborot texnologiyalari kafedrasi mudiri,
pedagogika fanlari bo‘yicha falsafa doktori (PhD)
E-mail: sherzodjonruzaliyev@gmail.com
ORCID ID 0000-0002-0019-8446
Rahmatov Ziyodullo Rustamjon o‘g‘li
Farg‘ona Davlat Universiteti Amaliy matematika yo‘nalishi
3-kurs talabasi 22.11-guruh talabasi
E-mail: zrahmatov921@gmail.com
Jo‘rayev Ahliddin Ravshanjon o‘g‘li
Farg‘ona Davlat Universiteti Amaliy matematika yo‘nalishi 3-kurs talabasi
E-mail: tdaxshat@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.15305044
Annotatsiya:
Dinamik dasturlash ko‘p bosqichli jarayonlarni optimal
boshqarish va matematik dasturlash masalalarini yechishning muhim usulidir.
Ushbu usul, ayniqsa, maqsad funksiyasi separabel bo‘lgan masalalarni yechishda
samarali qo‘llaniladi. Maqolada dinamik dasturlashning asosiy tushunchalari,
resurs taqsimoti masalasi misolida ko‘rib chiqiladi. R. Bellman tomonidan ishlab
chiqilgan usul asosida masalalar oilasi tuziladi, Bellman funksiyasi va tenglamasi
yordamida optimal yechim qadam-baqadam aniqlanadi. Bellman tenglamasi
rekurrent shaklda yozilib, boshlang‘ich shartlardan foydalanib ketma-ket
funksiyalar hisoblanadi. Masalaning yechimi optimal taqsimot va maksimal
foydani aniqlash orqali topiladi.
Maqolada, shuningdek, dinamik dasturlash algoritmi va undan jadval
yordamida foydalanish usullari keltiriladi. Misollar orqali resurs taqsimoti
masalasining yechimi va Bellman tenglamasining amaliy qo‘llanilishi
tushuntiriladi. Ushbu usulning afzalligi sifatida qavariq funksiyalar xossalaridan
kelib chiqadigan maksimum nuqtalarining aniqligi va hisoblashlarning soddaligi
ta’kidlanadi. Mavzu iqtisodiy, texnik va boshqa sohalardagi ko‘p bosqichli
masalalarni yechishda qo‘llanilishi mumkin bo‘lgan universal yondashuv sifatida
muhim ahamiyatga ega.
Kalit so‘zlar:
dinamik dasturlash, jarayon, dinamik jarayonlar, matematik
dasturlash, maqsad funksiyasi, resurs miqdori, resurs taqsimoti, xom ashyo,
masalalar oilasi, Bellman tenglamasi, Bellman funksiyasi.
Annotation:
Dynamic programming is an important method for solving multi-stage process
optimal control and mathematical programming problems. This method is
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
159
particularly effective in solving problems where the objective function is
separable. The article discusses the basic concepts of dynamic programming,
using the resource allocation problem as an example. Based on the method
developed by R. Bellman, a family of problems is formulated, and the optimal
solution is determined step-by-step using the Bellman function and equation.
The Bellman equation is written in a recurrent form, and successive functions
are calculated using initial conditions. The solution to the problem is found by
determining
the
optimal
allocation
and
maximum
benefit.
The article also presents the dynamic programming algorithm and methods of
using it with tabular approaches. Through examples, the solution of the resource
allocation problem and the practical application of the Bellman equation are
explained. An advantage of this method is the precision of the maximum points
arising from the properties of convex functions and the simplicity of
calculations. The topic is of great importance as a universal approach for solving
multi-stage problems in economic, technical, and other fields.
Keywords:
dynamic programming, process, dynamic processes,
mathematical programming, objective function, resource quantity, resource
allocation, raw material, family of problems, Bellman equation, Bellman
function.
Аннотация:
Динамическое программирование является важным методом решения
задач оптимального управления многоэтапными процессами и
математического программирования. Этот метод особенно эффективен
при решении задач с сепарабельной целевой функцией. В статье
рассматриваются основные понятия динамического программирования на
примере
задачи
распределения
ресурсов.
