https://scientific-jl.com/luch/
Часть-39_ Том-2_ Февраль-2025
75
FUNKSIYALARNI SONLI INTEGRALLASH
Xushmurodova Luiza G‘ayratovna
Toshkent shahar Shayxontohur tuman Politexnikumi Matematika fani o’qituvchisi
ANNOTATSIYA. Funksiyalarni sonli integrallash – aniq integralni analitik
usulda topish qiyin bo‘lgan hollarda, uning taxminiy qiymatini hisoblash usuli
hisoblanadi. Ushbu yondashuv differensial va integral tenglamalar, fizika,
muhandislik, iqtisodiyot va boshqa ilmiy sohalarda keng qo‘llaniladi. Sonli
integrallash usullari orasida to‘g‘ri to‘rtburchaklar metodi, trapetsiya metodi,
Simpson formulasi va Gauss kvadraturasi kabi samarali algoritmlar mavjud.
Ushbu usullar funksiyaning ma’lum diskret nuqtalarida qiymatini hisoblash va uni
integrallash orqali taqribiy natijalarni olishga asoslanadi. Sonli integrallash
aniqlik va hisoblash tezligi jihatidan muhim omillarga ega bo‘lib, kompyuter
hisob-kitoblarida katta ahamiyatga ega.
Ushbu maqolada funksiyalarni sonli integrallashning asosiy tamoyillari, turli
usullar va ularning qo‘llanilish sohalari haqida batafsil ma’lumot beriladi.
KALIT SO‘ZLAR: Sonli integrallash, Aniq integral, Taqribiy hisoblash,
To‘rtburchaklar metodi, Trapetsiya metodi, Simpson formulasi, Gauss
kvadraturasi, Diskretizatsiya, Analitik integrallash, Raqamli hisoblash,
Kompyuterda integrallash, Funksiya interpolatsiyasi, Integrallash xatoligi,
Matematik model, Differensial tenglamalar.
KIRISH
Funksiyalarni sonli integrallash – aniq integralni analitik usulda topish qiyin
yoki imkonsiz bo‘lgan hollarda, uning taxminiy qiymatini hisoblash uchun
qo‘llaniladigan matematik usullardan biridir. Ko‘plab amaliy masalalarda, ayniqsa,
fizikada, muhandislikda va iqtisodiyotda funksiyalar analitik tarzda integrallash
mushkul bo‘lib, ularni sonli usullar yordamida hisoblash samarali natijalar beradi.
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-39_ Том-2_ Февраль-2025
76
Sonli integrallash usullari, masalan, to‘rtburchaklar metodi, trapetsiya
metodi, Simpson formulasi va Gauss kvadraturasi, funksiya qiymatlarini ma’lum
nuqtalarda hisoblash orqali uning integralini taxminiy hisoblashga asoslanadi. Bu
usullar hisoblash texnikalari va kompyuter dasturlarida keng qo‘llanilib, katta
hajmdagi hisob-kitob ishlarini bajarishda samaradorlikni oshiradi.
ASOSIY QISM
Funksiyalarni sonli integrallashning to’g’ri turtburchak, trapetsiya, simpson
metodlariga dastur tuzish
I. To’g’ri to’rtburchaklar formulasi. Bu formulani keltirib chiqarish uchun
dastlab
[𝑎, 𝑏]
kesmani
𝑎 = 𝑥
0
< 𝑥
1
< 𝑥
2
<. . . < 𝑥
𝑛
= 𝑏
nuqtalar bilan
n
ta teng
bo’lakka bo’lamiz. Bunda har bir bo’lakning uzunligi
∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
ga teng bo’ladi (1-
chizma)
Integral ostidagi
𝑓(𝑥)
funksiyaning
𝑥
0
, 𝑥
1
, 𝑥
2
, … 𝑥
𝑛−1
, 𝑥
𝑛
nuqtalardagi
qiymartlarini
𝑦
0
, 𝑦
1
, 𝑦
2
, … 𝑦
𝑛−1
, 𝑦
𝑛
lar bilan belgilaymiz va quyidagi
yig’indilarni tuzamiz:
𝑦
0
∙ ∆𝑥 + 𝑦
1
∙ ∆𝑥 + 𝑦
2
∙ ∆𝑥 + ⋯ + 𝑦
𝑛−1
∆𝑥; 𝑦
0
∆𝑥 + 𝑦
1
∆𝑥 + 𝑦
2
∆𝑥 + + ⋯ +
𝑦
𝑛
∆𝑥. 𝑦
0
∙ ∆𝑥 + 𝑦
1
∙ ∆𝑥 + 𝑦
2
∙ ∆𝑥 + ⋯ + 𝑦
𝑛−1
∆𝑥; 𝑦
0
∆𝑥 + 𝑦
1
∆𝑥 + 𝑦
2
∆𝑥 +
+ ⋯ + 𝑦
𝑛
∆𝑥. 𝑦
0
∙ ∆𝑥 + 𝑦
1
∙ ∆𝑥 + 𝑦
2
∙ ∆𝑥 + ⋯ + 𝑦
𝑛−1
∆𝑥; 𝑦
0
∆𝑥 + 𝑦
1
∆𝑥 +
𝑦
2
∆𝑥 + + ⋯ + 𝑦
𝑛
∆𝑥.
