https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025
388
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ РЕШЕНИЯ ДРОБНО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Маматов Тулкин Юсупович
доцент, Бухарский государственный технический университет
Аннотация. В работе представлены результаты теоретического
обоснования применения метода Бубнова-Галеркина и Ритца для
нахождения численного решения уравнений с операторами дробного
дифференцирования. Задана структура численного решения и получена
оценка погрешности приближенного решения по метрике энергетического
пространства, порожденного оператором дробного дифференцирования.
Ключевые слова: уравнение, метод, решение, метод Бубнова-
Галеркина, метод Ритца.
Введение.
В последние годы наблюдается растущий интерес в области
дробного исчисления. Дробные дифференциальные уравнения привлекли
повышенное внимание. Актуальность этого работы состоит в том, что
дробно-дифференциальные уравнения имеют применение в различных
областях науки и техники. Многие явления в механике жидкости,
вязкоупругости, химии, физике, финансам и другим наукам можно описать
моделями с помощью математических инструментов из теории дробного
исчисления. Данные задачи, как правило, точно не решаются, поэтому весьма
остро стоят вопросы разработки и применения приближенных методов
решения с последующим их теоретическим обоснованием для этих
уравнений. Отметим, что в последнее время в научной литературе
появляются работы, в которых предложены численные методы для
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025
389
некоторых классов уравнений. Однако, несмотря на достигнутый успех в
этом направлении, остается открытым вопрос теоретического обоснования
применения приближенных методов для более общего класса подобных
задач.
Методика исследования.
Целью этого работы является разработка
вычислительной схемы для численного решения дробно-дифференциального
уравнения. В работе предлагается обобщенный метод Бубнова-Галеркина и
Ритца для нахождения приближенного решения дробно-дифференциальных
уравнений.
Рассмотрим уравнение:
( )
]
2
,
0
[
,
,
2
=
+
L
f
u
f
Tu
u
D
,
(1)
где
( )
( )
( )
(
)
−
+
+
=
D
D
D
2
cos
2
1
определяется с помощью операторов
дробного дифференцирования
( )
D
, определяемых для дробных
производных для функций
( )
x
, заданных на отрезке
],
,
[
b
a
по формулам:
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
,
,
1
1
,
,
1
1
def
def
−
−
−
=
−
−
−
=
−
+
x
t
x
dt
t
dx
d
x
D
x
t
x
dt
t
dx
d
x
D
b
x
b
x
a
a
(2)
здесь
1
0
. Производные (2) принято также называть производными
Римана-Лиувилля порядка α, левосторонним и правосторонним,
соответственно.
u
- неизвестная, а
f
- заданная функции из пространства
]
2
,
0
[
2
L
.
T
- некоторый оператор, для которого
( )
(
)
T
D
+
- линейный
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025
390
оператор и в общем случае неограниченный и не положительно
определенный.
Для достаточно хороших функций оператор
( )
D
совпадает с
оператором Вейля для дробного дифференцирования и действует по правилу:
( )
−
=
k
ikx
k
e
u
k
u
D
~
.
(3)
Здесь
k
u
- суть коэффициенты Фурье для функции
u
.
Для оператора справедливы следующие леммы.
Лемма 1.1.
( )
D
положительно определенный оператор.
Лемма 1.2.
( )
D
- симметричный оператор.
Учитывая это, введем скалярное произведение и норму соответственно:
( )
(
)
( )
(
)
2
1
,
]
[
,
,
]
,
[
u
u
D
u
v
u
D
v
u
=
=
.
В явном виде скалярное произведение будет выражено как:
( )
(
)
( )
−
=
−
=
=
=
=
k
k
k
k
ikx
k
v
u
k
dx
x
v
e
k
u
v
u
D
v
u
2
0
2
1
,
]
,
[
.
Пополняя
( )
( )
D
D
по введенной норме, получим энергетическое
пространство, обозначим которое через
D
H
.
Умножая исходное уравнение (1) на произвольную функцию
( )
( )
D
D
v
, получим следующее уравнение:
(
) ( )
v
f
v
Tu
v
u
,
,
]
,
[
=
+
.
(4)
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025
391
Уравнение (4) допускает обобщённую постановку задачи. Обобщенным
решением уравнения (1) назовем функцию удовлетворяющую уравнению (4)
для любой функции
D
H
v
.
Согласно методу Бубнова-Галеркина, в энергетическом пространстве
D
H
выбирается система базисных функций
N
j
j
,
1
,
=
. Приближенное
решение ищется в виде многочлена по выбранной системе базисных функций
в виде:
=
=
N
j
j
j
N
a
u
1
.