На
основе
метода,
разработанного Р. Беллманом, формируется семейство задач, а
оптимальное решение определяется пошагово с использованием функции
и уравнения Беллмана. Уравнение Беллмана записывается в рекуррентной
форме, и с использованием начальных условий последовательно
рассчитываются
функции.
Решение
задачи
достигается
путем
определения оптимального распределения и максимальной выгоды.
В статье также приводится алгоритм динамического программирования и
методы его применения с использованием таблиц. На примерах
объясняется решение задачи распределения ресурсов и практическое
применение уравнения Беллмана. Среди преимуществ данного метода
отмечаются точность нахождения точек максимума благодаря свойствам
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
160
выпуклых функций и простота расчетов. Тема имеет важное значение как
универсальный подход к решению многоэтапных задач в экономике,
технике и других областях.
Ключевые слова:
динамическое программирование, процесс,
динамические процессы, математическое программирование, целевая
функция, количество ресурсов, распределение ресурсов, сырье, семейство
задач, уравнение Беллмана, функция Беллмана.
Dinamik dasturlash ko‘p bosqichli jarayonlarni optimallashtirish va
murakkab matematik dasturlash masalalarini yechishda keng qo‘llaniladigan
samarali usuldir. Amerikalik olim Richard Bellman tomonidan 1950-yillarda
asos solingan bu usul, ayniqsa, maqsad funksiyasi separabel bo‘lgan va resurs
taqsimoti, optimal boshqaruv, iqtisodiy modellashtirish kabi sohalarda
qo‘llaniladigan masalalarni yechishda muhim ahamiyatga ega. Dinamik
dasturlashning asosiy g‘oyasi murakkab masalani kichikroq qismlarga bo‘lish va
ularni ketma-ket yechish orqali umumiy optimal yechimni topishdan iborat. Bu
jarayonda Bellman funksional tenglamasi markaziy rol o‘ynaydi, chunki u har bir
bosqichda optimal qaror qabul qilishni ta’minlaydi.Bellman tenglamasi
masalalar oilasini tahlil qilish va rekurrent bog‘lanishlar orqali yechimni qurish
imkonini beradi. Ushbu usulning afzalliklari orasida uning universal tabiati,
qavariq funksiyalar bilan ishlashdagi aniqligi va hisoblash jarayonlarining tizimli
tashkil etilishi kiradi. Mazkur maqolada dinamik dasturlash usulining nazariy
asoslari, Bellman tenglamasining tuzilishi va uning resurs taqsimoti masalasiga
qo‘llanilishi misollar orqali yoritiladi. Shuningdek, algoritmik yondashuvlar va
jadval usulidan foydalanish kabi amaliy jihatlar tahlil qilinadi. Mavzu iqtisod,
muhandislik, informatika va boshqa sohalarda qo‘llanilishi mumkin bo‘lgan keng
ko‘lamli masalalarni yechishda muhim vosita sifatida o‘z ahamiyatini saqlab
kelmoqda.
Adabiyotlar tahlili
Dinamik dasturlash va Bellman funksional tenglamasi bo‘yicha adabiyotlar
tahlili uchun mavzuning asosiy yo‘nalishlari, muhim manbalar va ulardagi
yondashuvlarni qisqacha ko‘rib chiqamiz. Quyida ushbu sohada keng tarqalgan
adabiyotlar va ularning mazmuni tahlil qilinadi:1. R. Bellman. Dynamic
Programming (1957)Tavsif: Dinamik dasturlash usulining asoschisi Richard
Bellman tomonidan yozilgan ushbu kitob sohada fundamental manba
hisoblanadi. Kitobda dinamik dasturlashning nazariy asoslari, Bellman
tenglamasi va uning turli masalalarga qo‘llanilishi muhokama qilinadi.Tahlil:
Bellman o‘z ishida ko‘p bosqichli jarayonlarni optimallashtirish uchun umumiy
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
161
yondashuvni taklif qiladi. Kitobda resurs taqsimoti, inventar boshqaruvi va
optimal boshqaruv masalalariga misollar keltirilgan. Biroq, zamonaviy hisoblash
texnologiyalari nuqtai nazaridan kitobning amaliy qo‘llanilishi cheklangan
bo‘lishi mumkin, chunki u asosan nazariy jihatlarga e’tibor qaratadi.Muhim
jihati: Bellman funksiyasi va tenglamasining dastlabki ta’rifi va ularning
matematik asoslari.
