182
www.namspi.uz
universaljurnal.uz
BIR VAQTLI AVTOREGRESSIYA MODELLARI NOMA’LUM
PARAMETRLARNI BAHOLASH USULLARI
Mirzayev Toxirjon Saloxetdinovich,
Namangan davlat pedagogika instituti katta o‘qituvchisi
Email:
tsmirzayev@mail.ru,
Annotatsiya: Ushbu maqolada bir vaqtli avtoregressiya modeli uchun
parametrlarni baholashning yangi g’oyalari taklif etilgan. Taklif etilgan
baholashlar, odatdagi an’anaviy eng kichik kvadratlar usulida olingan
baholashlarga qaraganda oddiyroq limit taqsimotga ega.
Kalit so’zlar: Bir vaqtli avtoregressiya modeli, limit teorema, viner
jarayoni, eng kichik kvadratlar usuli, normal taqsimot qonuni.
МОДЕЛИ
ОДНОВРЕМЕННОЙ
АВТОРЕГРЕССИИ
МЕТОДЫ
ОЦЕНКИ
НЕИЗВЕСТНЫХ
ПАРАМЕТРОВ
Аннотация
:
В
данной
статье
предлагаются
новые
идеи
оценки
параметров
модели
одновременной
авторегрессии
.
Предложенные
оценки
имеют
более
простое
предельное
распределение
,
чем
обычные
традиционные
оценки
методом
наименьших
квадратов
.
Ключевые
слова
:
модель
одновременной
авторегрессии
,
предельная
теорема
,
винеровский
процесс
,
метод
наименьших
квадратов
,
нормальный
закон
распределения
.
MODELS OF SIMULTANEOUS AUTO-REGRESSION METHOD
FOR ESTIMATING UNKNOWN PARAMETERS
Abstract: This article proposes new ideas for estimating the parameters of
a simultaneous autoregression model. The proposed estimators have a simpler
marginal distribution than conventional least squares estimators.
Key words: simultaneous autoregression model, limit theorem, Wiener
process, least squares method, normal distribution law.
Biz ushbu maqolada bir vaqtli avtoregressiya modelida noma’lum
parametrlar uchun nostandart baholarning limit teoremalari bilan tanishib o’tamiz.
Bir vaqtli avtoregressiya modeli deb quyidagi
(
)
( )
( )
1
1
( )
( )
( )
0
,
1, 2,...,
1,
;
,
lg
,
n
n
k
k
k
n
k
n
n
n
X
X
k
n
X
X
X
beri
an tasodifiy miqdor
a
e
-
+
ì
+
+
=
-
ï
= í
ï
î
(1)
modelga
aytiladi
(q.
[1]),
bunda
a
-
noma’lum
parametr,
{
}
,
1, 2,...,
1
k
k
n
e
=
- -
matematik kutilmasi nol dispersiyasi birga teng bo’lgan
bog’liqsiz tasodifiy tasodifiy miqdorlar.
(1) model turg’un bo’ladi agar
1 2 ,
a
<
kritik bo’ladi agar
1 2
a
=
va
portlash tipiga mansub agar
1 2
a
>
bo’lsa.
Yuqorida keltirilgan model uchun eng kichik kvadratlar usulida qurilgan
baho ko’rinishi quyidagicha [1],[2]:
183
www.namspi.uz
universaljurnal.uz
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
1
1
1
1
2
1
1
1
1
.
a
-
-
+
=
-
-
+
=
+
=
+
å
å
(
n
n
n
n
k
k
k
k
n
n
n
n
k
k
k
X
X
X
X
X
Bu baho uchun limit taqsimotni topish uchun
( )
n
k
X
tasodifiy miqdorlarni
1
1
,...,
n
e
e
-
miqdorlar orqali ifodalash lozim.
Teorema [1].
Agar
1 2,
a
= ±
u holda
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
1
1
k
k
n
n
n
k
n
k
k
X
X
X
n
n
æ
ö
= ±
-
+ ±
+
ç
÷
è
ø
( )
( ) (
)
1
1
1
2 1
1
2
1
.
k
n
k l
k l
l
l
l
l k
k
k
l
n
l
n
n
e
e
-
-
+
+
=
=
æ
ö
+
-
±
+
±
-
ç
÷
è
ø
å
å
(2)
Kritik tipda bir vaqtli avtoregressiya modeli uchun yuqoridagi bahoning limit
taqsimoti uchun quyidagi limit teorema o’rinli.
Teorema [1].