(5)
Неизвестные коэффициенты
j
a
определяются из системы уравнений
вида:
(
) (
)
N
k
f
Tu
u
k
k
N
k
N
,
1
,
,
,
,
=
=
+
.
(6)
Учитывая представление (5) и линейность введенного и обыкновенного
скалярных произведений, получаем следующую систему линейных
алгебраических уравнений
(
)
(
)
N
k
f
T
a
a
k
k
j
N
j
j
k
j
N
j
j
,
1
,
,
,
,
1
1
=
=
+
=
=
.
(7)
Теорема.
Пусть 1) уравнение (1) имеет единственное решение при
данной правой части. 2) Форма
( )
(
)
v
Tu
v
u
v
u
L
,
]
,
[
,
+
=
является
D
H
определенной и
D
H
ограниченной, т.е. выполняются условия:
(
)
( )
const
,
],
][
[
,
,
]
[
,
1
0
2
1
2
2
0
v
u
v
u
L
u
u
u
L
.
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025
392
3) Последовательность подпространств
N
H
линейных оболочек функций
j
,
N
j
,
1
=
является предельно плотной в
D
H
.
Тогда при любом конечном
N
однозначно разрешима система (6) и
приближенное решение
N
u
сходится к точному решению
u
при
→
N
по
метрике [
] и справедлива оценка погрешности:
(
)
N
u
c
u
u
N
,
−
,
где
(
)
N
u
,
заданная функция от
N
(оценка погрешности приближения),
удовлетворяющая неравенству:
( )
(
)
0
,
min
1
→
−
=
N
u
c
u
D
N
j
j
j
c
j
.
Рассмотрим задачу:
( )
( )
( ) ( ) ( )
0
1
0
,
1
,
0
,
=
=
=
+
u
u
x
x
f
qu
u
D
.
(8)
Результаты и их обсуждение.
Приближенное решение (8) будем искать
методом Ритца, согласно которому в качестве базисных функций возьмем
собственные функции оператора
( )
q
D
A
+
=
с областью определения
D
(
A
)
состоящих из непрерывных на [0,1] и обладающих производными до второго
порядка включительно функций
u
(
x
) удовлетворяющих условиями
u
(0)=
u
(1)=0. Отметим, что собственное значение
i
и соответствующая ему
собственная
функция
i
оператора
A
,
имеют
вид
...
,
2
,
1
,
sin
,
2
2
=
=
+
=
i
x
i
q
i
i
i
. Тогда приближенное решение (8)
будем искать в виде:
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025
393
( )
=
=
N
i
i
N
x
i
x
u
1
sin
,
(9)
где неизвестные коэффициенты разложения (9) задаются явно в виде:
( )
+
=
1
0
2
2
sin
2
xdx
i
x
f
q
i
i
.
Рассмотрим
примеры
численной
реализации
предложенной
вычислительной схемы для задачи (1).
Возьмем для задачи (1) значения α=2,5,
q
=1. Тогда уравнение примет
вид:
( )
( )
x
f
u
u
D
=
+
5
.
2
,
( ) ( ) ( )
0
1
0
,
1
,
0
=
=
u
u
x
,
(10)
где правая часть уравнения (10) в явном виде задана как функция:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
x
b
b
bx
b
x
f
−
−
+
−
+
=
sin
1
sin
1
5
.
2
5
.
2
.
Легко показать, что точное решение имеет вид:
( )
(
)
x
b
bx
x
u
−
−
=
sin
sin
.
Действительно, применим точное решение к уравнению (10) и
воспользуемся равенством
( )
(
)
bx
b
bx
D
sin
sin
=
, получим:
(
)
(
)
(
)
=
−
−
+
−
−
−
x
b
bx
x
b
b
bx
b
sin
sin
sin
sin
5
.
2
5
.
2
(
)
(
)
(
)
(
)
x
b
b
bx
b
−
−
+
−
+
=
sin
1
sin
1
5
.
2
5
.
2
.
В качестве иллюстрации метода приближенные решения (10) будем
искать в виде тригонометрического многочлена (9), неизвестные
коэффициенты которого найдем из определенного интеграла:
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025
394
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
−
+
−
+
+
=
1
0
5
.
2
5
.
2
2
2
sin
sin
1
sin
1
1
2
xdx
i
x
b
b
bx
b
i
i
.
Подставляя в формулу
b
=1 получим приближенное решение для
N
=10.