Tadqiqotlar metodologiyasi
Dinamik dasturlash usuli va Bellman funksional tenglamasi bo‘yicha
tadqiqotlar metodologiyasi nazariy tahlil, matematik modellashtirish va amaliy
yechimlarni sinashga asoslanadi. Quyida ushbu mavzu bo‘yicha tadqiqot
jarayonining asosiy bosqichlari va metodologik yondashuvlari keltiriladi:
Maqsad va vazifalarni aniqlash
Tadqiqotning asosiy maqsadi dinamik
dasturlash usulining Bellman tenglamasi yordamida ko‘p bosqichli
optimallashtirish masalalarini yechishdagi samaradorligini o‘rganishdir.
Vazifalar quyidagilardan iborat: Dinamik dasturlashning nazariy asoslarini tahlil
qilish.Bellman tenglamasining tuzilishi va uning turli masalalarga qo‘llanilishini
o‘rganish.Resurs taqsimoti kabi amaliy masalalarda usulning qo‘llanilishini
sinab ko‘rish. Algoritmik yechimlar va jadval usullarining samaradorligini
baholash.
Tahlil va natijalar
Dinamik dasturlash usuli
Dinamik dasturlash – ko‘p bosqichli va dinamik jarayonlarni matematik
dasturlash hamda optimal boshqarishning maxsus masalalarini yechish usulidir.
Quyida bu usulning matematik dasturlash masalalaridan bir tipiga qo‘llanilishini
ko‘ramiz.
1. Masalaning qo‘yilishi.
Matematik dasturlashning quyidagi
n
i
n
i
i
i
i
i
i
i
n
i
x
a
b
x
a
x
f
u
1
1
,
,
1
,
0
,
0
,
)
(
max,
)
(
(1)
masalasini qaraymiz. Bu masalaning o‘ziga xos xususiyati shundan iboratki,
uning maqsad funksiyasi separabeldir, ya’ni bir o‘zgaruvchili
n
i
x
f
i
i
,
1
),
(
,
funksiyalar yig‘indisidan iborat.
Bir qator iqtisodiy masalalarni (1) masala ko‘rinishida matematik
modellashtirish mumkin. Shunday masalalardan biri-resurslar taqsimoti
haqidagi masaladir. U
b
miqdordagi xom ashyo (resurs) va
n
ta texnologik
jarayonlar berilgan bo‘lsin; agar xom ashyoning
x
miqdorini
i
- texnologik
jarayonda foydalansak,
)
(
x
f
i
miqdordagi foyda olinishi ma’lum bo‘lsa, maksimal
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
162
umumiy foyda olish uchun xom ashyoni jarayonlar o‘rtasida qanday taqsimlash
kerak?
Agar
i
x
orqali
i
-jarayon uchun ajratilgan resurs miqdorini belgilasak,
n
i
i
i
x
f
u
1
– jami foyda,
n
i
i
i
n
i
x
b
x
1
,
1
,
0
,
bo‘ladi. Natijada resurslar
taqsimoti haqidagi masala quyidagicha matematik modellashtiriladi:
n
i
n
i
i
i
i
i
n
i
x
b
x
x
f
1
1
.
,
1
,
0
,
max,
)
(
(2)
2. Masalaning yechilishi.
Amerikalik olim R. Bellman tomonidan
asoslangan sxemaga ko‘ra, (1) masalani dinamik dasturlash usuli bilan yechish
quyidagi bosqichlarda amalga oshiriladi.