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-39_ Том-2_ Февраль-2025
77
1-chizma
Bu yig’indilarni har biri
𝑓(𝑥)
funksiya uchun
[𝑎, 𝑏]
kesmada integral yig’indi
bo’lib, ular uchun quyidagi taqribiy formulalarni yozish mumkin:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝑏
𝑎
( 𝑦
0
+ 𝑦
1
+ 𝑦
2
+ ⋯ + 𝑦
𝑛−1
)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝑏
𝑎
( 𝑦
1
+ 𝑦
2
+ 𝑦
3
+ ⋯ + 𝑦
𝑛
)
Bu formulalar to’g’ri to’rtburchaklar formulasi deyiladi.
II. Trapetsiyalar formulasi. Yuqorida ko’rib o’tilgan to’g’ri to’rtburchaklar
formulasida biz
𝑦 = 𝑓(𝑥)
egri chiziqni zinopayali chiziqlar bilan almashtirgan
edik. Agar biz
𝑦 = 𝑓(𝑥)
ni ichki chizilgan siniq chiziqlar bilan almashtirsak, aniq
integralning aniqroq qiymatini hosil qilamiz. Bunda
𝑎𝐴𝐵𝑏
egri chiziqli trapetsiya
yuqoridan
𝐴𝐴
1
, 𝐴
1
𝐴
2
, … , 𝐴
𝑛−1
𝐵
vatarlar bilan chegaralangan trapetsiyachalar
yig’indisidan iborat bo’ladi(2-chizma). Bunda birinchi
trapetsiyachaning yuzi
𝑦
0
+𝑦
1
2
∙ ∆𝑥,
ikkinchisining yuzi
𝑦
1
+𝑦
2
2
∙ ∆𝑥
va hokazo bo’lib
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ (
𝑦
0
+𝑦
1
2
∙ ∆𝑥 +
𝑦
1
+𝑦
2
2
∙ ∆𝑥 + ⋯ +
𝑦
𝑛−1
+𝑦
𝑛
2
∙ ∆𝑥)
𝑏
𝑎
yoki
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-39_ Том-2_ Февраль-2025
78
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈
𝑏 − 𝑎
𝑛
(
𝑦
0
+ 𝑦
𝑛
2
+ 𝑦
1
+ 𝑦
2
+ ⋯ + 𝑦
𝑛−1
)
𝑏
𝑎
bo’ladi. Bu formula aniq integralni taqribiy hisoblashning trapetsiyalar formulasi
deyiladi. Bu yerda
𝑛
soni ixtiyoriy tanlanadi.
𝑛
soni qanchalik katta bo’lsa,
integralning qiymati shunchalik aniq bo’ladi.
III. Parabola formulasi (Simpson formulasi).
[𝑎, 𝑏]
kesmani
𝑛 = 2𝑚
ta teng
bo’laklarga bo’lamiz.
[𝑥
0
, 𝑥
1
]
va
[𝑥
1
, 𝑥
2
]
kesmalarga mos kelgan va
𝑦 = 𝑓(𝑥)
egri
chiziq bilan chegaralgan egri chiziqli trapetsiyachalarning yuzlarini
𝑀
0
(𝑥
0
, 𝑦
0
)
,
𝑀
1
(𝑥
1
, 𝑦
1
), 𝑀
2
(𝑥
2
, 𝑦
2
)
nuqtalardan o’tuvchi parabola bilan chegaralgan egri
chiziqli trapetsiya bilan almashtiramiz. Bunday egri chiziqli trapetsiyani parabolik
trapetsiya deyiladi (3-chizma).
