https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-2_ Апрель-2025
457
LOGARIFMIK FUNKSIYALAR
Chilonzor tumani 2- son politexnikumi matematika oʻqituvchisi
Mahkamov Shoxrux Murodulla oʻgʻli
Tel raqami 917711909
Annotatsiya:
Ushbu
maqola
logarifmik
funksiyalarning
asosiy
tushunchalari, xossalari, grafigi va qoʻllanilishini oʻrganadi. Logarifmik
funksiyalar matematikaning muhim qismi boʻlib, ular fizika, kimyo, biologiya,
iqtisodiyot va kompyuter fanlari kabi turli sohalarda keng qoʻllaniladi. Maqolada,
shuningdek, ma'lumotlarni ko'paytirish texnikalari va ularning logarifmik
funksiyalarni modellashtirishda qo'llanilishi ham ko'rib chiqiladi.
Kirish:
Logarifmik funksiya koʻrsatkichli funksiyaga teskari funksiyadir. Agar a^x
= y boʻlsa, u holda x = \log_a y boʻladi. Bu yerda a - logarifm asosi boʻlib, u 1 dan
farqli musbat son boʻlishi kerak, y esa musbat son. Logarifmik funksiyalar
koʻrsatkichli funksiyalarni oʻz ichiga olgan tenglamalarni yechish uchun ishlatiladi
va ular turli tabiiy hodisalarni modellashtirishda muhim rol oʻynaydi. Ushbu
maqolada logarifmik funksiyalarning asosiy tushunchalari bilan birga,
ma'lumotlarni ko'paytirish usullari va ularning logarifmik modellarni yaratishdagi
ahamiyati ham o'rganiladi.
Asosiy tushunchalar:
•
Logarifm:
b^x = a tenglikda x soni a sonining b asosiga koʻra logarifmi
deyiladi va x = \log_b a kabi belgilanadi. Bunda b asos 1 dan farqli musbat
son, a esa musbat son boʻlishi kerak.
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-2_ Апрель-2025
458
•
Logarifm asosi:
\log_a y ifodasida a logarifm asosi deyiladi. Odatda, a > 0
va a \neq 1 boʻladi.
•
Logarifmik funksiya:
y = \log_a x koʻrinishidagi funksiya logarifmik
funksiya deyiladi. Bu yerda a - logarifm asosi, x - argument.
•
Oʻnli logarifm:
Agar logarifm asosi 10 boʻlsa, u holda \log_{10} x oʻrniga
\lg x deb yoziladi va oʻnli logarifm deyiladi. Oʻnli logarifmlar hisoblashlarda
keng qoʻllaniladi.
•
Natural logarifm:
Agar logarifm asosi e (taxminan 2.71828) boʻlsa, u holda
\log_e x oʻrniga \ln x deb yoziladi va natural logarifm deyiladi. e irratsional
soni matematikada va uning tatbiqlarida muhim rol oʻynaydi.
•
Ko'rsatkichli funksiya:
y = a^x ko'rinishidagi funksiya ko'rsatkichli
funksiya deyiladi. Logarifmik funksiya ko'rsatkichli funksiyaga teskari
funksiya hisoblanadi.
•
Teskari funksiya:
Agar bir funksiyaning argumenti va qiymatlarining oʻrni
almashtirilsa, hosil boʻlgan funksiya berilgan funksiyaga teskari funksiya
deyiladi.
•
Monotonlik:
Agar funksiya oʻzining aniqlanish sohasida faqat oʻssa yoki
faqat kamaysa, u holda bunday funksiya monoton funksiya deyiladi.
Logarifmik funksiya oʻzining asosiga qarab monoton funksiya boʻladi.
•
Asimptota:
Agar funksiya grafigi biror toʻgʻri chiziqqa cheksizlikda
yaqinlashsa, bu toʻgʻri chiziq funksiya grafigining asimptotasi deyiladi.
Logarifmik funksiyaning grafigi vertikal asimptotaga ega.
Logarifmik funksiyaning xossalari:
1.
Aniqlanish sohasi:
y = \log_a x funksiyaning aniqlanish sohasi x > 0
boʻlgan barcha haqiqiy sonlar toʻplamidir.
2.
Qiymatlar sohasi:
y = \log_a x funksiyaning qiymatlar sohasi barcha
haqiqiy sonlar toʻplamidir.
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-2_ Апрель-2025
459
3.
Oʻsish va kamayish:
Agar a > 1 boʻlsa, funksiya oʻsuvchi, agar 0 < a < 1
boʻlsa, funksiya kamayuvchi boʻladi.
4.
Grafigi:
Logarifmik funksiyaning grafigi x = 0 vertikal asimtotaga ega va
(1, 0) nuqtadan oʻtadi.
5.
Logarifmlarning asosiy xossalari:
o
\log_a 1 = 0
o
\log_a a = 1
o
\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y
o
\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y
o
\log_a x^p = p \log_a x
o
\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b} (asosni almashtirish formulasi)
Logarifmik funksiyaning grafigi:
Logarifmik funksiyaning grafigi logarifm asosiga bogʻliq holda har xil koʻrinishda
boʻladi.
•
Agar a > 1 boʻlsa, grafik oʻsuvchi boʻladi va x oʻqini (1, 0) nuqtada kesib
oʻtadi.
•
Agar 0 < a < 1 boʻlsa, grafik kamayuvchi boʻladi va x oʻqini (1, 0) nuqtada
kesib oʻtadi.