Birinchi bosqichda
(1) masalani unga o‘xshash masalalar oilasiga
invariant kiritamiz, ya’ni
b
y
n
k
k
i
x
y
x
a
x
f
u
k
i
i
i
i
k
i
i
i
0
,
1
,
,
1
,
0
,
)
(
max,
)
(
1
1
(3)
masalalar oilasini qaraymiz. (3) masala maqsad funksiyasining optimal
qiymatini
B
k
(y)
kabi belgilaymiz:
k
i
k
i
i
i
i
i
i
k
k
i
x
y
x
a
x
f
y
B
1
1
.
,
1
,
0
,
)
(
),
(
max
)
(
(4)
)
(
y
B
k
– Bellman funksiyasi deyiladi.
Ikkinchi bosqichda
rekurrent
b
y
n
k
z
a
y
B
z
f
y
B
k
k
k
a
y
z
k
k
0
,
,
2
)],
(
)
(
[
max
)
(
1
0
Bellman
tenglamasidan va
)
(
max
)
(
1
/
0
1
1
z
f
y
b
a
y
z
(asosiy bog‘lanish tenglik
shaklda bo‘lgan holda
)
/
(
)
(
1
1
1
a
y
f
y
b
boshlang‘ich shartdan foydalanib ketma-
ket
)
(
),...,
(
),
(
3
2
y
B
y
B
y
B
n
funksiyalarini topamiz.
Oxirgi,
uchinchi bosqichda
(1) masalaning
0
0
2
0
1
,...,
,
n
x
x
x
yechimini
quramiz:
0
n
x
ni
n
n
n
n
a
b
z
z
a
b
B
z
f
/
0
),
(
)
(
1
funksiyaga maksimum beruvchi
nuqta
sifatida
aniqlaymiz,
ya’ni
),
(
)
(
[
max
)
(
)
(
1
/
0
0
1
0
z
a
b
B
z
f
x
a
b
B
x
f
n
n
n
a
b
z
n
n
n
n
n
n
0
1
n
x
ni ham shunga o‘xshash
)]
(
)
(
[
max
)
(
)
(
1
1
2
1
/
0
0
1
1
1
2
0
1
1
1
z
a
b
B
z
f
x
a
b
B
x
f
n
n
n
a
b
z
n
n
n
n
n
n
shartdan
aniqlaymiz, bu yerda
0
1
n
n
x
a
b
b
.
Shunday davom etib,
2
,...,
3
,
2
,
0
1
n
i
x
n
nuqtalarni
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
163
)
(
)
(
[
max
)
(
)
(
1
/
0
0
1
0
1
z
a
b
B
z
f
x
a
b
B
x
f
i
n
i
i
n
i
n
a
b
z
i
n
i
n
i
i
n
n
i
n
n
i
shartdan topamiz, bu yerda
.
2
,...,
3
,
2
,
1
0
n
i
x
a
b
b
k
n
i
k
k
n
i
0
1
x
ni esa,
)
(
max
)
(
1
/
0
0
1
1
1
1
z
f
x
f
a
b
z
n
shartdan topamiz (asosiy bog‘lanish tenglik
ko‘rinishda bo‘lganda esa,
1
1
0
0
0
1
/
)
(
b
x
a
b
x
i
k
k
n
k
n
bo‘ladi). (1) masala maqsad
funksiyasining maksimal qiymati
)
(
b
B
n
ga teng.
Eslatma.
Agar (1) masalada
n
i
x
f
i
,
1
),
(
funksiyalar ham qavariq bo‘lsa,
)
(
),...,
(
),
(
2
1
y
B
y
B
y
B
n
funksiyalar ham qavariq bo‘ladilar va demak qavariq
funksiyalarning xossalariga ko‘ra (4) tenglamaning o‘ng tomonida maksimumga
yo
0
z
, yoki
k
b
y
z
/
nuqtada erishiladi.