Нетрудно видеть, что графики приближенного и точного решений почти
совпадают. Кроме того, можно сравнить точные и приближенные значения
функции в точках промежутка интегрирования (таблица 1):
Таблица 1.
x
i
u(x
i
)
u
10
(x
i
)
0
0
0
0.1
-0.112693
-0.109898
0.2
-0.216672
-0.201131
0.3
-0.303631
-0.269012
0.4
-0.366226
-0.310407
0.5
-0.398157
-0.324481
0.6
-0.394782
-0.310407
0.7
-0.353214
-0.269012
0.8
-0.272511
-0.201131
0.9
-0.153749
-0.109898
1.0
0
0
Сравнивая второй и третий столбцы таблицы 1, видно, что расхождения
в значениях невелики. Для получения большей точности, найдем
приближенное решение исходной задачи для
N
=15.
Точные и приближенные значения заданы таблицей 2:
Таблица 2.
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025
395
x
i
u(x
i
)
u
15
(x
i
)
0
0
0
0.1
-0.112693
-0.109811
0.2
-0.216672
-0.201220
0.3
-0.303631
-0.268961
0.4
-0.366226
-0.310456
0.5
-0.398157
-0.324419
0.6
-0.394782
-0.310456
0.7
-0.353214
-0.268961
0.8
-0.272511
-0.201220
0.9
-0.153749
-0.109811
1.0
0
0
Дальнейшее увеличение числа
N
не привело к повышению точности
приближения, что свидетельствует из таблицы 3.
Таблица 3.
x
i
u(x
i
)
u
20
(x
i
)
0
0
0
0.1
-0.112693
-0.109793
0.2
-0.216672
-0.201197
0.3
-0.303631
-0.268947
0.4
-0.366226
-0.310455
0.5
-0.398157
-0.324425
0.6
-0.394782
-0.310455
0.7
-0.353214
-0.268947
0.8
-0.272511
-0.201197
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025
396
0.9
-0.153749
-0.109793
1.0
0
0
Сравнивая значения приближенных функций при
N
=10,
N
=15, получили
точность
3
10
−
=
. Однако, дальнейшее увеличение
N
приводит к медленному
увеличению точности приближения.
Список литературы
1.
Mamatov T. Fractional integration operators in mixed weighted generalized
Hölder spaces of function of two variables defined by mixed modulus of
continuity// Journal of Mathematical Methods in Engineering, Auctores
Publishing – vol.1(1), 2019, P. 1-16
2.
Mamatov T, Operators of Volterra convolution type in generalized Hölder
spaces, Poincare Journal of Analysis and Applications, vol. 7(2), 2020, p.
275-288
3.
Mamatov T and N.Mustafoev, Operators of Volterra convolution type in
weighted generalized Hölder space, Poincare Journal of Analysis and
Applications, vol. 10(1), 2023, p. 135-154
4.
Mamatov T. Mixed Fractional Integration In Mixed Weighted Generalized
Hölder Spaces// Case Studies Journal. Vol 7(6), (2018) , p.1-8.
5.
Mamatov T. Mixed fractional differentiation operators in Hölder spaces
defined by usual Hölder condition// Сборник публикаций научного
журнала ''Chronos'' сборник со статьями (уровень стандарта,
академический уровень). –М : Научный журнал, ''Chronos '', №11 (37),
13 ноября 2019. C. 79 – 82
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-1_ Апрель-2025
397
6.
Mamatov T. Zigmund type estimates for mixed fractional integrals of the
Volterra convolution type// Сборник публикаций научного журнала
''Chronos'' сборник со статьями (уровень стандарта, академический
уровень). –М : Научный журнал, ''Chronos '', №11 (37), 13 ноября 2019.
C. 82 – 85.
7.
Mamatov T. On isomorphism implemented by mixed fractional integrals in
Hölder spaces// International Journal of Development Research Vol. 09,
Issue, 05, pp. 27720-27730, May 2019
8.
Mamatov T. The Isomorphism Realized By Mixed Fractional Integrals In
Hölder Classes// Journal of Computer Science & Computational
Mathematics, Vol.10(2), June 2020, P. 35-40
9.
Mamatov T. Finite-element method for decisions the fractional differential
equation//International Scientific Conference on Modern Problems of
Applied Science and Engineering AIP Conf. Proc. 3244, 020032-1–020032-
9, 27.11.2024; https://doi.org/10.1063/5.0242238
10.
Mamatov T. Representation of distribution functions by fractional Riemann-
Liouville integrals// International Scientific Conference on Modern
Problems of Applied Science and Engineering AIP Conf. Proc. 3244,
020002-1–020002-10, 27.11.2024; https://doi.org/10.1063/5.0242239
11.
Marinov T.M., Ramirez N., Santamaria F. Fractional Integration toolbox//
Fractiomal Calculus and Applied Analysis, 2013. V.16, №3. – P. 670 – 681.
12.
Zhu L., Fan Q. Numerical solution of nonlinear fractional-order Volterra
integro-differential equations by SCW // Commun Nonlinear Sci Numer
Simulat, 2013. № 18. –P. 1203-1213.