Agar
{
}
,
k
k
N
e
Î
-
tasodifiy miqdorlar
( )
2
1
1
0,
1
E
E
e
e
=
=
va
( )
8
1
,
E
e
< ¥
bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar bo’lsa, u holda
1 2
a
=
bo’lganda
(
)
( )
1
2
0
1
2
0
,
2
c
a
a
c
-
Þ
ò
ò
(
t
t
n
t
dw
n
dt
bu yerda
( )
[0,1]
t t
w
Î
-
standart viner jarayoni va
(
)
(
)
1
0
2 1
2
1
,
[0,1].
t
t
s
s
t
t
sdw
t
s dw
t
c
=
-
+
-
Î
ò
ò
Bulardan ko’rinadiki
1 2
a
=
holda (1) modelda noma’lum parametr uchun
eng kichik kvadratlar usulida qurilgan baho murakkab limit taqsimotga ega ( q.
[1], [2],[3]), va
1 2
a
= -
bo’lgan hol uchun esa bu teorema o’rinli emas.
Biz quyida kritik hollarda ya’ni
1 2
a
=
va
1 2,
a
= -
hollarda soddaroq
strukturaga va limit taqsimotga ega bo’lgan nostandart baholar bilan tanishib
o’tamiz. Navbatda
1 2
a
=
va
1 2,
a
= -
tiplar uchun nostandart baholarni
alohida-alohida ko’rib chiqamiz.
1-hol.
1 2
a
=
bo’lganda (1) tenglamani
k
bo’yicha
1
dan
n-1
gacha
yig’idi tuzamiz
(
)
1
1
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
k
k
k
k
k
k
k
X
X
X
a
e
-
-
-
-
+
=
=
=
=
+
+
å
å
å
yoki qisqacha ko’rinishda
.
n
n
n
X
Y
Z
a
=
+
(3)
Navbatda (3) tenglamada
,
n
Z
miqdorni hisobga olmagan holda yechimini
topamiz va quyidagi bahoga ega bo’lamiz
184
www.namspi.uz
universaljurnal.uz
n
n
n
X
Y
a
*
=
.
Enda (3) dan foydalanib chegirmani topamiz
n
n
n
Z
Y
a
a
*
- =
.
(4)
2-hol.
1 2
a
= -
bo’lganda (1) tenglamani ikkala qismini
( )
1
k
-
ga
ko’paytirib so’ngra
k
bo’yicha
1
dan
n-1
gacha yig’idi tuzamiz
( )
( )
(
)
( )
1
1
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
k
k
k
n
n
n
k
k
k
k
k
k
k
X
X
X
a
e
-
-
-
-
+
=
=
=
-
=
-
+
+
-
å
å
å
yoki qisqacha ko’rinishda
.
n
n
n
X
Y
Z
a
=
+
%
%
%
(5)
Navbatda (4) tenglamada
,
n
Z
%
miqdorni hisobga olmagan holda yechimini
topib nostandart bahoga va bu baho uchun quyidagi chegirmaga ega bo’lamiz
n
n
n
Z
Y
a
a
- =
%
%
%
.
(6)
Enda oddiy holda ya’ni
( )
( )
0
0
n
n
n
X
X
=
=
bo’lganda quyidagi limit
teorema isboti bilan tanishib chiqamiz.
Teorema A.
{
}
,
1, 2,...,
1
k
k
n
e
=
- -
miqdorlar matematik kutilmasi nol va
dispersiyasi birga teng bo’lgan bog’liqsiz bir hil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar
bo’lib
1. Agar
1 2
a
=
bo’lsa, u holda
n
®¥
(
)
2
1
2
;
n
n
s
a
a
x x
*
-
Þ
2. Agar
1 2
a
= -
bo’lsa, u holda
n
®¥
(
)
2
1
2
n
n
s
a
a
x x
-
Þ -
%
,
bunda
2
2 15,
s
=
(
)
1
1
,
x x
-
matematik kutilmasi nol va kovariasion
matrisasi
1
5 24
5 24
1
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
ga teng bo’lgan normal taqsimlangan vector.
Yuqoridagi teoremaga o’xshash usul bilan
1
( )
,
2
n
n
a
® ±
® ¥
bo’lgan
hollarda ham nostandart baholar uchun asimptotik limit taqsimotlarini topish
mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar
185
www.namspi.uz
universaljurnal.uz
1. Baran. S., Pap. G. Asymptotic inference for a one-dimensional
simultaneous
autoregressive
model
//
Metrika,
2009.
DOI
10.1007/s00184-009-0289-5.
2. Anderson T.V. On asymptotic distributions of estimates of parameters of
stochastic difference Equations // Ann. Math. Statist, 1959. -V.30. -Pp.
676-687.
3. White, J.S. The limiting distribution of the serial correlation coefficient
in the explosive case // Ann. Math. Statist, 1958. -V. 29. -Pp. 1188-1197.
