https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025
88
BERUNIY VA ULUG’BEKNING TRIGONOMETRIK “ZIJ”LARI
Jumayeva Hurmatoy Xolmurotovna
Buxoro muhandislik-texnologiya instituti
“Aniq fanlar” kafedrasi assistenti
jumayeva.hurmatoy@mail.ru
Annotatsiya.
Mustaqil
davlatimizning
kuch-qudrati
xalqimizning
umuminsoniy qadriyatlariga sodiqligidadir. Ushbu maqolada qomusiy
olimlarimiz, shu jumladan yirik olimlarimizdan asosan Beruniy va Ulug’bekning
matematika faniga qo’shgan hissalari haqida ma’lumot beriladi. Ulug’bek va
uning ilmiy xodimlari tomonidan qo’lga kiritilgan fan sohasidagi yutuqlarning
muhim natijasi bo’lib “Ulug’bek ziji” yoki “Ziji Ko’ragoniy” nomi bilan
yuritiluvchi astronomik jadvallar haqida so’z yuritiladi. Maqolada mavzuga oid
kalit so’zlar ham ta’kidlangan.
Kalit so’zlar. “Ziji Ko’ragoniy”, trigonometriya, trigonometrik jadval,
vatar, diametr ,
𝜋
soni, sinus, kosinus, tangens, kotangens, gradus.
Ulug’bek va uning ilmiy xodimlari tomonidan qo’lga kiritilgan fan
sohasidagi yutuqlarning muhim natijasi bo’lib “Ulug’bek ziji” yoki “Ziji
Ko’ragoniy” nomi bilan yuritiluvchi astronomik jadvallar hisoblanadi.
“Ziji Ko’ragoniy” nazariy qismdan va Samarqand rasadxonasida bajarilgan
astronomik kuzatishlar natijalaridan tashkil topgan. Kuzatish natijalari esa yil
hisobi, trigonometrik va planetalar harakatlari jadvallari va yulduzlar
kataloglaridan iborat.
Ulug’bek ilmiy maktabi asarlarida trigonometrik jadvallar ham salmoqli
o’rinni egallaydi. “Ulug’bek ziji” dagi trigonometrik jadvallar tuzish masalasiga
bag’ishlangan bob sinus, sinus-verzus, kosinus shuningdek ular orasidagi umumiy
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025
89
asosiy munosabatlar haqidagi umumiy xarakterdagi mulohazalardan boshlanadi.
“Sinuslar va soyalar (ya’ni tangenslar), - davom etadi Ulug’bek, - bir gradus
sinusi yordamida hisoblanadi”…
Ulug’bek o’z zamonasining terminologiyasi qoidalariga binoan biror yoy
tangensi va kotangensini hisoblaydi. Buning uchun u avvalo soya haqidagi
masalani to’la-to’kis qarab chiqadi. Oldin tomonni, keyin aylana yoyini tadqiq
qiladi. Soyaning har xil xossasini bayon etib, Ulug’bek asta-sekin masalani
umulashtiradi va soyani trigonometrik chiziq sifatida qaray boshlaydi. Birinchi
soya deb kotangensini qabul qiladi.
Ulug’bek biron yoy (birinchi) soyasi bilan shu yoy to’ldirish soyasi orasidagi
trigonometrik munosabatni tadqiq qiladi. Uning aytishicha: “Bu qoida zamin qilib
olindi. Bu asosda soyalar jadvallarini hisoblash aylananing sakkizdan biri uchun
jadvallar hisoblashga keltiriladi”
Oxirida Ulug’bek aytadi: “Biz jadvallarda birinchi soyalarni keltirdik. Ular
sinuslar kabi 45º dan 90º gacha esa – har besh minut uchun hisoblanadi. Boshqa
jadvalda ikkinchi soyalar graduslarda berilgan”.
Ulug’bek trigonometrik jadvallarning aniqlik darajasini bilish maqsadida
ba’zi burchaklar, 20º, 23º, 26º lar sinuslarining qiymatlarini tekshiramiz.