1-misol.
Resurslar taqsimoti haqidagi (2) masalada
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
b
n
24
)
(
,
)
(
,
)
(
,
4
,
3
3
2
3
2
2
1
bo‘lsin. Shu masalani yechamiz.
Demak, quyidagi masala berilgan:
max,
24
)
(
,...
2
,
1
,
0
,
4
3
3
3
2
3
2
2
2
1
3
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
f
i
x
x
x
x
i
i
i
i
Unga o‘xshash masalalar oilasi quyidagicha bo‘ladi:
k
i
i
i
i
k
i
i
x
f
y
k
k
i
x
y
x
1
1
.
max
)
(
,
4
0
,
3
,
2
,
1
,
,
1
,
0
,
Bellman funksiyasi
k
i
i
i
k
i
i
i
k
y
k
k
i
x
y
x
x
f
y
B
1
1
4
0
,
3
,
2
,
1
,
,
1
,
0
,
,
)
(
max
)
(
uchun Bellman tenglamasini yozamiz:
.
4
0
,
3
,
2
,
)
(
)
(
max
)
(
1
0
y
k
z
y
B
z
f
y
B
k
k
y
z
k
Bu tenglama uchun boshlang‘ich shart
y
y
f
y
B
)
(
)
(
1
1
bo‘ladi. Bellman
tenglamasidan ketma-ket
)
(
2
y
B
va
)
(
3
y
B
funksiyalarni topamiz:
y
y
z
y
z
z
z
y
B
z
f
y
B
y
z
y
z
2
2
0
1
2
0
2
max
)
(
)
(
max
)
(
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
164
z
y
z
y
z
z
z
z
y
B
z
f
y
B
y
z
y
z
2
3
2
0
2
3
0
3
)
(
24
max
)
(
)
(
max
)
(
Endi optimal taqsimotni aniqlaymiz.
56
20
15
2
max
4
)
4
(
24
max
)
4
(
3
2
0
2
3
2
4
0
3
z
z
z
z
z
z
z
z
B
y
z
z
bu yerda maksimumga
3
z
da erishiladi. Demak,
2
]
1
[
max
)
1
(
;
1
2
1
2
0
3
1
z
B
x
b
b
z
o
,
bu yerda maksimumga
1
z
da erishiladi. Demak,
1
0
2
x
. U vaqtda
0
4
0
2
0
3
0
1
x
x
x
.
Shunday qilib, optimal taqsimot quyidagicha bo‘ladi:
,
0
0
1
x
,
1
0
2
x
3
0
3
x
:
maksimal foyda
56
)
4
(
3
B
ga teng.
3. Algoritm.
Faraz qilaylik, (1) masalada
,
,
1
,
n
i
a
i
b
butun sonlar bo‘lsin
hamda
,
,
1
,
n
i
x
i
o‘zgaruvchilar faqat manfiy bo‘lmagan butun qiymatlar qabul
qilinsin. Bu holda Bellman tenglamasi
b
y
n
k
z
a
y
B
z
f
y
B
k
k
k
a
y
z
k
k
,...,
1
,
0
,
,
2
,
)
(
)
(
max
)
(
1
]
/
,...,[
1
,
0
(5)
va uning uchun boshlang‘ich shart
)
(
max
)
(
1
]
/
,...,[
1
,
0
z
f
y
B
k
a
y
z
k
(6)
(asosiy bog‘lanish tenglik ko‘rinishida bo‘lganda
1
1
1
/
)
(
a
y
f
y
B
) bo‘ladi,
bu yerda
1
1
/
/
a
y
a
y
sonning butun qismini ifodalaydi.
Qaralayotgan holda (1) masalani dinamik dasturlash usuli bilan yechishni
quyidagi
algoritm
bo‘yicha amalga oshirish mumkin:
1)
0
y
deb olamiz;
2)
)
(
1
z
f
funksiyaning
]
/
[
,...,
1
,
0
1
a
y
z
nuqtalardagi qiymatlarini
hisoblaymiz (
n
i
i
i
b
x
a
1
bo‘lganda.