Ma'lumotlarni ko'paytirish texnikalari:
Ma'lumotlarni ko'paytirish (inglizcha: Data Augmentation) - bu mavjud
ma'lumotlardan yangi, o'zgartirilgan ma'lumotlar yaratish texnikasi. Bu, ayniqsa,
mashinani o'qitishda, ma'lumotlar to'plami cheklangan yoki nomutanosib bo'lgan
hollarda foydalidir. Logarifmik funksiyalarni modellashtirishda ma'lumotlarni
ko'paytirish quyidagi hollarda qo'llanilishi mumkin:
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-2_ Апрель-2025
460
•
Logarifmik funksiyaga shovqin qo'shish:
Mavjud logarifmik funksiya
qiymatlariga tasodifiy shovqin qo'shish orqali yangi ma'lumotlar yaratish
mumkin. Bu modelning chidamliligini oshiradi.
•
Logarifmik funksiya argumentini o'zgartirish:
Logarifmik funksiya
argumentini biroz o'zgartirish orqali yangi ma'lumotlar yaratish mumkin. Bu
funksiyaning turli xususiyatlarini o'rganishga yordam beradi.
•
Logarifmik funksiya asosini o'zgartirish:
Agar logarifmik funksiya asosi
o'zgaruvchan bo'lsa, uni biroz o'zgartirish orqali yangi ma'lumotlar yaratish
mumkin.
O'zbek adabiyotida logarifmik funksiyalar:
O'zbek adabiyotida logarifmik funksiyalar to'g'ridan-to'g'ri qo'llanilmasa ham,
uning matematik modellari adabiyotshunoslikda qo'llanilishi mumkin. Masalan:
•
Adabiy asarlarni tahlil qilishda:
Asarning syujeti, qahramonlarning
rivojlanishi va boshqa adabiy elementlarni logarifmik funksiya yordamida
modellashtirish mumkin. Bu asarning tuzilishini va dinamikasini
tushunishga yordam beradi.
•
Adabiy janrlarni tasniflashda:
Turli adabiy janrlarning o'ziga xos
xususiyatlarini logarifmik funksiyalar yordamida ifodalash mumkin. Bu
janrlar o'rtasidagi munosabatlarni aniqlashga yordam beradi.
•
Adabiy jarayonlarni o'rganishda:
Adabiy asarlarning yaratilish va
tarqalish jarayonlarini logarifmik funksiyalar yordamida modellashtirish
mumkin. Bu adabiy jarayonlarning qonuniyatlarini aniqlashga yordam
beradi.
Misol uchun, Alisher Navoiyning "Xamsa" asaridagi syujet rivojlanishini
logarifmik funksiya orqali quyidagicha ifodalash mumkin:
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-2_ Апрель-2025
461
R(t) = a \cdot \log_b (t + c)
Bu yerda:
•
R(t) - syujet rivojlanishining t vaqtdagi darajasi;
•
a, b, c - asarning o'ziga xos xususiyatlariga bog'liq bo'lgan parametrlar.
Bu model syujetning boshlanishida sekin rivojlanishini, keyin esa tezlashishini
ko'rsatadi.
Logarifmik funksiyaning qoʻllanilishi:
Logarifmik funksiyalar quyidagi sohalarda keng qoʻllaniladi:
•
Fizika:
radioaktiv parchalanish, tovush intensivligi (detsibel) va boshqa
fizik hodisalarni modellashtirishda.
•
Kimyo:
pH qiymatini aniqlash va kimyoviy reaksiyalarning tezligini
oʻrganishda.
•
Biologiya:
populyatsiyaning oʻsishini va boshqa biologik jarayonlarni
modellashtirishda.
•
Iqtisodiyot:
murakkab foizlarni hisoblash va iqtisodiy oʻsishni tahlil
qilishda.
•
Kompyuter fanlari:
algoritmlarning murakkabligini tahlil qilishda va
maʼlumotlarni saqlash hajmini optimallashtirishda.
Xulosa:
Logarifmik funksiyalar matematikaning muhim qismi boʻlib, ular turli
sohalarda keng qoʻllaniladi. Ularning xossalari va grafiklarini tushunish, ularni
amaliy muammolarni hal qilishda qoʻllashga yordam beradi. Ma'lumotlarni
ko'paytirish texnikalari logarifmik funksiyalarni modellashtirishda modelning
aniqligi va chidamliligini oshirish uchun foydalidir.
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-42_ Том-2_ Апрель-2025
462
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Stewart, J. (2012).
Calculus: Early transcendentals
(7th ed.). Brooks/Cole.
2.
Larson, R., & Edwards, B. H. (2015).
Calculus
(10th ed.). Cengage
Learning.
3.
Goodfellow, I., Bengio, Y., & Courville, A. (2016).
Deep learning
. MIT
press.
4.
Géron, A. (2019).
Hands-on machine learning with Scikit-Learn, Keras &
TensorFlow: Concepts, tools, and techniques to build intelligent systems
.
O'Reilly Media.
5.
Rahmonov, N. (2023).
O'zbek adabiyotida matematik modellashtirish
.
Toshkent: O'zbekiston Milliy Universiteti nashriyoti.
6.
Soatov, N. Y., & Abdullayev, D. A. (2005).
Matematika: Umumiy oʻrta
taʼlim maktablarining 10-sinfi uchun darslik
. Toshkent: Oʻzbekiston.
7.
Azlarov, T. A., & Mansurov, X. N. (2004).
Matematik analiz asoslari:
Oliy oʻquv yurtlari talabalari uchun darslik
(2 qism). Toshkent:
Oʻqituvchi.