O’qi
0𝑦
o’qiga parallel bo’lgan parabo’lani tenglamasi
𝑦 = 𝐴𝑥
2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶
dan iborat bo’ladi.
3-chizma
A, B, C koeffitsientlar parabolaning berilgan uchta nuqtadan o’tish shartidan
topiladi. Qolgan kesmalar uchun ham yuqoridagidek parabolalarni yasaymiz. Hosil
bo’lgan parabolik trapetsiyachalar yuzlarining yig’indisi integralning taqribiy
qiymatini beradi. U quyidagi formuladan iborat boladi:
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-39_ Том-2_ Февраль-2025
79
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈
𝑏−𝑎
6𝑚
[𝑦
0
+ 𝑦
2𝑚
+ 2(𝑦
2
+ 𝑦
4
+ ⋯ + 𝑦
2𝑚−2
) + 4(𝑦
1
+ 𝑦
3
+ + ⋯ +
𝑏
𝑎
𝑦
2𝑚−1
)].
Bu formula Simpson formulasi deyiladi.
Yuqorida biz
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
integralni integrallash kesmasi
[𝑎; 𝑏]
chekli va
integral ostidagi funksiya uzluksiz bo’lgan hollarda o’rgandik.
Ta’rif.
𝑦 = 𝑓(𝑥)
funksiyaning
[𝑎, +∞)
cheksiz yarim oraliq bo’yicha I tur
xosmas integrali deb yuqori chegarasi o’zgaruvchi
𝐹(𝑏)
integralning
𝑏 → +∞
bo’lgandagi limitiga aytiladi va u
∫
𝑓(𝑥)
+∞
𝑎
𝑑𝑥
deb belgilanadi. Demak, ta’rifga asosan, u
∫
𝑓(𝑥)
+∞
𝑎
𝑑𝑥 = lim
b→+∞
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
ko’rinishda belgilanadi.
Agar yuqoridagi tenglamaning o’ng tomonidagi limit mavjud va chekli bo’lsa,
u holda xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda, uzoqlashuvchi deyiladi.
Ko’p hollarda xosmas integralning aniq qiymatini bilish shart bo’lmasdan,
uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini va yaqinlashuvchi bo’lgan
holda qiymatini baholash yetarli bo’ladi.
XULOSA
Funksiyalarni sonli
integrallash
matematik
analiz va
hisoblash
matematikasining muhim yo‘nalishlaridan biri bo‘lib, analitik tarzda integrallash
qiyin bo‘lgan funksiyalarni taqribiy hisoblash imkonini beradi. Sonli integrallash
usullari, jumladan, to‘rtburchaklar metodi, trapetsiya metodi, Simpson formulasi
va Gauss kvadraturasi, turli matematik va muhandislik masalalarida keng
qo‘llaniladi.
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-39_ Том-2_ Февраль-2025
80
Bu usullarni qo‘llash natijasida hisoblash jarayoni tezlashib, katta
miqdordagi ma’lumotlar bilan ishlash imkoniyati kengayadi. Shuningdek, har bir
usulning o‘ziga xos aniqlik darajasi va hisoblash xatoligi mavjud bo‘lib, ularni
tanlashda funksiyaning xususiyatlari va talab qilinayotgan aniqlik darajasi hisobga
olinishi lozim.
Umuman olganda, sonli integrallash zamonaviy fan va texnikaning ajralmas
qismi bo‘lib, uning rivojlanishi kompyuter texnologiyalari bilan chambarchas
bog‘liq. Kelajakda yangi usullar va algoritmlar ishlab chiqilishi bu sohaning
yanada takomillashishiga xizmat qiladi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1.
Butkov, E. "Matematik analiz". Toshkent: O‘zbekiston, 2015.
2.
Kreyzig, E. "Advanced Engineering Mathematics". John Wiley & Sons,
2011.
3.
Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., Flannery, B. P. "Numerical
Recipes: The Art of Scientific Computing". Cambridge University Press,
2007.
4.
Hildebrand, F. B. "Introduction to Numerical Analysis". Dover Publications,
1987.
5.
Burden, R. L., Faires, J. D. "Numerical Analysis". Brooks Cole, 2010.
6.
O‘zbekiston Respublikasi Oliy ta’lim muassasalari uchun "Hisoblash
matematikasi" darsligi. Toshkent: Fan, 2019.