])
/
([
1
1
a
y
f
hisoblanadi).
3)
1
1
1
1
1
1
]
/
[
,...,
1
,
0
/
)
(
))
(
(
)
(
max
)
(
a
y
f
y
B
y
x
f
z
f
y
B
k
a
y
z
k
ni hisoblaymiz
hamda
)
(
1
y
B
va
)
(
1
y
x
ni eslab qolamiz;
4) agar
b
y
bo‘lsa,
1
y
y
deb 2) punktga qaytamiz; aks holda
navbatdagi punktga o‘tamiz;
5)
0
,
2
y
k
deb olamiz;
6)
1
/
,..,
1
,
0
a
y
z
uchun
)
(
)
(
1
z
a
y
B
z
f
k
k
k
qiymatlarni hisoblaymiz;
7)
))
(
(
))
(
(
)
(
)
(
max
)
(
1
1
]
/
[
,...,
1
,
0
y
x
a
y
B
y
x
f
z
a
y
B
z
f
y
B
k
k
k
k
k
k
k
k
a
y
z
k
k
ni
hisoblaymiz hamda
)
(
y
B
k
va
)
(
y
x
k
ni eslab qolamiz;
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
165
8) agar
b
y
bo‘lsa,
1
y
y
deb 6) punktga qaytamiz; aks holda
navbatdagi punktga o‘tamiz;
9) agar
n
k
bo‘lsa.
1
k
k
,
0
y
deb 6) bandga qaytamiz; aks holda
navbatdagi bandga o‘tamiz;
10) (1) masalani yechimi
0
0
2
0
1
,...,
,
n
x
x
x
ni aniqlaymiz:
1
,...,
2
,
1
,
),
(
),
(
1
0
0
0
0
n
i
x
a
b
b
b
x
x
b
x
x
i
j
j
n
j
n
i
i
i
n
i
n
n
n
(7)
)
(
b
B
k
-(1) masala maqsad funksiyasining optimal qiymati bo‘ladi.
Eslatma.
Agar (7) formulada biror
1
1
,
n
i
i
n
n
uchun
0
i
b
bo‘lsa,
n
i
i
i
x
1
,
0
0
bo‘ladi.
4. Algoritmdan jadval yordamida foydalanish
b
y
n
k
y
B
k
0
,
1
),
(
qiymatlar bilan birga (6) ga maksimum beruvchi
)
,...,
2
,
1
,
0
,
(
1
1
b
y
y
x
va (5) ga maksimum beruvchi
,
,...,
2
,
1
),
(
n
k
y
x
k
b
y
,...,
2
,
1
,
0
sonlarni ham yozib qo‘yamiz (agar (5) va (6) ga maksimum
beruvchi nuqtalar bir nechta bo‘lsa, ularning hammasi yoziladi). Jadvalni
to‘ldirgandan so‘ng (7) bo‘yicha formula bo‘yicha (1) masala yechimi
0
0
2
0
1
,
,
,
n
x
x
x
ni osongina aniqlash mumkin.
Algoritmdan jadval yordamida foydalanish qo‘lda bajariladigan hisoblashlar
uchun tavsiya qilinadi.
Eslatma.
Asosiy bog‘lanish tenglik ko‘rinishda bo‘lganda (ya’ni
b
y
y
x
b
x
a
n
i
i
i
,...,
2
,
1
,
0
),
(
1
1
) sonlarni jadvalga yozish shart emas. Bu holda
(1) masala yechimining
0
x
koordinatasini
1
2
0
0
0
1
/
a
x
a
b
x
n
j
j
n
j
n
formula
bilan topamiz.