Oltmishlik sistemasidan o’nlik sistemasiga o’tib olamiz:
Sin 20º =
5
4
3
2
60
3
60
21
60
16
60
3
60
20
+
+
+
+
;
Sin 23º =
5
4
3
2
60
26
60
55
60
37
60
26
60
23
+
+
+
+
;
Sin 26º =
5
4
3
2
60
4
60
10
60
8
60
18
60
26
+
+
+
+
yoki,
Sin 20º = 0,32020142,
sin 23º = 0,390731129 ,
sin 26º = 0,438371147.
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025
90
Bu qiymatlarini ularning haqiqiy qiymatlari bilan solishtirb, quyidagi
jadvalga ega bo’lamiz:
Ulug’bek
hisobiga
Haqiqiy
qiymati
20º
23º
26º
sin
0,32020142
0,390731129
0,438371147
20º
23º
26º
sin
0,32020143
0,390731128
0,438371147
Bu jadval nima demoqchi ekanligi ko’rinib turibdi, u sharhlashga muhtoj
emas.
Quyidagi misollarning yechilish usullarini keltiramiz.
1.
cos20º cos40º cos80º ni hisoblang.
Yechish yo’li:
Berilgan ko’paytmani quyidagicha qilib yozamiz:
.
8
1
20
sin
8
160
sin
20
sin
4
2
80
cos
80
sin
2
20
sin
2
2
80
cos
40
cos
40
sin
2
20
sin
2
80
cos
40
cos
20
cos
20
sin
2
80
cos
40
cos
20
cos
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
Binobarin javob:
8
1
2.
sinx + sin2x + sin3x + …+ sin nx yig’indini hisoblang.
3.
Yechish yo’li:
Berilgan yig’indini S bilan belgilab, ikkala tomonini 2sin
2
х
sin nx ga ko’paytiramiz:
endi
(
)
(
)
(
)
+
−
−
=
cos
cos
2
1
sin
sin
formula tadbiq qilinsa. Ya’ni
x
n
x
x
n
x
n
x
x
сos
х
x
S
x
2
1
2
cos
2
cos
2
1
2
cos
2
1
2
cos
...
2
7
cos
2
5
2
3
cos
2
cos
2
sin
+
−
=
+
−
−
+
+
−
+
−
=
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025
91
Bunda
2
sin
2
sin
2
cos
cos
−
+
=
−
formula inobatga olinsa, quyidagi kelib
chiqadi:
(
)
x
n
x
n
S
x
2
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
+
=
yoki
2
sin
2
sin
2
)
1
(
sin
x
x
n
x
n
S
+
=
1.
cosx + cos 2x + cos 3x + …+ cos nx ni hisoblang.
2.
Uchburchak tomonlarining uzunliklari sin 30º; sin 40º va sin 60º ga
teng. Shu uchburchakning turini aniqlang.
Yechish usullari.
1.
Berilgan yig’indini S bilan belgilab, ikkala tomonini 2sin
2
х
ga
ko’paytiramiz:
x
n
x
n
x
x
n
x
n
x
n
x
x
x
x
x
x
nx
x
x
x
x
x
x
x
S
x
2
1
cos
2
sin
2
2
sin
2
1
2
sin
2
1
2
sin
2
1
2
sin
...
2
7
sin
2
5
sin
2
5
sin
2
3
sin
2
3
cos
2
sin
cos
2
sin
2
...
3
cos
2
sin
2
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
2
sin
2
+
=
−
+
=
−
+
−
−
+
+
−
+
−
−
+
−
=
+
+
+
+
=
bundan
(
)
2
sin
2
2
1
cos
2
sin
x
x
n
nx
S
+
=
2.
Ma’lumki, quyidagi shartlarga asoslanib, tomoni a, b, va c ga teng
bo’lgan uchburchakni turini aniqlaydilar.
a)
a
2
+ b
2
> c
2
bo’lsa, uchburchak o’tkir burchakli
b)
a
2
+ b
2
= c
2
bo’lsa, uchburchak to’g’ri burchakli
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025
92
c)
a
2
+ b
2
< c
2
bo’lsa, uchburchak o’tmas burchakli bo’ladi. Bizning
masalada
(sin
30º)
2
+
(sin
40º)
2
<
(sin
30º)
2
+(sin
45º)
2
=
2
2
2
)
60
(
4
3
4
2
4
1
2
2
2
1
сos
=
=
+
=
+
Demak, uchburchak o’tmas burchakli ekan.