1-jadval
y
)
(
y
B
k
0
1
2
…
k
…
b
)
(
1
y
B
)
(
1
y
x
)
0
(
1
B
)
0
(
1
x
)
1
(
1
B
)
1
(
1
x
)
2
(
1
B
)
2
(
1
x
…
)
(
1
k
B
)
(
1
k
x
…
)
(
1
b
B
)
(
1
b
x
)
(
2
y
B
)
(
2
y
x
)
0
(
2
B
)
0
(
2
x
)
1
(
2
B
)
1
(
2
x
)
2
(
2
B
)
2
(
2
x
…
)
(
2
k
B
)
(
2
k
x
…
)
(
2
b
B
)
(
2
b
x
…
…
…
…
…
…
…
…
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
166
)
(
y
B
n
)
(
y
x
n
)
0
(
n
B
)
0
(
n
x
)
1
(
n
B
)
1
(
n
x
)
2
(
n
B
)
2
(
n
x
…
)
(
k
B
n
)
(
k
x
n
…
)
(
b
B
n
)
(
b
x
n
2-misol
.
,
6
3
2
max,
2
2
3
2
1
3
2
2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
bu yerda
3
,
2
,
1
1
,
0
i
x
butun qiymatlar qabul qiladi.
Yechish.
Berilgan masala uchun
,
6
,
3
,
2
,
1
,
3
3
2
1
b
a
a
a
n
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
2
)
(
,
)
(
,
2
)
(
3
2
2
2
1
2-jadvalni to‘ldiramiz. Birinchi qatorga quyidagi sonlarni yozamiz:
6
,...,
1
,
0
,
2
2
max
)
(
max
)
(
2
2
,...,
1
,
0
1
]
/
[
,...,
1
,
0
y
y
z
z
f
y
B
y
z
a
y
z
k
k
Ikkinchi satrni to‘ldiramiz:
6
,...,
1
,
0
],
2
)
2
(
[
max
)]
(
)
(
[
max
)
(
2
2
]
/
[
,...,
1
,
0
2
1
2
]
/
[
,...,
1
,
0
2
1
y
z
y
z
z
z
a
y
B
z
f
y
B
a
y
z
a
y
z
k
0
)
0
(
,
0
]
2
4
[
)
0
(
2
0
2
2
2
x
z
z
z
B
z
,
0
)
1
(
,
2
1
2
)
2
1
(
2
)
2
1
(
max
)
1
(
2
0
2
2
2
2
]
2
[
,
0
2
1
x
z
z
z
z
z
z
B
z
z
,
0
)
2
(
,
2
0
;
2
max
2
)
2
2
(
max
)
2
(
2
2
2
1
,
0
2
x
z
z
z
B
z
,
0
)
3
(
,
2
9
2
1
;
2
9
max
2
)
2
3
(
max
)
3
(
2
2
2
]
2
3
[
,
0
2
x
z
z
z
B
z
,
0
)
4
(
,
8
2
;
2
;
8
max
2
)
2
4
(
max
)
4
(
2
2
2
2
,
1
,
0
2
x
z
z
z
B
z
,
0
)
5
(
,
2
25
2
3
;
2
9
;
2
25
max
2
)
2
5
(
max
)
5
(
2
2
2
]
2
5
[
,
1
,
0
2
x
z
z
z
B
z
,
0
)
6
(
,
18
6
;
4
;
8
;
18
max
2
)
2
6
(
max
)
6
(
2
2
2
3
,
2
,
1
,
0
2
x
z
z
z
B
z
Xuddi shunga o‘xshash, jadvalning uchinchi satrini
)
(
3
y
B
funksiyaning
,
6
,...,
1
,
0
)],
3
(
)
(
[
max
)]
(
)
(
[
max
)
(
2
3
]
/
[
,...,
1
,
0
3
2
3
]
/
[
,...,
1
,
0
3
1
y
z
y
B
z
f
z
a
y
B
z
f
y
B
a
y
z
a
y
z
k
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
167
ifodadan aniqlanuvchi qiymatlar
)
6
(
,
),
1
(
),
0
(
3
3
3
B
B
B
lar va bu ifodaga
maksimum beruvchi
)
6
(
),...,
1
(
),
0
(
3
3
3
x
x
x
sonlar bilan to‘ldiramiz.
2-jadval
y
)
(
y
B
k
0
1
2
3
4
5
6
)
(
1
y
B
)
(
1
y
x
00
2
1
1
22
2
9
3
84
2
25
5
186
)
(
2
y
B
)
(
2
y
x
00
2
1
0
20
2
9
0
80
2
25
0
180
)
(
3
y
B
)
(
3
y
x
00
2
1
0
20
2
9
0
80
2
25
0
180
Tuzilgan jadvalning oxirgi ustuni berilgan masala yechimini aniqlaydi,
chunki (7) formulaga ko‘ra.
6
)
6
(
)
6
(
,
0
)
6
(
)
6
(
,
0
)
6
(
0
2
2
0
3
3
1
0
1
2
0
3
3
2
0
2
3
0
3
x
x
a
x
a
x
x
x
x
a
x
x
x
x
Maqsad funksiyasining maksimal qiymati
.
18
)
6
(
3
B
Xulosa
Dinamik dasturlash usuli va Bellman funksional tenglamasi ko‘p bosqichli
optimallashtirish masalalarini yechishda muhim va samarali vosita sifatida o‘z
ahamiyatini isbotlagan. Richard Bellman tomonidan ishlab chiqilgan bu usul,
ayniqsa, separabel maqsad funksiyalari va chiziqli cheklovlarga ega masalalarni,
masalan, resurs taqsimoti, optimal boshqaruv va iqtisodiy modellashtirishni
yechishda keng qo‘llaniladi. Bellman tenglamasi masalalar oilasini tahlil qilish va
rekurrent hisoblashlar orqali optimal yechimni bosqichma-bosqich qurish
imkonini beradi. Ushbu usulning asosiy afzalliklari qavariq funksiyalar bilan
ishlashdagi aniqligi, hisoblashlarning tizimli tashkil etilishi va universal
qo‘llanilishidir.Tadqiqot jarayonida dinamik dasturlashning nazariy asoslari,
algoritmik yondashuvlari va amaliy qo‘llanilishi o‘rganildi. Resurs taqsimoti
masalasi misolida Bellman tenglamasi yordamida optimal yechim topish
jarayoni va jadval usullarining qulayligi ko‘rsatildi. Algoritmlarning
samaradorligi hisoblash murakkabligi va natijalarning aniqligi nuqtai nazaridan
baholandi. Tadqiqot shuni ko‘rsatdiki, dinamik dasturlash katta hajmdagi
ma’lumotlar va murakkab masalalarda ham barqaror natijalar beradi, lekin katta
resurs talab qiladigan masalalarda hisoblash cheklovlari yuzaga kelishi
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
168
mumkin.Ushbu usul iqtisod, muhandislik, informatika va boshqa sohalarda ko‘p
bosqichli jarayonlarni optimallashtirishda muhim ahamiyatga ega. Kelajakda
tadqiqotlar zamonaviy hisoblash texnologiyalari, masalan, mashinaviy o‘qitish
va parallel hisoblashlar bilan integratsiyalashuvga yo‘naltirilishi mumkin. Bu
dinamik dasturlashning qo‘llanilish doirasini yanada kengaytiradi va uning
samaradorligini oshiradi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Bellman, R. (1957). Dynamic Programming. Princeton University Press.
2.
Bertsekas, D. P. (2017). Dynamic Programming and Optimal Control (Vol. I
& II). Athena Scientific.
3.
Dreyfus, S. E., & Law, A. M. (1977). The Art and Theory of Dynamic
Programming. Academic Press.
4.
Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. (2009). Introduction
to Algorithms (3rd ed.). MIT Press.
5.
Taha, H. A. (2017). Operations Research: An Introduction (10th ed.).
Pearson.
6.
Sniedovich, M. (2010). Dynamic Programming: Foundations and Principles
(2nd ed.). CRC Press.
